{"id":371,"date":"2023-07-04T10:44:29","date_gmt":"2023-07-04T10:44:29","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/symmetrie-einer-symmetrischen-und-asymmetrischen-funktion\/"},"modified":"2023-07-04T10:44:29","modified_gmt":"2023-07-04T10:44:29","slug":"symmetrie-einer-symmetrischen-und-asymmetrischen-funktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/symmetrie-einer-symmetrischen-und-asymmetrischen-funktion\/","title":{"rendered":"Symmetrie einer funktion: symmetrische und asymmetrische funktion"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was symmetrische Funktionen sind (gerade und ungerade Funktionen) und wie man die Symmetrie einer Funktion untersucht. Sie werden auch in der Lage sein, die Eigenschaften dieser Art von Funktionen zu sehen und schlie\u00dflich k\u00f6nnen Sie mit \u00dcbungen \u00fcben, die Schritt f\u00fcr Schritt zu symmetrischen Funktionen gel\u00f6st werden. <\/p>\n

<\/span> Was ist eine symmetrische Funktion?<\/span><\/h2>\n

Eine symmetrische Funktion ist eine Funktion, in deren grafischer Darstellung eine Symmetrieachse zu finden ist.<\/strong> Es gibt zwei Arten von symmetrischen Funktionen: gerade Funktionen, symmetrisch zur Y-Achse, und ungerade Funktionen, symmetrisch zum Koordinatenursprung.<\/p>\n

Denken Sie daran, dass eine Symmetrieachse eine imagin\u00e4re Linie ist, die alles in zwei Teile teilt, sodass ihre gegen\u00fcberliegenden Punkte den gleichen Abstand voneinander haben.<\/p>\n

<\/span> sogar Funktionen<\/span><\/h3>\n

Gerade Funktionen<\/strong> sind Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse sind, das hei\u00dft, die Y-Achse ist eine Symmetrieachse der Funktion. <\/p>\n

\n
\"sogar<\/figure>\n<\/div>\n

Wie Sie in der oben gezeigten quadratischen Funktion sehen k\u00f6nnen, ist das Bild einer geraden Funktion f\u00fcr jeden Wert der unabh\u00e4ngigen Variablen (x) \u00e4quivalent zum Bild der Funktion f\u00fcr den entgegengesetzten Wert (-x). Mit anderen Worten: Mathematisch gesehen ist eine Funktion gerade, wenn sie die folgende Bedingung erf\u00fcllt:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=f(-x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Gerade Funktionen sind eine Art symmetrischer Funktionen. Sehen wir uns nun an, wie ungerade Funktionen aussehen.<\/p>\n

<\/span> seltsame Funktionen<\/span><\/h3>\n

Ungerade Funktionen<\/strong> sind Funktionen, die bez\u00fcglich des Koordinatenursprungs, also bez\u00fcglich des Punktes (0,0), symmetrisch sind.<\/p>\n

Unten sehen Sie eine seltsame Funktion grafisch dargestellt: <\/p>\n

\n
\"ungerade<\/figure>\n<\/div>\n

Die Tatsache, dass eine Funktion symmetrisch zum Koordinatenursprung ist, bedeutet, dass sich der Graph der Funktion \u00fcberlappen w\u00fcrde, wenn wir den Graphen der Funktion zuerst durch die OY-Achse und dann durch die OX-Achse falten w\u00fcrden.<\/p>\n

Algebraisch gesehen ist eine Funktion ungerade, wenn die folgende Beziehung zwischen ihren Bildern erf\u00fcllt ist:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(-x)=-f(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Die Kenntnis der Symmetrie einer Funktion ist f\u00fcr deren Darstellung sehr n\u00fctzlich, denn wenn wir nur eine H\u00e4lfte des Graphen kennen, k\u00f6nnen wir schnell den anderen Teil zeichnen. <\/p>\n

<\/span> So finden Sie die Symmetrie einer Funktion<\/span><\/h2>\n

Um die Symmetrie einer Funktion zu untersuchen, m\u00fcssen wir das Bild von berechnen<\/p>\n<\/p>\n

\"-x\"<\/p>\n

, das hei\u00dft, es ist notwendig zu berechnen<\/p>\n

\"f(-x).\"<\/p>\n

Abh\u00e4ngig vom Ergebnis des Bildes ist die Symmetrie der Funktion also:<\/p>\n

    \n
  1. wenn es gef\u00fcllt ist\n

    \"f(-x)=f(x)\"<\/p>\n

    <\/span> , die Funktion ist gerade und daher symmetrisch bez\u00fcglich der Y-Achse.<\/strong><\/li>\n

  2. wenn es gef\u00fcllt ist\n

    \"f(-x)=-f(x)\"<\/p>\n

    <\/span> , die Funktion ist ungerade und daher symmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung.<\/strong><\/li>\n

  3. Wenn keine der oben genannten Bedingungen erf\u00fcllt ist, handelt es sich um eine asymmetrische Funktion<\/strong> (sie hat keine Symmetrieachse).<\/span><\/li>\n<\/ol>\n

    Lassen Sie uns zum Beispiel die Symmetrie der folgenden kubischen Funktion analysieren:<\/p>\n<\/p>\n

    \"f(x)=x^3\"<\/p>\n<\/p>\n

    Um die Symmetrie der Funktion zu untersuchen, berechnen wir<\/p>\n<\/p>\n

    \"f(-x):\"<\/p>\n<\/p>\n

    \"f(-x)=(-x)^3=-x^3\"<\/p>\n<\/p>\n

    Der resultierende algebraische Ausdruck entspricht dem urspr\u00fcnglichen Funktionsausdruck, hat jedoch das Vorzeichen ge\u00e4ndert, oder mit anderen Worten, die folgende Gleichheit ist erf\u00fcllt:<\/p>\n<\/p>\n

    \"f(-x)=-f(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

    Die Funktion ist daher ungerade und daher symmetrisch bez\u00fcglich des Koordinatenursprungs (0,0). <\/p>\n

    <\/span> Eigenschaften symmetrischer Funktionen<\/span><\/h2>\n

    Symmetrische Funktionen haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n