{"id":37,"date":"2023-09-17T11:01:09","date_gmt":"2023-09-17T11:01:09","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-eines-multiplikationsprodukts\/"},"modified":"2023-09-17T11:01:09","modified_gmt":"2023-09-17T11:01:09","slug":"ableitung-eines-multiplikationsprodukts","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-eines-multiplikationsprodukts\/","title":{"rendered":"Ableitung eines produkts (oder multiplikation)"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man das Produkt zweier Funktionen (Formel) herleitet. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere Beispiele f\u00fcr Ableitungen von Funktionsprodukten sehen und sogar mit gel\u00f6sten \u00dcbungen zu Multiplikationsableitungen \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-derivada-de-un-producto\"><\/span> Formel f\u00fcr die Ableitung eines Produkts<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung eines Produkts zweier verschiedener Funktionen ist gleich dem Produkt der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten undifferenzierten Funktion plus dem Produkt der ersten undifferenzierten Funktion mit der Ableitung der zweiten Funktion.<\/strong><\/p>\n<p> Mit anderen Worten: Wenn <em>f(x)<\/em> und <em>g(x)<\/em> zwei verschiedene Funktionen sind, lautet die Formel f\u00fcr die Ableitung der Multiplikation zwischen den beiden Funktionen wie folgt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derive-dun-produit.webp\" alt=\"abgeleitet von einem Produkt\" class=\"wp-image-2103\" width=\"318\" height=\"298\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wenn wir also die Regel der Ableitung eines Produkts anwenden, gelangen wir von einer einfachen Multiplikation zu zwei verschiedenen Produkten. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-de-un-producto\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Derivate eines Produkts<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir wissen, wie die Formel f\u00fcr die Ableitung eines Produkts (oder eine Multiplikation) lautet, werden wir mehrere Beispiele f\u00fcr diese Art von Ableitung l\u00f6sen. Dadurch wird es f\u00fcr Sie viel einfacher zu verstehen, wie ein Produkt zweier Funktionen abgeleitet wird.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1<\/h3>\n<p> In diesem Beispiel l\u00f6sen wir die Ableitung zweier potentieller Funktionen durch Multiplikation:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac06a60a36e2b2b8b42a4e84aae6d78f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=5x^2\\cdot (x^3+4x-6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, lautet die Formel f\u00fcr die Ableitung der Multiplikation:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-775fe6e5ac196e5a44c840866e35062d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}z(x)=f(x)\\cdot g(x) \\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=f'(x)\\cdot g(x)+f(x)\\cdot g'(x)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"252\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Ableitung jeder Funktion separat berechnen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-39\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f6ba571ede98526688967d6db6b708d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ 5x^2=10x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81f76a053e0ede02d46b917b5733f0cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ (x^3+4x-6)=3x^2+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Und sobald wir die Ableitung jeder Funktion kennen, k\u00f6nnen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung des Produkts zweier Funktionen anwenden. Das hei\u00dft, wir multiplizieren die Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor, ohne zu differenzieren, und addieren dann das Produkt des ersten Faktors, ohne zu differenzieren, mit der Ableitung des zweiten Faktors:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00f424cf1f72c1d3822c14d49873253e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=5x^2\\cdot (x^3+4x-6)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] f'(x)=10x\\cdot (x^3+4x-6)+5x^2\\cdot (3x^2+4)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"87\" width=\"338\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Abschlie\u00dfend f\u00fchren wir die Operationen aus, um das erhaltene Ergebnis zu vereinfachen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48b8d455b68b87932ca3a437f5ffe3a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}f'(x)&amp; =10x\\cdot (x^3+4x-6)+5x^2\\cdot (3x^2+4)\\\\[1.5ex] &amp; = 10x^4+40x^2-60x +15x^4+20x^2 \\\\[1.5ex] &amp; = 25x^4+60x^2-60x\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"98\" width=\"338\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 2<\/h3>\n<p> In diesem Fall leiten wir das Produkt einer Konstante durch eine Funktion ab:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0eac27878f19facde1912b0e4c80f7c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=7\\cdot (x^2+3x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ableitungsregel eines Produkts lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-775fe6e5ac196e5a44c840866e35062d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}z(x)=f(x)\\cdot g(x) \\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=f'(x)\\cdot g(x)+f(x)\\cdot g'(x)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"252\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher leiten wir jede Funktion, die Teil des Produkts ist, separat ab: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-42\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e80b2c2aeed333ee755f36592771ea8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ 7=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ce4329169c51d065b3eaa2539afa18d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ (x^2+3x)=2x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Und dann wenden wir die Regel f\u00fcr die Ableitung einer Multiplikation an:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c2d81edaa002aeb66ca6eec22bec001_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=7\\cdot (x^2+3x)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] f'(x)=0\\cdot (x^2+3x)+7\\cdot (2x+3)=14x+21\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"87\" width=\"353\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beachten Sie, dass die Ableitung einer Konstante immer Null ist. Daraus k\u00f6nnen wir schlie\u00dfen, dass <strong>die Ableitung der Multiplikation einer Konstante mit einer Funktion gleich dem Produkt aus der Konstante und der Ableitung der Funktion ist.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df912584fe52a7417fef5fa910376453_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c}z(x)=k\\cdot f(x) \\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=k\\cdot f'(x)\\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 3<\/h3>\n<p> L\u00f6sen wir das Produkt zwischen einer Exponentialfunktion und einem nat\u00fcrlichen Logarithmus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e835022b92bf8922fece3bfff5b0fe79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=4^{3x}\\cdot \\ln(x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr die Ableitung einer Multiplikation zweier Funktionen lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-775fe6e5ac196e5a44c840866e35062d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}z(x)=f(x)\\cdot g(x) \\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=f'(x)\\cdot g(x)+f(x)\\cdot g'(x)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"252\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen daher zun\u00e4chst separat die Ableitung jeder Funktion bilden, die das Produkt bildet, und zwar wie folgt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-45\">\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bd255b76b5292f44a9af4bda726a928_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ 4^{3x}=4^{3x}\\cdot \\ln (4) \\cdot 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5e20aacbfc682c8afa58940cf8306f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{d}{dx}\\ \\ln(x^2)=\\cfrac{2x}{x^2}=\\cfrac{2}{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Das abgeleitete Produkt der Funktionen ist daher: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e1cb417a69252fe05883f7963bcb8db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=4^{3x}\\cdot \\ln(x^2)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] f'(x)=4^{3x}\\cdot \\ln (4) \\cdot 3\\cdot \\ln(x^2) +4^{3x}\\cdot \\cfrac{2}{x} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"290\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-derivada-de-un-producto\"><\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Ableitung eines Produkts<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Leitet die folgenden Funktionsprodukte ab: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67f07c0bd975c646a55e36e71cf4a4c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) }f(x)=5\\ln(3x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8a0c3d9bc420193e3c1990868382d3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) }f(x)=(4x^2+1)(6x^3-7)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61bc2db7b665db51e7467b0084d16de8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) }f(x)=\\text{cos}(4x)\\cdot e^{x^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"175\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6e9fe99ab311488946ed15068a12ea6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) }f(x)=(3x^3-4x^2+8x)\\cdot \\sqrt{6x^2+3x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88a563e417f4c63f256a599945356dd8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) }f(x)=5^{4x}\\cdot \\log_9(x^3-x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"213\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa9abf01257a07e3610d58665ff5a149_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{F) }f(x)=\\left(10x^6-6x^5\\right)^4\\cdot \\text{arcsen}(x^2+9x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2b0cfd5d2fab9c30534aaf5a8873bba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) } f'(x)=5\\cdot \\cfrac{3}{3x} =\\cfrac{5}{x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f46e303cda3be6c3781f7ee4c46c1680_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\text{B) }f'(x)&amp;=8x\\cdot (6x^3-7)+(4x^2+1)\\cdot 18x^2\\\\[1.2ex]&amp;=48x^4-56x+72x^4+18x^2\\\\[1.2ex]&amp;=120x^4+18x^2-56x \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"94\" width=\"331\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ee37a1f2ba1f12185bf7ea63668b7cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) }f'(x) =-4\\text{sen}(4x)\\cdot e^{x^2}+\\text{cos}(4x)\\cdot e^{x^2}\\cdot 2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"351\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-384d51cd4aff14037124c89ca3f77ee3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) }f'(x)=(9x^2-8x+8)\\cdot \\sqrt{6x^2+3x}+(3x^3-4x^2+8x)\\cdot\\cfrac{12x+3}{2\\sqrt{6x^2+3x}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"553\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88020b03c9d895b81bf29a7cdeda7528_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) }f'(x)=5^{4x}\\cdot \\ln(5) \\cdot 4 \\cdot \\log_9(x^3-x)+ 5^{4x}\\cdot\\cfrac{3x^2-1}{(x^3-x)\\ln(9)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"455\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5dbaa6f333ff27c717b6478d26154025_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\text{F) }f'(x)=&amp; 4\\left(10x^6-6x^5\\right)^3\\cdot (60x^5-30x^4)\\cdot \\text{arcsen}(x^2+9x)\\ +\\\\[1.2ex] &amp;+\\left(10x^6-6x^5\\right)^4\\cdot \\cfrac{2x+9}{\\sqrt{1-\\left(x^2+9x\\right)^2}}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"101\" width=\"473\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivada-de-un-producto-de-tres-funciones\"><\/span> Abgeleitet von einem Produkt mit drei Funktionen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Als n\u00e4chstes \u00fcberlassen wir Ihnen die Formel f\u00fcr die Ableitung der Multiplikation von drei Funktionen, da sie der von zwei Funktionen sehr \u00e4hnlich ist und in manchen F\u00e4llen n\u00fctzlich sein kann.<\/p>\n<p> Die <strong>Ableitung eines Produkts von drei Funktionen<\/strong> ist gleich dem Produkt der Ableitung der ersten Funktion und der anderen beiden Funktionen plus dem Produkt der Ableitung der zweiten Funktion und der anderen beiden Funktionen plus dem Produkt der Ableitung der dritte Funktion.Funktion durch die anderen beiden Funktionen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab98569b058580b87eb57088447f4f49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=1mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c}z(x)=f(x)\\cdot g(x)\\cdot h(x) \\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\\\[1.5ex] z'(x)=f'(x)\\cdot g(x)\\cdot h(x)+f(x)\\cdot g'(x)\\cdot h(x)+f(x)\\cdot g(x)\\cdot h'(x)\\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn wir beispielsweise die folgende Multiplikation von drei verschiedenen Funktionen ableiten m\u00f6chten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6710d72c4b3c57f51a1855a274e4faf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=3x\\cdot e^{2x} \\cdot \\text{sen}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die Ableitung zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir die Regel der Ableitung des Produkts dreier Funktionen anwenden, also: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c925055bae8204915ed1a7ce6fea5cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f'(x)=3\\cdot e^{2x} \\cdot \\text{sen}(x)+3x\\cdot 2e^{2x} \\cdot \\text{sen}(x)+3x\\cdot e^{2x} \\cdot \\text{cos}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"454\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"demostracion-de-la-formula-de-la-derivada-de-un-producto\"><\/span> Demonstration der Formel f\u00fcr die Ableitung eines Produkts<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Abschlie\u00dfend zeigen wir die Formel f\u00fcr die Ableitung einer Multiplikation. Man muss es sich nicht merken, aber es ist immer gut zu verstehen, woher die Formeln kommen. \ud83d\ude42<\/p>\n<p> Aus der mathematischen Definition der Ableitung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc1699622d128f888c1f20599aeccf60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"219\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Funktion <em>z<\/em> sei das Produkt zweier verschiedener Funktionen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7221f2fe5a3cdb96186c0c3bac490818_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"z(x)=f(x)\\cdot g(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dann ist die Ableitung von <em>z<\/em> laut Definition:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2883cdf5f77c221fda1e72fd5f69ad33_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle z'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\bigl[f(x+h)\\cdot g(x+h)\\bigr]-\\bigl[f(x)\\cdot g(x)\\bigr]}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0245613adf61bb881d95fdd9f88cf16f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle z'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)\\cdot g(x+h)-f(x)\\cdot g(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"342\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie wir wissen, hat das Addieren eines Termes durch Addieren und Subtrahieren keinen Einfluss auf das Ergebnis, solange es sich bei beiden um denselben Term handelt. Wir k\u00f6nnen also zum n\u00e4chsten Schritt \u00fcbergehen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2dc1543688ce758352ae824c04f44766_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle z'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)\\cdot g(x+h)\\color{orange}\\bm{-f(x+h)\\cdot g(x)+f(x+h)\\cdot g(x)}\\color{black}-f(x)\\cdot g(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"696\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir verwenden nun die Grenzeigenschaften, um die vorherige Grenze in zwei verschiedene Grenzen zu trennen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79db4573036eb08e40df29d50582ab22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle z'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)\\cdot g(x+h)-f(x+h)\\cdot g(x)}{h}+\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)\\cdot g(x)-f(x)\\cdot g(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"80\" width=\"582\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor im Z\u00e4hler der beiden Br\u00fcche:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e21b5ddadb3c3767bd0292a4b25a471_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle z'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)\\bigl(g(x+h)-g(x)\\bigr)}{h}+\\lim_{h \\to 0}\\frac{g(x)\\bigl(f(x+h)-f(x)\\bigr)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"526\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits kennen wir das Ergebnis der folgenden Grenze:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-682c9bad316f22a6e608611a63af1dbc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{h \\to 0}f(x+h)=f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher k\u00f6nnen wir die Grenzen vereinfachen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9df631d571432bd2bbe55b94bb6cb608_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle z'(x)=\\lim_{h \\to 0}f(x+h)\\lim_{h \\to 0}\\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\\lim_{h \\to 0}g(x)\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"563\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77c3c708c8dcd5ee55fb3dfc24900eef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle z'(x)=f(x)\\lim_{h \\to 0}\\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"468\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Betrachtet man schlie\u00dflich die beiden verbleibenden Grenzwerte, entspricht jeder der Definition der Ableitung einer Funktion. Die Gleichstellung kann daher vereinfacht werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d25565e3730d9f761ed2f01b1522946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle z'(x)=f(x)\\cdot g'(x)+g(x)\\cdot f'(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Oder gleichwertig:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1e429dfae9a3659f78a3851759c6320_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.1pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      z'(x)=f'(x)\\cdot g(x)+f(x)\\cdot g'(x) \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man das Produkt zweier Funktionen (Formel) herleitet. 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