{"id":358,"date":"2023-07-04T22:26:55","date_gmt":"2023-07-04T22:26:55","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/lineare-und-quadratische-interpolationsfunktion\/"},"modified":"2023-07-04T22:26:55","modified_gmt":"2023-07-04T22:26:55","slug":"lineare-und-quadratische-interpolationsfunktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/lineare-und-quadratische-interpolationsfunktion\/","title":{"rendered":"Lineare und quadratische interpolation"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite erfahren Sie, was es bedeutet, eine Funktion zu interpolieren. Insbesondere werden die lineare Interpolation und die quadratische Interpolation erl\u00e4utert. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere Beispiele sehen, sodass Sie keinen Zweifel daran haben, wie eine Funktion interpoliert wird. <\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

<\/span> Was ist Funktionsinterpolation?<\/span><\/h2>\n

Die Definition der Interpolation lautet wie folgt: <\/p>\n

\n

In der Mathematik ist Interpolation<\/strong> ein Verfahren zur N\u00e4herung des Werts, den eine Funktion an einem Punkt in einem Intervall annimmt, dessen Endpunkte bekannt sind. <\/p>\n<\/div>\n

<\/span> Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation? <\/span><\/h2>\n
\n
<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Interpolieren und Extrapolieren haben eine sehr \u00e4hnliche Bedeutung, da es bei beiden darum geht, den Wert einer Funktion an einem Punkt anhand zweier bekannter Punkte zu sch\u00e4tzen.<\/p>\n

Die Interpolation besteht jedoch darin, eine Ann\u00e4herung an einen Punkt vorzunehmen, der in dem von diesen beiden bekannten Punkten gebildeten Intervall liegt. Extrapolieren bedeutet stattdessen, den Wert der Funktion an einem Punkt au\u00dferhalb des Intervalls zu sch\u00e4tzen, aus dem diese beiden bekannten Punkte bestehen. <\/p>\n

\n
\"Interpolation<\/figure>\n<\/div>\n

Wie Sie in der obigen Grafik sehen k\u00f6nnen, sind die bekannten Punkte (2,3) und (6,5). In diesem Fall wollen wir auf x=4 interpolieren, weil es zwischen den bekannten Punkten liegt, und andererseits wollen wir auf x=8 extrapolieren, weil es au\u00dferhalb des bekannten Intervalls liegt.<\/p>\n

Offensichtlich ist ein interpolierter Wert viel zuverl\u00e4ssiger als ein extrapolierter Wert, da wir bei der Extrapolation davon ausgehen, dass die Funktion einem \u00e4hnlichen Pfad folgt. Es ist jedoch m\u00f6glich, dass sich die Steigung der Funktion au\u00dferhalb der Grenzen des bekannten Intervalls \u00e4ndert und die Sch\u00e4tzung fehlerhaft ist.<\/p>\n

<\/span> Lineare Interpolation<\/span><\/h2>\n

Die lineare Interpolation ist ein Sonderfall der Newtonschen Polynominterpolation. In diesem Fall wird ein Polynom ersten Grades, also eine lineare oder affine Funktion, verwendet, um den Wert der Funktion an einem Punkt abzusch\u00e4tzen. <\/p>\n

\n

Angesichts zweier bekannter Punkte:<\/p>\n<\/p>\n

\"P_1(x_1,y_1)\"<\/p>\n

Und<\/p>\n

\"P_2(x_2,y_2)\"<\/p>\n

, die Formel zur Durchf\u00fchrung der linearen Interpolation lautet:<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\cdot(x-x_1)<\/p>\n<\/p>\n

Gold<\/p>\n<\/p>\n

\"x\"<\/p>\n

Und<\/p>\n

\"y\"<\/p>\n

sind die Koordinaten des interpolierten Punktes.<\/p>\n<\/div>\n

Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, dass diese Formel der Punkt-Steigungsgleichung der Geraden entspricht. <\/p>\n

<\/span> Beispiel einer linearen Interpolation <\/span><\/h3>\n

<\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

Als n\u00e4chstes sehen wir uns ein Problem als Beispiel an, um das Konzept der linearen Interpolation zu verstehen:<\/p>\n