{"id":355,"date":"2023-07-06T00:37:26","date_gmt":"2023-07-06T00:37:26","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/matrixbeispiele-nilpotente-eigenschaften\/"},"modified":"2023-07-06T00:37:26","modified_gmt":"2023-07-06T00:37:26","slug":"matrixbeispiele-nilpotente-eigenschaften","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/matrixbeispiele-nilpotente-eigenschaften\/","title":{"rendered":"Nilpotente matrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie eine Erkl\u00e4rung, was eine nilpotente Matrix ist, sowie mehrere Beispiele, damit Sie sie verstehen und keine Zweifel haben k\u00f6nnen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie die Strukturen nullpotenter Matrizen und alle Eigenschaften dieser Matrizentypen sehen.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist eine nilpotente Matrix?<\/h2>\n<p> Die Definition einer nilpotenten Matrix lautet wie folgt: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Eine <strong>nilpotente Matrix<\/strong> ist eine quadratische Matrix, die auf eine ganze Zahl erh\u00f6ht die <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/nullmatrix-null\/\">Nullmatrix<\/a> ergibt.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4028c70ed3edfc0f2a8f7458ecce6580_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N^k =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die nilpotente Matrix und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> der Exponent der Potenz, die die Nullmatrix ergibt.<\/p>\n<\/div>\n<p> Diese Bedingung bedeutet nicht, dass die Potenz einer nilpotenten Matrix unabh\u00e4ngig vom Exponenten immer Null ergibt, sondern vielmehr, dass die Matrix nullpotent ist, wenn es mindestens eine Potenz der Matrix gibt, deren Ergebnis eine Matrix voller Nullen ist.<\/p>\n<p> Andererseits ist der <strong>Nullpotenzindex<\/strong> einer Nullpotenzmatrix die kleinste Zahl, mit der die Nullpotenzbedingung erf\u00fcllt ist. Wir k\u00f6nnen auch sagen, dass die Nullpotenzmatrix die Ordnung <em>k<\/em> hat, wobei <em>k<\/em> ihr Nullpotenzindex ist.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiele f\u00fcr nilpotente Matrizen<\/h2>\n<p> Um das Konzept einer nilpotenten Matrix vollst\u00e4ndig zu verstehen, sehen wir uns einige Beispiele f\u00fcr diesen Matrixtyp an:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer 2 \u00d7 2 nilpotenten Matrix<\/h3>\n<p> Die folgende quadratische Matrix der Dimension 2\u00d72 ist nilpotent: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-nilpotente-22152-1.webp\" alt=\"Beispiel einer nilpotenten Matrix der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-3769\" width=\"133\" height=\"132\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Die Matrix ist nullpotent, da wir durch Quadrieren der Matrix A die Nullmatrix als Ergebnis erhalten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fde370dd31b0e2a533fdf1e9d23cf2c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^2=\\begin{pmatrix} 2 &amp;-4 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 \\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} 2 &amp;-4 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} \\bm{0} &amp;\\bm{0} \\\\[1.1ex] \\bm{0} &amp; \\bm{0} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"291\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Es handelt sich also um eine nullpotente Matrix und ihr Nullpotenzindex betr\u00e4gt 2, da die Nullmatrix bis zur zweiten Potenz erhalten wird.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer 3\u00d73 nullpotenten Matrix<\/h3>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p> Die folgende <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/quadratische-matrix\/\">quadratische Matrix<\/a> der Ordnung 3 ist nilpotent: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-nilpotente-32153-1.webp\" alt=\"Beispiel einer nilpotenten Matrix der Dimension 3x3\" class=\"wp-image-3773\" width=\"201\" height=\"112\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Obwohl wir durch die Erh\u00f6hung der Matrix auf 2 nicht die Nullmatrix erhalten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbad4ccc270e2960ae50cc23eacc7530_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B^2=\\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}-6&amp;0&amp;-6\\\\[1.1ex]0&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] 6&amp;0&amp;6\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"458\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aber wenn wir den W\u00fcrfel der Matrix berechnen, erhalten wir eine Matrix, bei der alle Elemente gleich 0 sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da876a04b14d80c156e24c95bd22372e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B^3= \\begin{pmatrix}-6&amp;0&amp;-6\\\\[1.1ex]0&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] 6&amp;0&amp;6\\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}\\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\\\[1.1ex]\\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\\\[1.1ex] \\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"416\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Matrix B ist also eine nilpotente Matrix, und da die Nullmatrix hoch 3 erhalten wird, betr\u00e4gt ihr Nullpotenzindex 3.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Struktur einer 2 \u00d7 2 nilpotenten Matrix<\/h2>\n<p> Unten sehen Sie die Struktur aller nilpotenten Matrizen. Der Beweis ist etwas m\u00fchsam, daher \u00fcberlassen wir Ihnen direkt die <strong>Formel, um eine nilpotente Matrix der Ordnung 2 zu erhalten:<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-nilpotente-1.webp\" alt=\"Struktur und Formel einer 2x2 nilpotenten Matrix\" class=\"wp-image-3789\" width=\"412\" height=\"161\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Jede Matrix, die die obige Formel erf\u00fcllt, ist also eine nilpotente Matrix. Hierzu die Werte<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Sie k\u00f6nnen beliebig sein, solange es sich um reelle Zahlen handelt.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschaften nilpotenter Matrizen<\/h2>\n<p> Nilpotente Matrizen haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> Die Spur einer nilpotenten Matrix ist immer Null.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ebenso ist die Determinante jeder nilpotenten Matrix immer 0. Das Gegenteil ist jedoch nicht der Fall, dh die Determinante einer Matrix ist Null, was nicht bedeutet, dass die Matrix nilpotent ist.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die einzige nullpotente Matrix, die diagonalisiert werden kann, ist die Nullmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Der Nullpotenzindex einer Nullpotenzmatrix der Dimension <em>n\u00d7n<\/em> ist immer gleich oder kleiner als <em>n<\/em> . Aus diesem Grund betr\u00e4gt der Nullpotenzindex einer 2 \u00d7 2-Nullpotenzmatrix immer 2.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Eine nilpotente Matrix ist nicht invertierbar.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Jede <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/obere-untere-dreiecksmatrix\/\">Dreiecksmatrix<\/a> mit Nullen auf der Hauptdiagonalen ist ebenfalls eine nilpotente Matrix. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> Es gibt einen Satz, der besagt, dass wenn die Matrix\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> nullpotent ist, dann ist die Matrix<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63ce5395b5ca090528c69a062886ee6f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N+I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> ist invertierbar, wo<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Identit\u00e4tsmatrix. Dar\u00fcber hinaus kann die inverse Matrix mit der folgenden Formel ermittelt werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b1cf043663e9cbfac772bf812359a18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle(N+I)^{-1} = \\sum_{m = 0}^\\infty (-N)^m=I-N+N^2-N^3+\\cdots\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"391\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> \u00c4quivalent, wenn\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> eine nilpotente Matrix ist, kann die Umkehrung der Matrix berechnet werden<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af0178ac2726008cea43b8cb2390e1a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N-I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> mit der folgenden Gleichung:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a87795d57f3ee25346a24219f59b813c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle(N-I)^{-1} = \\sum_{m = 0}^\\infty (N)^m=I+N+N^2+N^3+\\cdots\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"378\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Jede singul\u00e4re, also nicht invertierbare Matrix kann in das Produkt nullpotenter Matrizen zerlegt werden.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Alle Eigenwerte (oder Eigenwerte) einer nilpotenten Matrix sind Null.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44fc8cf9845415c9f1e7a86c1b01f085_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lambda=0 \\qquad \\forall \\ \\lambda\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Als Kuriosit\u00e4t gibt es schlie\u00dflich auch das Konzept der nilpotenten Transformation, das eine lineare Anwendung definiert\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66a9f474fc3c52efdfb0ba6a70199ee8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"L\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> eines Vektorraums, so dass<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71cac750ba2e7b5a3b7c1184f6115e4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"L^k=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie eine Erkl\u00e4rung, was eine nilpotente Matrix ist, sowie mehrere Beispiele, damit Sie sie verstehen und keine Zweifel haben k\u00f6nnen. 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Erkl\u00e4rung, was eine nilpotente Matrix ist, sowie mehrere Beispiele, damit Sie sie verstehen und keine Zweifel haben k\u00f6nnen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie die Strukturen nullpotenter Matrizen und alle Eigenschaften dieser Matrizentypen sehen. Was ist eine nilpotente Matrix? 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