{"id":365,"date":"2023-07-04T13:53:47","date_gmt":"2023-07-04T13:53:47","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-sinusfunktion\/"},"modified":"2023-07-04T13:53:47","modified_gmt":"2023-07-04T13:53:47","slug":"hyperbolische-sinusfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/hyperbolische-sinusfunktion\/","title":{"rendered":"Hyperbolische sinusfunktion"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erfahren Sie alles \u00fcber den Sinus hyperbolicus: Wie lautet seine Formel, seine grafische Darstellung, alle seine Eigenschaften, die Beziehungen zu anderen Funktionen, \u2026 <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Hyperbolische Sinusformel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die <strong>hyperbolische Sinusfunktion<\/strong> ist eine der wichtigsten hyperbolischen Funktionen und wird durch das Symbol <strong>sinh(x)<\/strong> oder <strong>sinh(x)<\/strong> dargestellt. Der hyperbolische Sinus ist gleich e <sup>x<\/sup> minus e <sup>-x<\/sup> geteilt durch 2.<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr den Sinus hyperbolicus lautet daher wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-924551c3d4c8b1d68b0c9a7cf2115ca8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}(x)=\\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit h\u00e4ngt der hyperbolische Sinus mit der Exponentialfunktion zusammen.<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/exponentialfunktion\/\"><span style=\"text-decoration: underline;\">Eigenschaften der Exponentialfunktion<\/span><\/a> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"representacion-grafica-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Grafische Darstellung des hyperbolischen Sinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Mit der Formel, die wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, k\u00f6nnen wir eine Tabelle der hyperbolischen Sinuswerte erstellen und die Funktion grafisch darstellen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/sinus-hyperbolique.webp\" alt=\"hyperbolischer Sinus\" class=\"wp-image-346\" width=\"281\" height=\"349\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> In diesem Diagramm k\u00f6nnen wir sehen, dass der hyperbolische Sinus eine <strong>ungerade<\/strong> Funktion ist, da die gegen\u00fcberliegenden x entgegengesetzte Bilder haben, oder mit anderen Worten, der hyperbolische Sinusgraph ist symmetrisch zum Koordinatenursprung (0, 0).<\/p>\n<p> Wie Sie sehen k\u00f6nnen, unterscheidet sich der hyperbolische Sinusgraph stark von dem des Sinus, der eine periodische Funktion ist. Die grafische Darstellung des Sinus und alle Unterschiede zum hyperbolischen Sinus k\u00f6nnen Sie im folgenden Link sehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/sinusfunktion\/\">Grafische Darstellung der Sinusfunktion<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Eigenschaften des hyperbolischen Sinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der Sinus hyperbolicus hat folgende Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> Der Definitionsbereich der hyperbolischen Sinusfunktion sind alle reellen Zahlen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cd1539b66edeb38040ed80168e1fd9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom } f = \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Auch der Bereich bzw. Bereich der hyperbolischen Sinusfunktion sind allesamt reelle Zahlen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a954b5c192478c3b7b14428ac8d5cbc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Im } f= \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Sinus hyperbolicus ist eine stetige und ungerade Funktion.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b37f1a110d810d8dbf0b5a52a1175c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{senh}(-x) =- \\text{senh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Schnittpunkt der X-Achse und der Y-Achse am selben Schnittpunkt, dem Koordinatenursprung:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cf2000c782cfe94be6df5f499cd3e24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(0,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Grenzwert der hyperbolischen Sinusfunktion, wenn x gegen plus\/minus unendlich tendiert, ist gleich plus\/minus unendlich:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14c1cd1cfcf12880c94a1a992fca6636_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\text{senh}(x)=+\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3bad505c476b08f8494c9d4a558ca46_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to-\\infty}\\text{senh}(x)=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Sinus hyperbolicus nimmt im gesamten Bereich streng zu, hat also weder Maxima noch Minima.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Allerdings \u00e4ndert sie im Punkt x = 0 ihre Kr\u00fcmmung, ist also ein Wendepunkt der Funktion. F\u00fcr Werte kleiner als x=0 handelt es sich um eine konkave Funktion, f\u00fcr Werte gr\u00f6\u00dfer als x=0 hingegen um eine konvexe Funktion.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Ableitung der hyperbolischen Sinusfunktion ist der hyperbolische Kosinus:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c47c54bd2abef41b1660f7779cd51cc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{senh}(x) \\ \\longrightarrow \\ f'(x)=\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"286\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Ebenso ist das Integral der hyperbolischen Sinusfunktion der hyperbolische Kosinus:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb5ef4d6ad0649cda51f73b558814b45_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\int \\text{senh}(x) \\ dx= \\text{cosh}(x) + C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"221\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Taylor-Reihe der hyperbolischen Sinusfunktion entspricht dem folgenden Ausdruck:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3db771459579b232c860bb1276f1d665_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}(x)=x+\\cfrac{x^3}{3!}+\\cfrac{x^5}{5!}+\\cfrac{x^7}{7!}+\\dots=\\sum_{n=0}^\\infty\\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"382\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Laplace-Transformation der hyperbolischen Sinusfunktion lautet wie folgt: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3e6b1c1d82a639269c25218155f4019_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathcal{L}\\bigl[\\text{senh}(at)\\bigr]=\\cfrac{a}{s^2-a^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"172\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"relaciones-matematicas-del-seno-hiperbolico\"><\/span> Mathematische Beziehungen des hyperbolischen Sinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der hyperbolische Sinus ist durch die folgenden Gleichungen mit den anderen hyperbolischen Funktionen verkn\u00fcpft:<\/p>\n<p> Die Grundgleichung setzt den hyperbolischen Sinus mit dem hyperbolischen Kosinus in Beziehung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4317a445a90e4d139b47db7cf4a49a1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cosh}^2(x)-\\text{senh}^2(x)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher sind die hyperbolischen Sinus- und Cosinusfunktionen durch die Hyperbelgleichung verkn\u00fcpft, die x <sup>2<\/sup> -y <sup>2<\/sup> =1 ist. Im Gegensatz zu den trigonometrischen Sinus- und Cosinusfunktionen, die durch die Kreisgleichung (x <sup>2<\/sup> +y <sup>2<\/sup> =1) verkn\u00fcpft sind.<\/p>\n<p> Die hyperbolischen Funktionen von Sinus, Cosinus und Tangens k\u00f6nnen durch die folgende Gleichung in Beziehung gesetzt werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12f286528bc0635705aadbe510b6ceb7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits kann der hyperbolische Sinus der Addition oder Subtraktion zweier verschiedener Zahlen mit den folgenden Formeln berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0b2492cbc95b27046485a6d7d9cd08c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}(x+y)=\\text{senh}(x)\\text{cosh}(y)+\\text{senh}(y)\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"364\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a2205899042608a33bd61b158526026_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}(x-y)=\\text{senh}(x)\\text{cosh}(y)-\\text{senh}(y)\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"364\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der hyperbolische Sinus des Doppelten einer Zahl kann durch Anwendung der folgenden mathematischen Beziehung bestimmt werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0d5c63a53de957eac1f69a4fb209f96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}(2x)=2\\text{senh}(x)\\text{cosh}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"215\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Summe oder Subtraktion zweier hyperbolischer Sinus kann mit den folgenden Formeln ermittelt werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d3598ef49dbf33b925a73edc773a85d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}(x)+\\text{senh}(y)=2\\text{senh}\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\\text{cosh}\\left(\\frac{x-y}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"387\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00ee545f4866d13406bc3d5de7de528a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{senh}(x)-\\text{senh}(y)=2\\text{senh}\\left(\\frac{x-y}{2}\\right)\\text{cosh}\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"387\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich kann das Quadrat des hyperbolischen Sinus mit der folgenden Formel berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e3e8284b95e317f876a4f8802ebf5fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{senh}^2(x)=\\cfrac{1}{2}\\Bigl(\\text{cosh}(2x)-1\\Bigr)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"216\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erfahren Sie alles \u00fcber den Sinus hyperbolicus: Wie lautet seine Formel, seine grafische Darstellung, alle seine Eigenschaften, die Beziehungen zu anderen Funktionen, \u2026 Hyperbolische Sinusformel Die hyperbolische Sinusfunktion ist eine der wichtigsten hyperbolischen Funktionen und wird durch das Symbol sinh(x) oder sinh(x) dargestellt. 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