{"id":377,"date":"2023-07-04T04:08:40","date_gmt":"2023-07-04T04:08:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/unbestimmtheit-unendlich-minus-unendlich-%e2%88%9e-%e2%88%9e\/"},"modified":"2023-07-04T04:08:40","modified_gmt":"2023-07-04T04:08:40","slug":"unbestimmtheit-unendlich-minus-unendlich-%e2%88%9e-%e2%88%9e","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/unbestimmtheit-unendlich-minus-unendlich-%e2%88%9e-%e2%88%9e\/","title":{"rendered":"Unbestimmtheit unendlich minus unendlich (\u221e-\u221e)"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man die unendliche minus unendliche (\u221e-\u221e) Unbestimmtheit l\u00f6st. Sie finden Beispiele f\u00fcr diese Unbestimmtheit bei verschiedenen Arten von Funktionen und k\u00f6nnen dar\u00fcber hinaus mit \u00dcbungen \u00fcben, die Schritt f\u00fcr Schritt zur Unbestimmtheit unendlich minus unendlich gel\u00f6st werden. <\/p>\n

<\/span> L\u00f6sung der Unbestimmtheit unendlich minus unendlich<\/span><\/h2>\n

Wenn der Grenzwert einer Funktion Unendlich minus Unendlich ergibt, bedeutet dies, dass es sich um eine Unbestimmtheit (oder eine unbestimmte Form) handelt. Das hei\u00dft , der Grenzwert einer Funktion, die Unbestimmtheit minus Unendlich ergibt,<\/strong> kann nicht durch direkte Berechnung bestimmt werden, sondern es muss ein vorl\u00e4ufiges Verfahren durchgef\u00fchrt werden.<\/p>\n

Um die unendliche minus unendliche Unbestimmtheit zu l\u00f6sen,<\/strong> m\u00fcssen wir daher zun\u00e4chst ein Verfahren anwenden, das von der Art der Funktion abh\u00e4ngt: Wenn es sich um eine Polynomfunktion handelt, kann sie durch Vergleich berechnet werden. Wenn es sich um eine rationale Funktion handelt, m\u00fcssen Br\u00fcche reduziert werden einen gemeinsamen Nenner, und wenn es sich um eine irrationale Funktion handelt, muss sie mit dem Konjugat multipliziert werden.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\Bigl(f(x)-g(x)\\Bigr)=\\infty-\\infty\"<\/p>\n<\/p>\n

Als n\u00e4chstes werden wir anhand von Beispielen sehen, wie die Unbestimmtheit unendlich minus unendlich in jedem Funktionstyp aufgel\u00f6st wird. <\/p>\n

<\/span> Unendliche minus unendliche Unbestimmtheit in Polynomfunktionen <\/span><\/h2>\n
\n

In einem Polynom ist die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich gleich der Unendlichkeit h\u00f6chster Ordnung, das hei\u00dft, der Term h\u00f6chster Ordnung bestimmt das positive oder negative Vorzeichen der Unendlichkeit.<\/p>\n<\/div>\n

Schauen Sie sich zum Beispiel den Grenzwert der folgenden Polynomfunktion an, die die unbestimmte Form Unendlich minus Unendlich ergibt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\bigl(x^2-3x\\bigr)=(+\\infty)^2-3\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

In diesem Fall ist der Term x 2<\/sup> vom zweiten Grad und der Term 3x vom ersten Grad, sodass das Monom x 2<\/sup> dominant ist, da es von h\u00f6herer Ordnung ist. Daher ist das Ergebnis des Grenzwerts die aus diesem Term erhaltene Unendlichkeit.<\/p>\n

Schauen Sie sich diese anderen Beispiele an:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\bigl(x^5-4x^2-3x\\bigr)=(+\\infty)^5=+\\infty\\\\[5ex]\\displaystyle\\lim_{x\\to-\\infty}\\bigl(-3x^2-5x\\bigr)=-3\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Kurz gesagt, wenn wir in Polynomfunktionen Grenzen f\u00fcr die Unendlichkeit festlegen , m\u00fcssen wir einfach die Unendlichkeit in den Term h\u00f6chsten Grades einsetzen<\/strong> und alle anderen Terme ignorieren. <\/p>\n

<\/span> Unbestimmtheit unendlich minus unendlich mit Br\u00fcchen <\/span><\/h2>\n
\n

Wenn die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich bei einer Addition oder Subtraktion algebraischer Br\u00fcche auftritt<\/strong> , m\u00fcssen wir zuerst die Addition oder Subtraktion der Br\u00fcche durchf\u00fchren und dann den Grenzwert berechnen.<\/p>\n<\/div>\n

Sehen wir uns an, wie man die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich in einer Funktion mit Br\u00fcchen berechnet, indem man ein Beispiel Schritt f\u00fcr Schritt l\u00f6st:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Versuchen wir zun\u00e4chst, den Grenzwert zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir erhalten die Unbestimmtheit \u221e-\u221e.<\/p>\n

Zuerst m\u00fcssen wir also die Br\u00fcche subtrahieren. Dazu reduzieren wir Br\u00fcche auf einen gemeinsamen Nenner, das hei\u00dft, wir multiplizieren Z\u00e4hler und Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und da nun beide Br\u00fcche den gleichen Nenner haben, k\u00f6nnen wir sie zu einem einzigen Bruch kombinieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wir arbeiten im Z\u00e4hler und Nenner:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Und zum Schluss berechnen wir noch einmal den Grenzwert:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

In diesem Fall ergibt die unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit +\u221e, weil der Grad des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer ist als der Grad des Nenners.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong>Was ist Unendlichkeit zwischen Unendlichkeit?<\/span><\/a> <\/p>\n

<\/span> Unbestimmtheit unendlich minus unendlich mit Wurzeln <\/span><\/h2>\n
\n

Wenn bei der Radikaladdition oder -subtraktion die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich auftritt<\/strong> , m\u00fcssen wir die Funktion zun\u00e4chst mit dem konjugierten Radikalausdruck multiplizieren und dividieren und dann nach dem Grenzwert aufl\u00f6sen.<\/p>\n<\/div>\n

Wir werden anhand eines Schritt-f\u00fcr-Schritt-Beispiels sehen, wie man die Unbestimmtheit unendlich minus unendlich in einer irrationalen Funktion l\u00f6st:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Versuchen wir zun\u00e4chst, den Limes der Funktion mit Radikalen zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Allerdings erhalten wir die unbestimmte Form \u221e-\u221e. Um also zu wissen, wie viel Unbestimmtheit Unendlichkeit minus Unendlichkeit ist, m\u00fcssen wir das erl\u00e4uterte Verfahren anwenden.<\/p>\n

Da die Funktion Radikale hat, multiplizieren und dividieren wir die gesamte Funktion durch den konjugierten irrationalen Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Der algebraische Ausdruck des Z\u00e4hlers entspricht der bemerkenswerten Identit\u00e4t des Produkts einer Summe durch eine Differenz. Wir k\u00f6nnen den Ausdruck daher vereinfachen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wir vereinfachen nun die Wurzel des Grenzwerts, da diese quadriert wird:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wir operieren mit dem Z\u00e4hler des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich wiederholen wir die Berechnung des Grenzwerts:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Das Ergebnis der Grenze ist daher 0, da jede durch Unendlich geteilte Zahl gleich Null ist. <\/p>\n

<\/span> Unendlich minus unendlich Unbestimmtheitsprobleme gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n

\u00dcbung 1<\/h3>\n

L\u00f6sen Sie den folgenden Grenzwert, wenn x sich plus Unendlich n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

In diesem Grenzfall hat der Term h\u00f6chster Ordnung den dritten Grad, daher konzentrieren wir uns auf die Unendlichkeit, die sich aus diesem Term ergibt. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 2<\/h3>\n

Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Polynomfunktion, wenn x sich der negativen Unendlichkeit n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Die kubische negative Unendlichkeit bleibt negativ, aber quadriert wird sie positiv. sp\u00e4ter Obwohl ihre Vorzeichen durch die Koeffizienten vor ihnen modifiziert werden:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Dann wird die unbestimmte Form Unendlichkeit minus Unendlichkeit durch den Term h\u00f6chster Ordnung (-5x 3<\/sup> ) definiert, aus dem wir positive Unendlichkeit erhalten: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 3<\/h3>\n

Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden rationalen Funktion gegen Unendlich: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Zuerst versuchen wir, den Grenzwert zu berechnen, indem wir die Unendlichkeit in der Funktion ersetzen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Aber am Ende haben wir die Unbestimmtheit \u221e \u2013 \u221e. Deshalb bringen wir die Br\u00fcche auf einen gemeinsamen Nenner:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim\\limits_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und da nun beide Br\u00fcche den gleichen Nenner haben, k\u00f6nnen wir sie zu einem Bruch zusammenfassen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wir machen die Klammern des Z\u00e4hlers:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich bestimmen wir den Grenzwert:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

In diesem Fall ergibt die Unbestimmtheit \u221e\/\u221e +\u221e, da der Grad des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer ist als der Grad des Nenners.<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 4<\/h3>\n

L\u00f6sen Sie den Grenzwert der folgenden Bruchfunktion, wenn x sich 0 n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Wir versuchen zun\u00e4chst wie gewohnt den Grenzwert zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir erhalten die unbestimmte Form \u221e-\u221e. Daher m\u00fcssen wir die Br\u00fcche der Funktion auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren.<\/p>\n

In diesem Fall ist x 4<\/sup> ein Vielfaches von x 2<\/sup> . Wenn wir also einfach Z\u00e4hler und Nenner des zweiten Bruchs mit x 2<\/sup> multiplizieren, erhalten wir, dass beide Br\u00fcche denselben Nenner haben:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wir k\u00f6nnen nun die beiden Br\u00fcche subtrahieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wir versuchen das Limit erneut aufzul\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Aber am Ende haben wir die Unbestimmtheit einer durch Null dividierten Konstante. Daher ist es notwendig, die seitlichen Grenzen der Funktion zu berechnen. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die L\u00f6sung des Grenzwerts -\u221e lautet, da die beiden seitlichen Grenzen der Funktion am Punkt x=0 -\u221e ergeben: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 5<\/h3>\n

L\u00f6sen Sie den Grenzwert der folgenden Funktion mit Wurzeln ins Unendliche: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Beim Versuch, den Grenzwert zu l\u00f6sen, erhalten wir die Unbestimmtheit unendlich minus unendlich:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Da die Funktion Radikale enth\u00e4lt, m\u00fcssen wir sie daher mit dem konjugierten Radikalausdruck multiplizieren und dividieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Im Z\u00e4hler haben wir das bemerkenswerte Produkt einer Summe mit einer Differenz, die gleich der Differenz der Quadrate ist. Noch:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir vereinfachen das Radikal zum Quadrat:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir operieren im Z\u00e4hler: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich finden wir die Grenze:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

In diesem Fall ist die unendliche Unbestimmtheit geteilt durch Unendlich unendlicher, weil der Grad des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer ist als der Grad des Nenners (denken Sie daran, dass die Quadratwurzel den Grad um zwei reduziert:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\sqrt{x^4}<\/p>\n

).<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 6<\/h3>\n

L\u00f6sen Sie den Grenzwert, wenn x sich der Unendlichkeit der folgenden irrationalen Funktion n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Zun\u00e4chst versuchen wir wie gewohnt den Grenzwert zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Aber es gibt uns als Ergebnis die Unbestimmtheit der Differenz der Unendlichkeiten. Da die Funktion Wurzeln hat, m\u00fcssen wir daher den Ausdruck mit dem konjugierten Radikal multiplizieren und dividieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir gruppieren die bemerkenswerte Gleichheit des Z\u00e4hlers des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir l\u00f6sen die Quadratwurzel:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir l\u00f6sen die bemerkenswerte Identit\u00e4t des Quadrats einer Differenz:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir operieren im Z\u00e4hler: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich berechnen wir den Wert des Grenzwerts im Unendlichen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Auch wenn im Nenner ein x zum Quadrat steht, ist sein Grad tats\u00e4chlich 1, da er innerhalb einer Wurzel liegt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\sqrt{4x^2}<\/p>\n<\/p>\n

Daher ist das Ergebnis der Unbestimmtheit -\u221e\/+\u221e die Division der Koeffizienten von x h\u00f6heren Grades, da der Grad des Z\u00e4hlers derselbe ist wie der Grad des Nenners.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Beachten Sie, dass der Nenner zwei Terme ersten Grades enth\u00e4lt<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bigl(2x\"<\/p>\n

Und<\/p>\n

\"\\sqrt{4x^2}\\bigr)\"<\/p>\n

, um die Unbestimmtheit -\u221e\/+\u221e aufzul\u00f6sen, ist es notwendig, alle Koeffizienten der Terme ersten Grades zu nehmen, also die<\/p>\n

\"2\"<\/p>\n

von<\/p>\n

\"2x\"<\/p>\n

und das<\/p>\n

\"\\sqrt{4}\"<\/p>\n

von <\/p>\n

\"\\sqrt{4x^2}.\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 7<\/h3>\n

Berechnen Sie den Grenzwert, wenn x sich 1 der folgenden Funktion mit Br\u00fcchen n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Wenn wir versuchen, den Grenzwert zu ermitteln, erhalten wir den unbestimmten Grenzwert von Unendlich minus Unendlich:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir m\u00fcssen also die Br\u00fcche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, oder mit anderen Worten, wir m\u00fcssen den Z\u00e4hler und den Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und da die beiden Br\u00fcche nun den gleichen Nenner haben, k\u00f6nnen wir sie zusammensetzen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wir betreiben: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und wir versuchen das Limit noch einmal zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir finden die Unbestimmtheit Null dividiert durch Null. Wir m\u00fcssen daher die Z\u00e4hler- und Nennerpolynome faktorisieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt vereinfachen wir den Bruch, indem wir den Faktor entfernen, der sich im Z\u00e4hler und Nenner wiederholt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich l\u00f6sen wir das Limit auf: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man die unendliche minus unendliche (\u221e-\u221e) Unbestimmtheit l\u00f6st. Sie finden Beispiele f\u00fcr diese Unbestimmtheit bei verschiedenen Arten von Funktionen und k\u00f6nnen dar\u00fcber hinaus mit \u00dcbungen \u00fcben, die Schritt f\u00fcr Schritt zur Unbestimmtheit unendlich minus unendlich gel\u00f6st werden. L\u00f6sung der Unbestimmtheit unendlich minus unendlich Wenn der Grenzwert einer Funktion Unendlich …<\/p>\n

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