Eine umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion<\/strong> ist eine Funktion, die zwei umgekehrt proportionale Gr\u00f6\u00dfen in Beziehung setzt, das hei\u00dft, dass eine Gr\u00f6\u00dfe zunimmt, wenn die andere abnimmt, und umgekehrt. Im Allgemeinen werden inverse Proportionalit\u00e4tsfunktionen durch die folgende Formel definiert:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n ist eine Konstante, die Proportionalit\u00e4tsverh\u00e4ltnis genannt wird.<\/p>\n<\/div>\n Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktionen bestehen also immer aus Br\u00fcchen mit einem Polynom ersten Grades im Nenner. Sie sind daher eine Art rationale Funktion.<\/p>\n Beispiele f\u00fcr umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktionen:<\/p>\n<\/p>\n Allgemein<\/p>\n<\/p>\n ist im Allgemeinen die unabh\u00e4ngige Variable und<\/p>\n die abh\u00e4ngige Variable, oder mit anderen Worten, die Variable<\/p>\n darauf ankommen<\/p>\n Andererseits kann das Proportionalit\u00e4tsverh\u00e4ltnis (der Z\u00e4hlerterm) positiv oder negativ sein und sein Vorzeichen markiert die Zunahme oder Abnahme der Funktion:<\/p>\n negativ ist, nimmt die Funktion zu.<\/li>\n positiv ist, nimmt die Funktion ab. <\/li>\n<\/ul>\n Wie Sie sehen, besteht der Graph einer Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion immer aus zwei Hyperbeln<\/strong> , die je nach Vorzeichen von k<\/em> in dem einen oder anderen Quadranten liegen. <\/p>\n Da es sich um eine Art rationaler Funktion handelt, umfasst der Definitionsbereich einer inversen Proportionalit\u00e4tsfunktion alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjenigen, die aus dem Nenner verschwinden<\/strong> . Denn der Nenner kann niemals Null sein, denn das w\u00fcrde Unendlich ergeben.<\/p>\n Als Beispiel bestimmen wir den Definitionsbereich der folgenden Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion:<\/p>\n<\/p>\n Um zu wissen, wann der Nenner Null ist, m\u00fcssen wir seinen Ausdruck auf 0 ausgleichen und die Gleichung l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Wenn also x den Wert 1 annimmt, ist der Nenner Null und wir erhalten Unbestimmtheit. Der Definitionsbereich der Funktion ist also das Minus aller reellen Zahlen <\/p>\n<\/p>\n Wir werden anhand eines Beispiels sehen, wie man eine umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion grafisch darstellt.<\/p>\n Als Erstes m\u00fcssen wir den Definitionsbereich der Funktion ermitteln. Da es sich um einen Bruch handelt, kann der Nenner niemals 0 sein, da dies dann Unendlich ergeben w\u00fcrde. Daher besteht die Dom\u00e4ne ausschlie\u00dflich aus x, au\u00dfer wenn der Nenner gestrichen wird.<\/p>\n Wir setzen daher den Nenner gleich 0, um zu sehen, welches x nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6rt:<\/p>\n<\/p>\n Daher umfasst der Definitionsbereich der Funktion alle Zahlen au\u00dfer 2:<\/p>\n<\/p>\n Sobald wir wissen, welche Zahl nicht zur Dom\u00e4ne geh\u00f6rt, erstellen wir eine Wertetabelle. Um Funktionen umgekehrter Proportionalit\u00e4t darzustellen, m\u00fcssen 3 oder 4 Punkte links und 3 oder 4 Punkte rechts von der Zahl berechnet werden, die nicht zum Bereich (2) geh\u00f6rt:<\/p>\n<\/p>\n Lassen Sie uns nun die Punkte in einem Diagramm darstellen :<\/strong> <\/p>\n Und schlie\u00dflich verbinden wir die Punkte und bilden die beiden Hyperbeln der umgekehrten Proportionalit\u00e4tsfunktion. Zus\u00e4tzlich verl\u00e4ngern wir die Zweige der Hyperbeln, um anzuzeigen, dass sie weiter wachsen: <\/p>\n Beachten Sie, dass die Funktion approximiert<\/p>\n<\/p>\n , sowohl rechts als auch links. Allerdings kommt er nie ganz an die 2 heran, er kommt ihr sehr nahe, erreicht sie aber nie. ALSO,<\/p>\n es handelt sich um eine vertikale Asymptote<\/strong> . Es ist, weil<\/p>\n geh\u00f6rt nicht zum Bereich der Funktion und daher existiert die Funktion zu diesem Zeitpunkt nicht.<\/p>\n Und das Gleiche passiert mit der horizontalen X-Achse. Die Funktion n\u00e4hert sich an<\/p>\n<\/p>\n aber fass es niemals an. Noch,<\/p>\n ist eine horizontale Asymptote<\/strong> .<\/p>\n Das bedeutet, dass alle Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktionen unstetig sind, weil sie immer eine Asymptote haben.<\/p>\n Mehr \u00fcber Asymptoten und Grenzen von Funktionen erfahren Sie auf unserer Website. <\/p>\n Berechnen Sie den Definitionsbereich der folgenden Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion: <\/p>\n<\/p>\n Eine umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion existiert nicht, wenn der Nenner 0 ist, da die Funktion dann \u221e ergeben w\u00fcrde. Daher m\u00fcssen wir den Nenner der Funktion auf 0 setzen, um zu sehen, dass x den Nenner aufhebt und daher nicht zum Definitionsbereich geh\u00f6rt. <\/p>\n<\/p>\n Stellen Sie die folgende Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir wissen, welche Zahl nicht zur Dom\u00e4ne geh\u00f6rt, erstellen wir ein Wertearray mit der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Abschlie\u00dfend stellen wir die erhaltenen Punkte im Diagramm dar und zeichnen die Hyperbeln, wodurch wir die umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion bilden: <\/p>\n Stellen Sie die folgende Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion kennen, erstellen wir eine Wertetabelle:<\/p>\n<\/p>\n Abschlie\u00dfend stellen wir die erhaltenen Punkte in einem Diagramm dar und zeichnen die Hyperbeln auf, wodurch wir die umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion bilden: <\/p>\n Stellen Sie die folgende Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n Zuerst m\u00fcssen wir den Definitionsbereich der Funktion berechnen: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Bereich der Funktion kennen, erstellen wir ein Wertearray:<\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich stellen wir die erhaltenen Punkte in einem Diagramm dar und zeichnen die Hyperbeln, wodurch wir die umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion bilden: <\/p>\n Stellen Sie die folgende rationale Funktion grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion kennen, erstellen wir eine Wertetabelle:<\/p>\n<\/p>\n Zum Abschluss stellen Sie einfach die erhaltenen Punkte in einem Diagramm dar und zeichnen die Hyperbeln, um so die Bruchfunktion zu bilden: <\/p>\n Die Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion kommt in vielen F\u00e4llen in der Physik und Mathematik vor.<\/p>\n Beispielsweise wird damit der Zusammenhang zwischen Druck und Volumen in einem idealen Gas bei konstanter Temperatur k beschrieben. Diese Funktion wird Boyle-Mariotte-Gesetz (P\u00d7V=k) genannt und ist ein Beispiel f\u00fcr eine umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion. Offensichtlich ist der Definitionsbereich dieser Funktion nur auf den positiven Zweig beschr\u00e4nkt, da es keine negativen Volumina oder Dr\u00fccke gibt.<\/p>\n Der Zusammenhang zwischen Stromst\u00e4rke und elektrischem Widerstand bei konstanter Potentialdifferenz wird ebenfalls durch eine umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion bestimmt. Diese Funktion ist als Ohmsches Gesetz (V=I\u00d7R) bekannt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Auf dieser Seite wird erkl\u00e4rt, was Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktionen sind und wie man sie grafisch darstellt. Dar\u00fcber hinaus finden Sie alle Eigenschaften dieser Art von Funktion, die Berechnung ihres Definitionsbereichs sowie mehrere Beispiele und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt zum \u00dcben gel\u00f6st werden. Was ist eine umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion? Eine umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion ist eine Funktion, die zwei umgekehrt …<\/p>\n![\"y=\\cfrac{k}{x}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0347a755f31ebb9b48b58bae6f6b57ec_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"k\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"y=\\cfrac{5}{x}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38f2b1957624503310fe6098a8982361_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"y\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9cc293b28f198c32e0356b52e2e23bd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-augmentation-inverse-proportionnalite-fonction.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-fonction-de-proportionnalite-inverse-decroissante.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/span> Bereich einer umgekehrten Proportionalit\u00e4tsfunktion<\/span><\/h2>\n
![\"y=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ed569638a8112040c8eb65917144a99_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x-1=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a57ca6c48b6f646aeb64eb7f05e4840_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=1\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3330a01aa4d7d81947b71297d8623d3b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=1.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29163feacef7bfd88b9b5d136f8fef91_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05c8e4a398e9bca8582fa539c89426fa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> So zeichnen Sie eine umgekehrte Proportionalit\u00e4tsfunktion grafisch auf<\/span><\/h2>\n
\n
![\"y=\\cfrac{3}{x-2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-664a33c2348cf355b5ae0b6c98be57b7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x-2=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0aacb848a27943fc0e8fba70f545d78_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c657687cbbf5ea9a7545edb42190e592_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-298deba50795b5fc3979441d68ef3ed8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f03d2c89a0898c906173bba4a7e16699_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"wie](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-representer-les-fonctions-de-proportionnalite-inverse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"grafische](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-graphique-dune-fonction-de-proportionnalite-inverse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"y=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e8ef70615fdaee8588017ac1fdd2da0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Probleme der Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktionen gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
![\"y=\\cfrac{1}{3x+6}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6ee0e8c316d13415956aebdf1f779fe_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"3x+6](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-711df3e7ed1611e60f6b2a78ce211050_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"3x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-464bbbde213f977372efa4cdc52fe0ce_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x=\\cfrac{-6}{3}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67f6a3da67428df0d214fb581e6657db_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbd5fe607cd89a42b4db6e52bc047c56_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
![\"y=\\cfrac{3}{x}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd78dd9762960a5337acc3e2d9ea8c8e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64621958dc2faf8135c3f98bef105836_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-918f34eaaa0d095d88bcaf837d725d34_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-004c097530669885cf19e9aa97d07444_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Schritt](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-pas-a-pas-de-fonction-de-proportionnalite-inverse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n \u00dcbung 3<\/h3>\n
![\"y=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7d1a2bfde357023677380a9d117c7ea_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-53eaacfeed4d0f3ae6746f40f52edbdf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07e5375bb6ca82b5198a9e829ba42984_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d33d13eb18d8be7473178f63e2b33ea6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d240eeb6b2aa8530035b99a488e039a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Aufgaben](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-des-fonctions-de-proportionnalite-inverses.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n \u00dcbung 4<\/h3>\n
![\"y=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18718c6d0a65973fb2830b13e3ef90e7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"2x-4=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af6694fc6992622f98a8707910f98046_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"2x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e696d73fad80caf096cb986a3c357b0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d1252315e59c0aa8c2cf0296443e4e7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb4b13269ed4b2e103e50983e300dcfb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-925c625919345d725660e1ccab33c78b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\u00dcbung](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-pour-representer-graphiquement-une-fonction-de-proportionnalite-inverse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n \u00dcbung 5<\/h3>\n
![\"y=\\cfrac{2x+3}{2x+6}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-379664d569f63739a52aef2f4a3da41b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"2x+6=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb310e295335d320e66cac6a8a6a3270_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"2x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b254eeeabf14c903b414b7f844bcd54_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be0dac801e36b79ec2bac9a5be70ad7c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{Dom](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3eb9671adf4127bd8129820378cb2a44_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{c|c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5dfd65f4a7fca984bdc6f16ec89154c0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonction-de-proportionnalite-inverse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Anwendungen der Umkehrproportionalit\u00e4tsfunktion<\/span><\/h2>\n