{"id":366,"date":"2023-07-04T13:41:37","date_gmt":"2023-07-04T13:41:37","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-kosinusfunktion\/"},"modified":"2023-07-04T13:41:37","modified_gmt":"2023-07-04T13:41:37","slug":"hyperbolische-kosinusfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-kosinusfunktion\/","title":{"rendered":"Hyperbolische kosinusfunktion"},"content":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie alles \u00fcber die hyperbolische Kosinusfunktion: Wie lautet ihre Formel, ihre grafische Darstellung, ihre Eigenschaften, die mathematischen Beziehungen zu anderen Funktionen usw. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Hyperbolische Kosinusformel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>hyperbolische Kosinusfunktion<\/strong> ist eine der wichtigsten hyperbolischen Funktionen und wird durch das Symbol <strong>cosh(x)<\/strong> dargestellt. Der hyperbolische Kosinus ist gleich der Summe von e <sup>x<\/sup> plus e <sup>-x<\/sup> dividiert durch 2.<\/p>\n<p> Daher lautet die Formel f\u00fcr den hyperbolischen Kosinus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f667377a7e792f2c9f5f5a7a0ecda4e9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}(x)=\\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit h\u00e4ngt der hyperbolische Kosinus mathematisch mit der Exponentialfunktion zusammen. Im folgenden Link k\u00f6nnen Sie die Eigenschaften dieses Funktionstyps sehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/exponentialfunktion\/\">Eigenschaften der Exponentialfunktion<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"representacion-grafica-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Grafische Darstellung des hyperbolischen Kosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die grafische Darstellung der hyperbolischen Kosinusfunktion erfolgt in Form einer quadratischen Funktion (oder Parabel): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/cosinus-hyperbolique.webp\" alt=\"hyperbolischer Kosinus\" class=\"wp-image-376\" width=\"281\" height=\"308\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/quadratische-parabelfunktion\/\">Grafische Darstellung einer quadratischen Funktion<\/a><\/span> .<\/p>\n<p> In diesem Diagramm k\u00f6nnen wir deutlich erkennen, dass der hyperbolische Kosinus eine gerade Funktion ist, da er symmetrisch zur y-Achse ist.<\/p>\n<p> Andererseits unterscheidet sich der Graph des hyperbolischen Kosinus stark von dem des Kosinus (trigonometrische Funktion), der eine periodische Funktion ist. Die grafische Darstellung des Kosinus und alle Unterschiede zum hyperbolischen Kosinus k\u00f6nnen Sie im folgenden Link sehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/kosinusfunktion\/\">Grafische Darstellung der Kosinusfunktion<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Eigenschaften des hyperbolischen Kosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der hyperbolische Kosinus ber\u00fccksichtigt die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> Der Definitionsbereich der hyperbolischen Kosinusfunktion sind alle reellen Zahlen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cd1539b66edeb38040ed80168e1fd9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Stattdessen ist der Bereich (oder Bereich) der hyperbolischen Kosinusfunktion 1 und alle Zahlen gr\u00f6\u00dfer als 1:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60c76341385ea1ebb5f20476cd8226f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Im } f= [1,+\\infty)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der hyperbolische Kosinus ist eine stetige und gerade Funktion.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91f3c4459fc8d8840fd902946c851d1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{cosh}(-x)=\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Funktion schneidet die Y-Achse im Punkt x=0.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd01415f329053c1a450867378fc1582_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Andererseits hat die Funktion keinen Schnittpunkt mit der X-Achse.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die beiden Grenzwerte bis Unendlich (positiv und negativ) der hyperbolischen Kosinusfunktion ergeben plus Unendlich.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a5aadc0c48684e553e9971aefe442d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\text{cosh}(x)=+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb2a605c43e81635473abf73554d264f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to-\\infty}\\text{cosh}(x)=+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"161\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der hyperbolische Kosinus nimmt bis x = 0 ab und nimmt von diesem Punkt an auf unbestimmte Zeit zu, sodass die Funktion bei x = 0 ein Minimum hat.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd01415f329053c1a450867378fc1582_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich konvex, hat also keinen Wendepunkt.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Ableitung der hyperbolischen Kosinusfunktion ist der hyperbolische Sinus:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a7a982aae764353843a57652f9a6797_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cosh}(x) \\ \\longrightarrow \\ f'(x)=\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"286\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das Integral der hyperbolischen Kosinusfunktion ist der hyperbolische Sinus:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a509c96c515bb7115359764e7e4451df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\int \\text{cosh}(x) \\ dx= \\text{senh}(x) + C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"221\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das Taylor-Polynom (oder die Maclaurin-Reihe) der hyperbolischen Kosinusfunktion lautet wie folgt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cdbe87b63234b62e226371256f8a6c8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}(x)=1+\\cfrac{x^2}{2!}+\\cfrac{x^4}{4!}+\\cfrac{x^6}{6!}+\\dots=\\sum_{n=0}^\\infty\\cfrac{x^{2n}}{(2n)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"350\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Laplace-Transformation der hyperbolischen Kosinusfunktion lautet wie folgt: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ee373a19450972f0c4cccc3a273770e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathcal{L}\\bigl[\\text{cosh}(at)\\bigr]=\\cfrac{s}{s^2-a^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"relaciones-matematicas-del-coseno-hiperbolico\"><\/span> Mathematische Beziehungen des hyperbolischen Kosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Als n\u00e4chstes werden wir sehen, wie der hyperbolische Kosinus aus anderen hyperbolischen Funktionen berechnet werden kann, da sie alle mathematisch verwandt sind.<\/p>\n<p> Die Grundgleichung setzt den hyperbolischen Kosinus mit dem hyperbolischen Sinus in Beziehung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4317a445a90e4d139b47db7cf4a49a1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-sinusfunktion\/\"><span style=\"text-decoration: underline;\">Sinus hyperbolicus<\/span><\/a><\/p>\n<p> Die drei wichtigsten hyperbolischen Funktionen (hyperbolischer Sinus, Cosinus und Tangens) k\u00f6nnen durch die folgende Gleichung in Beziehung gesetzt werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12f286528bc0635705aadbe510b6ceb7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits kann der hyperbolische Kosinus der Addition (oder Subtraktion) zweier verschiedener Zahlen durch die folgenden Formeln bestimmt werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75dff3fbdfd533e08cf581767a0d9b7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}(x+y)=\\text{cosh}(x)\\text{cosh}(y)+\\text{senh}(y)\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"363\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3762e67762eecb02ed3d30c39febca9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}(x-y)=\\text{cosh}(x)\\text{cosh}(y)-\\text{senh}(y)\\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"363\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der hyperbolische Kosinus des Doppelten einer Zahl ist gleich der Summe der Quadrate des hyperbolischen Kosinus und des hyperbolischen Sinus dieser Zahl:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be5e2f8a1f407e6dce0c53932575d545_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}(2x)=\\text{cosh}^2(x)+\\text{senh}^2(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Addition oder Subtraktion zweier hyperbolischer Kosinuswerte kann mithilfe der folgenden Formeln berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02b9d1c798f2639e6503add69dcdb401_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}(x)+\\text{cosh}(y)=2\\text{cosh}\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\\text{cosh}\\left(\\frac{x-y}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"384\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ec9d613adc720e383f1c3c0c9c8ca5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{cosh}(x)-\\text{cosh}(y)=2\\text{senh}\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\\text{senh}\\left(\\frac{x-y}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"386\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich kann das Quadrat des hyperbolischen Kosinus mit der folgenden Formel berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33c90357c8680ebd2ca5725aad7703f7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}^2(x)=\\cfrac{1}{2}\\Bigl(\\text{cosh}(2x)+1\\Bigr)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"215\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie alles \u00fcber die hyperbolische Kosinusfunktion: Wie lautet ihre Formel, ihre grafische Darstellung, ihre Eigenschaften, die mathematischen 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