{"id":367,"date":"2023-07-04T12:37:32","date_gmt":"2023-07-04T12:37:32","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-tangensfunktion\/"},"modified":"2023-07-04T12:37:32","modified_gmt":"2023-07-04T12:37:32","slug":"hyperbolische-tangensfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-tangensfunktion\/","title":{"rendered":"Hyperbolische tangensfunktion"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie alles \u00fcber den Tangens hyperbolicus: seine Formel, seine grafische Darstellung, alle seine Eigenschaften, &#8230; <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-tangente-hiperbolica\"><\/span> Hyperbolische Tangensformel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>hyperbolische Tangensfunktion<\/strong> ist eine der wichtigsten hyperbolischen Funktionen und wird durch das Symbol <strong>tanh(x)<\/strong> dargestellt. Mathematisch gesehen ist der hyperbolische Tangens gleich dem hyperbolischen Sinus dividiert durch den hyperbolischen Kosinus.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12f286528bc0635705aadbe510b6ceb7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aus der <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-sinusfunktion\/\">hyperbolischen Sinusformel<\/a><\/span> und der <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-kosinusfunktion\/\">hyperbolischen Kosinusformel<\/a><\/span> k\u00f6nnen wir zu folgendem Ausdruck gelangen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a53ac0ed7df921993e36d27fdcda71c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher h\u00e4ngt die hyperbolische Tangensfunktion mit der Exponentialfunktion zusammen. Unter dem folgenden Link k\u00f6nnen Sie alle Merkmale dieser Funktionstypen sehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/exponentialfunktion\/\">Eigenschaften von Exponentialfunktionen<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"representacion-grafica-de-la-tangente-hiperbolica\"><\/span> Grafische Darstellung des hyperbolischen Tangens<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Aus seiner Formel k\u00f6nnen wir die hyperbolische Tangensfunktion grafisch darstellen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/tangente-hyperbolique.webp\" alt=\"hyperbolischer Tangens\" class=\"wp-image-403\" width=\"349\" height=\"276\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wie Sie aus der Grafik ersehen k\u00f6nnen, hat die hyperbolische Tangensfunktion zwei horizontale Asymptoten bei x=+1 und x=-1, da der Grenzwert der Funktion bei Ann\u00e4herung von x an Plus-Unendlich x=+1 ergibt und der Grenzwert bei Minus-Unendlich liegt ergibt x=-1.<\/p>\n<p> Andererseits hat der Graph des Tangens hyperbolicus nichts mit dem Graphen des Tangens (trigonometrische Funktion) zu tun, der eine periodische Funktion ist. Die grafische Darstellung des Tangens und wie er sich vom hyperbolischen Tangens unterscheidet, k\u00f6nnen Sie im folgenden Link sehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/tangensfunktion\/\"><span style=\"text-decoration: underline;\">Grafische Darstellung der Tangensfunktion<\/span><\/a> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-la-tangente-hiperbolica\"><\/span> Eigenschaften des hyperbolischen Tangens<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die hyperbolische Tangensfunktion hat die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> Der Definitionsbereich der hyperbolischen Tangensfunktion sind alle reellen Zahlen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cd1539b66edeb38040ed80168e1fd9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Im Gegensatz dazu ist der Pfad bzw. Bereich der hyperbolischen Tangensfunktion auf Werte zwischen -1 und +1 (nicht inklusive) beschr\u00e4nkt.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46fa688a38d3c0a9fed447bd46cd6857_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Im } f= (-1,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der hyperbolische Tangens ist eine stetige, bijektive und ungerade Funktion (symmetrisch zum Koordinatenursprung).<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4905247e8dd5f9d0116452745122d04b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{tanh}(-x) =- \\text{tanh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Funktion schneidet die X-Achse und die Y-Achse im Koordinatenursprung.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cf2000c782cfe94be6df5f499cd3e24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Grenzen der hyperbolischen Tangensfunktion auf plus\/minus unendlich ergeben +1\/-1. Daher hat die Funktion eine horizontale Asymptote bei x=+1 und eine weitere horizontale Asymptote bei x=-1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efa518f1c75b0628fee415414c4ddadd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\text{tanh}(x)=+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ccb67d43c129867f0f8d277701221620_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to-\\infty}\\text{tanh}(x)=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Tangens hyperbolicus ist \u00fcber seinen gesamten Bereich streng steigend, hat also keine relativen Extrema (weder Maximum noch Minimum).<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Allerdings \u00e4ndert sich die Funktion am Punkt x = 0 von konvex zu konkav, sodass x = 0 ein Wendepunkt der Funktion ist.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Umkehrung der hyperbolischen Tangensfunktion wird als Argument des hyperbolischen Tangens (oder hyperbolischen Arkustangens) bezeichnet und ihre Formel lautet wie folgt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8258540cca67218d148d2599727d907_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{tanh}^{-1}(x)=\\text{arg tanh}(x)=\\cfrac{1}{2}\\ln\\left(\\frac{1+x}{1-x}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"314\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Ableitung der hyperbolischen Tangensfunktion ist 1 dividiert durch das Quadrat des hyperbolischen Kosinus:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ad0f1a0c4fd6c882bfcdd08f8506c21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tanh}(x) \\ \\longrightarrow \\ f'(x)=\\cfrac{1}{\\text{cosh}^2(x)}=1-\\text{tanh}^2(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"418\" style=\"vertical-align: -19px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das Integral der hyperbolischen Tangensfunktion ist der nat\u00fcrliche Logarithmus des hyperbolischen Kosinus:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2709f2a36bdbb4b252b040c61bac1309_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\int\\text{tanh}(x) \\ dx= \\ln\\Bigl(\\text{cosh}(x)\\Bigr)+C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"258\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der hyperbolische Tangens der Summe zweier verschiedener Zahlen kann durch Anwendung der folgenden Gleichung berechnet werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0291100dea0b530852aa2515f1068f1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tanh}(x+y)=\\cfrac{\\text{tanh}(x)+\\text{tanh}(y)}{1+\\text{tanh}(x)\\cdot \\text{tanh}(y)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das Taylor-Polynom oder die hyperbolische Tangensreihe hat den Konvergenzradius\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab4119d73bfd1bc300545aa64addcbc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left|x\\right|<\\cfrac{\\pi}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"55\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<p> und entspricht dem folgenden Ausdruck:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c8f0d05ddc7f9bc94f576b83e1c6c88e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{tanh}(x)=x-\\frac{x^3}{3}+\\frac{2x^5}{15}-\\frac{17x^7}{315}+\\cdots =\\sum_{n=1}^\\infty\\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"515\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e2075b7c578253ce28ea159b37e5b41_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B_n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"21\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist die <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/N%C3%BAmero_de_Bernoulli\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Bernoulli-Zahl<\/a> .<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie alles \u00fcber den Tangens hyperbolicus: seine Formel, seine grafische Darstellung, alle seine Eigenschaften, &#8230; Hyperbolische Tangensformel Die hyperbolische Tangensfunktion ist eine der wichtigsten hyperbolischen Funktionen und wird durch das Symbol tanh(x) dargestellt. 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