{"id":359,"date":"2023-07-04T22:05:42","date_gmt":"2023-07-04T22:05:42","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/extrapolationsfunktion-lineare-extrapolation\/"},"modified":"2023-07-04T22:05:42","modified_gmt":"2023-07-04T22:05:42","slug":"extrapolationsfunktion-lineare-extrapolation","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/extrapolationsfunktion-lineare-extrapolation\/","title":{"rendered":"Lineare extrapolation"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite wird die Bedeutung der Extrapolation einer Funktion erl\u00e4utert. Au\u00dferdem finden Sie ein Beispiel f\u00fcr die Durchf\u00fchrung einer linearen Extrapolation und schlie\u00dflich die Unterschiede zwischen Interpolation und Extrapolation. <\/p>\n

<\/span>Was ist Extrapolation?<\/span><\/h2>\n

Die Definition der Extrapolation lautet wie folgt: <\/p>\n

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In der Mathematik ist Extrapolation<\/strong> ein Verfahren zur N\u00e4herung des Werts, den eine Funktion an einem Punkt au\u00dferhalb eines beobachteten Intervalls annimmt.<\/p>\n<\/div>\n

Daher gehen wir bei der Extrapolation immer davon aus, dass die Funktion auf eine bestimmte Weise verl\u00e4uft, da uns keine Daten au\u00dferhalb der Intervallgrenzen vorliegen. Daher kann nie vollst\u00e4ndig garantiert werden, dass die Funktion diesen ungef\u00e4hren Wert annimmt. <\/p>\n

<\/span> Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?<\/span><\/h2>\n

Interpolieren und Extrapolieren haben eine sehr \u00e4hnliche Bedeutung, da es bei beiden darum geht, den Wert einer Funktion an einem Punkt anhand zweier bekannter Punkte zu sch\u00e4tzen.<\/p>\n

Die Extrapolation l\u00e4uft jedoch darauf hinaus, den Wert der Funktion an einem Punkt zu sch\u00e4tzen, der au\u00dferhalb des von diesen beiden bekannten Punkten gebildeten Intervalls liegt. Stattdessen beinhaltet die Interpolation die Ann\u00e4herung an einen Punkt innerhalb des Bereichs, der durch diese beiden bekannten Punkte gebildet wird. <\/p>\n

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\"Interpolation<\/figure>\n<\/div>\n

Wie Sie in der Grafik oben sehen k\u00f6nnen, sind die bekannten Punkte (2,3) und (6,5). In diesem Fall m\u00f6chten wir eine Interpolation bei x=4 durchf\u00fchren, da es zwischen den bekannten Punkten liegt, andererseits m\u00f6chten wir eine Extrapolation bei x=8 durchf\u00fchren, da es au\u00dferhalb des bekannten Intervalls liegt.<\/p>\n

Offensichtlich ist ein interpolierter Wert viel zuverl\u00e4ssiger als ein extrapolierter Wert, da wir bei der Extrapolation davon ausgehen, dass die Funktion einem \u00e4hnlichen Pfad folgt. Es ist jedoch m\u00f6glich, dass sich die Steigung der Funktion au\u00dferhalb der Grenzen des bekannten Intervalls \u00e4ndert und die Sch\u00e4tzung fehlerhaft ist. Aus diesem Grund ist die Vorhersage des Wertes umso zuverl\u00e4ssiger, je n\u00e4her der extrapolierte Punkt am bekannten Intervall liegt.<\/p>\n

<\/span> lineare Extrapolation<\/span><\/h2>\n

Linear extrapolieren bedeutet, die Funktion einer linearen oder affinen Funktion, also einer Polynomfunktion vom Grad 1, anzun\u00e4hern.<\/p>\n

Die einfachste M\u00f6glichkeit zur linearen Extrapolation ist die Newtonsche Polynominterpolation. In diesem Fall wird ein Polynom ersten Grades verwendet, um zu versuchen, den Wert der Funktion an einem Punkt vorherzusagen. <\/p>\n

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Angesichts zweier bekannter Punkte:<\/p>\n<\/p>\n

\"P_1(x_1,y_1)\"<\/p>\n

Und<\/p>\n

\"P_2(x_2,y_2)\"<\/p>\n

, die Formel zur Durchf\u00fchrung der linearen Extrapolation lautet:<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\cdot(x-x_1)<\/p>\n<\/p>\n

Gold<\/p>\n<\/p>\n

\"x\"<\/p>\n

Und<\/p>\n

\"y\"<\/p>\n

sind die Koordinaten des extrapolierten Punktes.<\/p>\n<\/div>\n

Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, dass diese Formel der Punkt-Steigungsgleichung der Geraden entspricht. <\/p>\n

<\/span> Beispiel einer linearen Extrapolation<\/span><\/h3>\n

Dann werden wir uns ein Problem als Beispiel ansehen, um das Konzept der linearen Extrapolation vollst\u00e4ndig zu verstehen:<\/p>\n