Auf dieser Seite finden Sie alles \u00fcber die Sinusfunktion: Was ist sie, wie lautet ihre Formel, wie stellt man sie in einem Diagramm dar, die Eigenschaften dieser Art von Funktion, Amplitude, Periode usw. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie verschiedene Beispiele f\u00fcr Sinusfunktionen sehen, um das Konzept vollst\u00e4ndig zu verstehen. Er erkl\u00e4rt sogar den Sinussatz und die Beziehungen, die die Sinusfunktion zu anderen trigonometrischen Verh\u00e4ltnissen hat. <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/span> Sinusfunktionsformel <\/span><\/h2>\n
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Die Sinusfunktion<\/strong> eines Winkels \u03b1 ist eine trigonometrische Funktion, deren Formel als das Verh\u00e4ltnis zwischen dem gegen\u00fcberliegenden Schenkel und der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (Dreieck mit rechtem Winkel) definiert ist. <\/p>\n<\/div>\n
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Diese Art mathematischer Funktionen wird oft mit der Abk\u00fcrzung \u201eS\u00fcnde\u201c oder \u201eS\u00fcnde\u201c (von lat. sinus<\/em> ) geschrieben. Dar\u00fcber hinaus kann es auch als Sinus-, Sinus- oder Sinusfunktion bezeichnet werden.<\/p>\n
Die Sinusfunktion ist neben dem Kosinus und dem Tangens eines Winkels eines der bekanntesten trigonometrischen Verh\u00e4ltnisse. <\/p>\n
<\/span> Charakteristische Werte der Sinusfunktion<\/span><\/h2>\n
Einige Winkel wiederholen sich h\u00e4ufig und daher ist es praktisch, den Wert der Sinusfunktion bei diesen Winkeln zu kennen: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Das Vorzeichen der Sinusfunktion h\u00e4ngt also davon ab, in welchem Quadranten sich der Winkel befindet: Liegt der Winkel im ersten oder zweiten Quadranten, ist der Sinus positiv, liegt der Winkel hingegen im dritten oder vierten Quadranten , der Sinus wird negativ sein. <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/span> Grafische Darstellung der Sinusfunktion<\/span><\/h2>\n
Mit der Wertetabelle, die wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, k\u00f6nnen wir die Sinusfunktion grafisch darstellen. Wenn wir also die Sinusfunktion grafisch darstellen, erhalten wir: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Wie Sie der Grafik entnehmen k\u00f6nnen, liegen die Werte der Bilder der Sinusfunktion immer zwischen +1 und -1, das hei\u00dft, sie wird oben durch +1 und unten durch -1 begrenzt. Dar\u00fcber hinaus wiederholen sich die Werte alle 360 Grad (2\u03c0 Bogenma\u00df), es handelt sich also um eine periodische Funktion<\/strong> mit einer Periode von 360\u00b0.<\/p>\n
Andererseits erkennen wir in diesem Diagramm vollkommen, dass die Sinusfunktion ungerade ist, weil ihre entgegengesetzten Elemente entgegengesetzte Bilder haben, oder mit anderen Worten, sie ist symmetrisch in Bezug auf den Ursprung (0,0). Beispielsweise ist der Sinus von 90\u00b0 1 und der Sinus von -90\u00b0 ist -1. <\/p>\n
<\/span> Eigenschaften der Sinusfunktion<\/span><\/h2>\n
Die Sinusfunktion hat folgende Eigenschaften:<\/p>\n
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Der Definitionsbereich der Sinusfunktion sind alle reellen Zahlen, da die Funktion, wie die Grafik zeigt, f\u00fcr jeden Wert der unabh\u00e4ngigen Variablen x existiert.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Der Pfad oder Bereich der Sinusfunktion reicht von minus 1 bis plus 1 (beide einschlie\u00dflich).<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Es handelt sich um eine stetige und ungerade Funktion mit der Periodizit\u00e4t 2\u03c0.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Diese Art von trigonometrischer Funktion hat einen einzigen Schnittpunkt mit der y-Achse (Y-Achse) im Punkt (0,0).<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
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Stattdessen schneidet es periodisch die Abszisse (X-Achse) an mehreren Koordinaten von Pi.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Das Maximum der Sinusfunktion tritt auf, wenn:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Und umgekehrt liegt das Minimum der Sinusfunktion bei:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
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Die Ableitung der Sinusfunktion ist der Kosinus:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Schlie\u00dflich ist das Integral der Sinusfunktion das ge\u00e4nderte Vorzeichen des Cosinus: <\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Periode und Amplitude der Sinusfunktion<\/span><\/h2>\n
Wie wir in seinem Diagramm gesehen haben, ist die Sinusfunktion eine periodische Funktion, das hei\u00dft, ihre Werte wiederholen sich entsprechend einer Frequenz. Dar\u00fcber hinaus h\u00e4ngen die Maximal- und Minimalwerte, zwischen denen es schwankt, von seiner Amplitude ab. Daher sind zwei Merkmale, die die Sinusfunktion bestimmen, ihre Periode und ihre Amplitude:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
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Die Periode<\/strong> der Sinusfunktion ist der Abstand zwischen zwei Punkten, an denen sich der Graph wiederholt, und wird mit der folgenden Formel berechnet:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Die Amplitude<\/strong> der Sinusfunktion entspricht dem Koeffizienten vor dem Sinusterm.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Unten sehen Sie eine Grafik, die die Auswirkungen einer \u00c4nderung der Periode oder Amplitude zeigt: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
In der gr\u00fcn dargestellten Funktion k\u00f6nnen wir sehen, dass die Funktion durch die Verdoppelung der Amplitude von +2 auf -2 geht, statt von +1 auf -1. Andererseits sieht man in der rot dargestellten Funktion, dass sie doppelt so schnell abl\u00e4uft wie die \u201ekanonische\u201c Sinusfunktion, da ihre Periode halbiert wurde.<\/p>\n
<\/span> Sinussatz<\/span><\/h2>\n
Obwohl der Sinus normalerweise auf rechtwinklige Dreiecke angewendet wird, gibt es auch einen Satz, der f\u00fcr jede Art von Dreieck gilt: den Sinussatz.<\/p>\n
Das Sinusgesetz<\/strong> verkn\u00fcpft die Seiten und Winkel jedes Dreiecks wie folgt: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Beziehungen der Sinusfunktion zu anderen trigonometrischen Verh\u00e4ltnissen<\/span><\/h2>\n
Nachfolgend finden Sie die Sinusbeziehungen mit den wichtigsten trigonometrischen Verh\u00e4ltnissen in der Trigonometrie.<\/p>\n
Kosinusverh\u00e4ltnis<\/h3>\n
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Der Graph der Kosinusfunktion entspricht der Sinuskurve, ist jedoch verschoben\n
<\/p>\n
nach links, sodass die beiden Funktionen durch den folgenden Ausdruck verkn\u00fcpft werden k\u00f6nnen:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
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Sie k\u00f6nnen Sinus und Cosinus auch mit der trigonometrischen Grundidentit\u00e4t in Beziehung setzen:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Beziehung zur Tangente<\/h3>\n
\n
Obwohl der Beweis komplex ist, kann der Sinus nur durch den Tangens ausgedr\u00fcckt werden:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Beziehung zum Kosekans<\/h3>\n
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Sinus und Kosekans sind multiplikative Umkehrungen:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Beziehung zur Sekante<\/h3>\n
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Der Sinus kann gel\u00f6scht werden, sodass er nur noch von der Sekante abh\u00e4ngt:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Zusammenhang mit dem Kotangens<\/h3>\n
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Sinus und Kotangens eines Winkels h\u00e4ngen durch die folgende Gleichung zusammen:<\/li>\n<\/ul>\n
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