{"id":368,"date":"2023-07-04T12:33:10","date_gmt":"2023-07-04T12:33:10","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beschrankte-funktionen\/"},"modified":"2023-07-04T12:33:10","modified_gmt":"2023-07-04T12:33:10","slug":"beschrankte-funktionen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beschrankte-funktionen\/","title":{"rendered":"Begrenzte funktionen"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was begrenzte (obere und untere) Funktionen sind. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir Ihnen, was es bedeutet, dass eine Funktion auf einen Punkt beschr\u00e4nkt ist, und schlie\u00dflich erfahren Sie, welche Eigenschaften diese Art von Funktion hat.<\/p>\n

<\/span> Was ist eine beschr\u00e4nkte Funktion?<\/span><\/h2>\n

Eine begrenzte Funktion<\/strong> ist eine Funktion, deren Graph innerhalb von Grenzen liegt. Das hei\u00dft, eine Funktion ist nach oben beschr\u00e4nkt, wenn es eine Zahl K gibt, so dass es keinen Wert der Funktion gr\u00f6\u00dfer als K (f(x)\u2264K) gibt, und eine Funktion ist nach unten beschr\u00e4nkt, wenn es eine Zahl K gibt, so dass es keinen Wert der Funktion gibt, der gr\u00f6\u00dfer als K ist (f(x)\u2264K). ist kleiner als alle Werte der Funktion (f(x)\u2265K). Daher ist eine beschr\u00e4nkte Funktion eine Funktion, die nach oben und unten beschr\u00e4nkt ist. <\/p>\n

\n
\"beschr\u00e4nkte<\/figure>\n<\/div>\n

Beispielsweise ist die oben dargestellte trigonometrische Sinusfunktion oben durch f(x)=1 und unten durch f(x)=-1 (rot gepunktete Linien) begrenzt, da alle Werte der Die Funktion liegt innerhalb dieser beiden Grenzen. Weitere Eigenschaften dieser Funktion finden Sie unter folgendem Link:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Eigenschaften der Sinusfunktion<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span>Funktion nach oben beschr\u00e4nkt<\/span><\/h2>\n

Allerdings sind nicht alle Funktionen nach oben und unten beschr\u00e4nkt, eine Funktion kann nur nach oben oder unten beschr\u00e4nkt sein.<\/p>\n

Bei den oben beschriebenen begrenzten Funktionen<\/strong> handelt es sich um solche, die einen bestimmten Wert nicht \u00fcberschreiten, d. h. die folgende Bedingung ist erf\u00fcllt:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)\\leq<\/p>\n<\/p>\n

wobei der Wert K die Obergrenze der Funktion ist.<\/p>\n

Beispielsweise ist die folgende Parabel<\/a><\/span> oben durch K=7 begrenzt, die Funktion ist jedoch unten nicht begrenzt, da ihre Zweige bis ins Unendliche reichen. <\/p>\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

Wenn die Funktion durch K=7 begrenzt ist, ist sie logischerweise auch durch K=8 und h\u00f6here Werte begrenzt.<\/p>\n

Die kleinste Obergrenze wird Obergrenze genannt und durch sup(f)<\/em> dargestellt. Wenn die Funktion au\u00dferdem die Obergrenze in ihrem Bereich erreicht, sagen wir, dass dieser Punkt das absolute Maximum<\/strong> der Funktion ist.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Was sind die Maxima und Minima einer Funktion?<\/a><\/span><\/p>\n

In unserem Fall ist die Funktion geometrisch durch K=7 begrenzt, sie ist also das obere Extrem und das absolute Maximum der Funktion. <\/p>\n

<\/span>Funktion unten abgegrenzt<\/span><\/h2>\n

Die unten abgegrenzten Funktionen<\/strong> sind diejenigen, deren Wert nicht kleiner als eine bestimmte Zahl ist, d. h. sie erf\u00fcllen den folgenden mathematischen Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)\\geq<\/p>\n<\/p>\n

Wobei der K-Wert die untere Grenze der Funktion ist.<\/p>\n

Unten sehen Sie die grafische Darstellung einer Exponentialfunktion, die unten durch K=3 begrenzt ist: <\/p>\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

Offensichtlich ist die Funktion auch durch Werte kleiner als K=3 begrenzt.<\/p>\n

Wie zuvor wird die gr\u00f6\u00dfte Untergrenze als Untergrenze bezeichnet und durch inf(f)<\/em> dargestellt. Wenn die Funktion au\u00dferdem das untere Extrem in ihrem Bereich erreicht, sagen wir, dass dieser Punkt das absolute Minimum<\/strong> der Funktion ist.<\/p>\n

In diesem Fall ist K=3 nicht das absolute Minimum der Funktion, da die Funktion diesen Wert im Unendlichen erreicht und sich daher au\u00dferhalb ihres Definitionsbereichs befindet. Mit anderen Worten, f(x)=3 ist einehorizontale Asymptote der Funktion<\/a><\/span> .<\/p>\n

Es gibt einen Satz, mit dem Sie ohne ihre grafische Darstellung feststellen k\u00f6nnen, ob eine Funktion oben und unten beschr\u00e4nkt ist. Klicken Sie hier, um zu sehen, was der Satz von Weierstrass ist.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Satz von Weierstra\u00df<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> An einem Punkt begrenzte Funktion<\/span><\/h2>\n

Wir haben gerade den Begriff der Beschr\u00e4nkung einer Funktion im Allgemeinen untersucht, aber es ist auch m\u00f6glich zu analysieren, ob eine Funktion in einer kleineren Umgebung, also in einem Teil der Funktion, beschr\u00e4nkt ist oder nicht.<\/p>\n

Ja<\/p>\n<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

ist ein Punkt im Bereich der Funktion und<\/p>\n

\"r\"<\/p>\n

Wenn wir einen beliebigen Wert angeben, sagen wir, dass die Funktion an dem Punkt nach oben\/unten beschr\u00e4nkt ist<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

wenn es eine Umgebung gibt<\/p>\n

\"V(a,r)\"<\/p>\n

wobei die Funktion nach oben\/unten beschr\u00e4nkt ist.<\/p>\n

Daher ist eine Funktion im Punkt beschr\u00e4nkt<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

wenn es in einer Nachbarschaft oben und unten abgegrenzt ist<\/p>\n

\"V(a,r).\"<\/p>\n<\/p>\n

Wenn eine Funktion allgemein beschr\u00e4nkt ist, ist sie nat\u00fcrlich auch an jedem ihrer Punkte beschr\u00e4nkt. Das Gegenteil ist jedoch falsch, das hei\u00dft, dass eine Funktion an jedem ihrer Punkte beschr\u00e4nkt sein kann, nicht aber \u00fcber ihren gesamten Definitionsbereich.<\/p>\n

Beispielsweise ist die folgende affine Funktion an jedem ihrer Punkte teilweise beschr\u00e4nkt, es handelt sich jedoch nicht um eine beschr\u00e4nkte Funktion. <\/p>\n

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\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

<\/span> Eigenschaften beschr\u00e4nkter Funktionen<\/span><\/h2>\n

Begrenzte Funktionen haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n