{"id":364,"date":"2023-07-04T14:44:12","date_gmt":"2023-07-04T14:44:12","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/periodizitat-einer-amtszeit\/"},"modified":"2023-07-04T14:44:12","modified_gmt":"2023-07-04T14:44:12","slug":"periodizitat-einer-amtszeit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/periodizitat-einer-amtszeit\/","title":{"rendered":"Periodizit\u00e4t einer funktion (periode)"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was die Periodizit\u00e4t einer Funktion ist. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie einige Beispiele f\u00fcr periodische Funktionen. Abschlie\u00dfend analysieren wir die Periode trigonometrischer Funktionen, da sie eines ihrer wichtigsten Merkmale ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-periodicidad-de-una-funcion\"><\/span> Was ist die Periodizit\u00e4t einer Funktion?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Periodizit\u00e4t einer Funktion ist ein Merkmal von Funktionen, die ihre Werte zyklisch wiederholen, d. h. eine Funktion ist periodisch, wenn sich ihr Graph in jedem bestimmten Intervall wiederholt. Dieses Intervall wird als Periode bezeichnet.<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/periodicite-dune-fonction.webp\" alt=\"Periodizit\u00e4t einer Funktion\" class=\"wp-image-328\" width=\"348\" height=\"249\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Mathematisch ist eine Funktion nur dann periodisch, wenn sie erf\u00fcllt ist<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a459750e9149a1753a7173d6e0761e95_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=f(x+T)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> f\u00fcr jeden Wert der unabh\u00e4ngigen Variablen x.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-762d2702efece63b455dc96e3ca7366c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=f(x+3T)=\\ldots=f(x+kT)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"476\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wobei <em>T<\/em> die Periode der periodischen Funktion i <em>k<\/em> ganzzahlig ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-periodicidades-de-funciones\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Funktionsperiodizit\u00e4ten<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir das Konzept der Periodizit\u00e4t einer Funktion kennengelernt haben, werden wir mehrere Beispiele f\u00fcr die Berechnung der Periodizit\u00e4t einer Funktion sehen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie, ob die folgende Funktion periodisch ist: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-fonction-periodique.webp\" alt=\"Beispiel f\u00fcr eine periodische Funktion\" class=\"wp-image-331\" width=\"636\" height=\"234\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Diese st\u00fcckweise definierte Funktion ist eine periodische Funktion, da sich die Werte ihres Graphen zyklisch wiederholen. Genauer gesagt nimmt die Funktion alle sechs x den gleichen Wert an, daher ist die Periode der Funktion gleich 6.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73bf76dfe01364f5d6e7696a532ce649_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T=6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 2<\/h3>\n<p> Finden Sie die Periodizit\u00e4t der folgenden Funktion: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-graphique-cosinus.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-293\" width=\"742\" height=\"207\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Diese Funktion entspricht der grafischen Darstellung einer trigonometrischen Funktion, genauer gesagt der Kosinusfunktion.<\/p>\n<p> Wie wir der Grafik entnehmen k\u00f6nnen, wiederholt die Funktion ihre Werte periodisch, es handelt sich also um eine periodische Funktion. Dar\u00fcber hinaus gibt es zwischen dem H\u00f6hepunkt und dem H\u00f6hepunkt der Welle einen Abstand von 2\u03c0 (oder 360\u00b0), das ist also die Periode der Funktion. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e276a686cc8bb006030ce506a388e708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"T=2\\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"periodicidad-de-funciones-trigonometricas\"><\/span> Periodizit\u00e4t trigonometrischer Funktionen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Periodizit\u00e4t und trigonometrische Funktionen h\u00e4ngen eng zusammen. Tats\u00e4chlich besteht eines der Hauptmerkmale dieser Art von Funktionen darin, dass die meisten trigonometrischen Funktionen periodisch sind.<\/p>\n<p> Als n\u00e4chstes untersuchen wir die Periodizit\u00e4t der drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Periode der Sinusfunktion<\/h3>\n<p> Der Ausdruck f\u00fcr die Sinusfunktion lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ef34795a3bfccbfb3b0219ab0ddc3b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= A\\text{sen}(wx)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall ist es nicht erforderlich, die Funktion grafisch darzustellen, um ihre Periode zu ermitteln, sondern sie kann einfach durch Anwendung der folgenden Formel berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e76a82833c0a1d358166343d2e82e4d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle T=\\cfrac{2\\pi}{w}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dar\u00fcber hinaus hat die Sinusfunktion die Besonderheit, dass wir, wenn wir ihre Periode \u00e4ndern, auch die Form ihres Diagramms \u00e4ndern. Wie sich der Periodenwert auf seine grafische Darstellung auswirkt, k\u00f6nnen Sie im folgenden Link sehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/sinusfunktion\/\">Diagramm der Sinusfunktion<\/a><\/span><\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Periode der Kosinusfunktion<\/h3>\n<p> Der algebraische Ausdruck f\u00fcr die Kosinusfunktion lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d7700fc10f642ba455e6ed144d6d920_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= A\\text{cos}(wx)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie beim Sinus l\u00e4sst sich die Periode der Kosinusfunktion direkt mit der folgenden Formel ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e76a82833c0a1d358166343d2e82e4d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle T=\\cfrac{2\\pi}{w}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Wert der Kosinusperiode bestimmt vollst\u00e4ndig ihren Graphen. Klicken Sie auf den folgenden Link und finden Sie heraus, warum:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/sinusfunktion\/\">Graph der Kosinusfunktion<\/a><\/span><\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Periode der Tangensfunktion<\/h3>\n<p> Die Tangensfunktion wird mathematisch beschrieben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5e2cc1f194f1a7fee12fa1156ad3fa6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)= \\text{tg}(wx)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Periode der Tangensfunktion wird nach der gleichen Formel berechnet wie die von Sinus und Cosinus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e76a82833c0a1d358166343d2e82e4d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle T=\\cfrac{2\\pi}{w}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Tangensfunktionsgraph unterscheidet sich jedoch von Sinus und Cosinus, da er auch Asymptoten aufweist, die sich periodisch wiederholen. Sie k\u00f6nnen diese und andere Funktionen dieser trigonometrischen Funktion unter dem folgenden Link sehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/tangensfunktion\/\">Graph der Tangensfunktion<\/a><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was die Periodizit\u00e4t einer Funktion ist. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie einige Beispiele f\u00fcr periodische Funktionen. Abschlie\u00dfend analysieren wir die Periode trigonometrischer Funktionen, da sie eines ihrer wichtigsten Merkmale ist. Was ist die Periodizit\u00e4t einer Funktion? 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