{"id":354,"date":"2023-07-06T00:53:57","date_gmt":"2023-07-06T00:53:57","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/"},"modified":"2023-07-06T00:53:57","modified_gmt":"2023-07-06T00:53:57","slug":"identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/","title":{"rendered":"Bemerkenswerte identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte produkte)"},"content":{"rendered":"<p>Hier finden Sie die Erkl\u00e4rung zur Aufl\u00f6sung aller Arten von bemerkenswerten Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerten Produkten). Sie k\u00f6nnen sehen, wie die Formeln aller bemerkenswerten Identit\u00e4ten lauten, sowie Beispiele und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Au\u00dferdem zeigen wir Ihnen, wozu diese ber\u00fchmten mathematischen Regeln dienen.<\/p>\n<p> \ud83d\udc49\ud83d\udc49 Im Folgenden erkl\u00e4ren wir Schritt f\u00fcr Schritt jede bemerkenswerte Identit\u00e4t. Wenn Sie m\u00f6chten, k\u00f6nnen Sie jedoch direkt zur <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten,-produkte,-bemerkenswerte-gleichheiten,-geloste-ubungen\/\">Tabelle gehen \ud83d\ude09, in der alle Formeln zusammengefasst sind<\/a><\/span><\/strong> . \ud83d\udc48\ud83d\udc48 <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-son-las-identidades-notables-o-productos-notables\"><\/span> Was sind bemerkenswerte Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte Produkte)?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Bemerkenswerte Identit\u00e4ten<\/strong> , auch <strong>bemerkenswerte Produkte<\/strong> oder <strong>bemerkenswerte Gleichungen<\/strong> genannt, sind mathematische Regeln, die es erm\u00f6glichen, Operationen mit Polynomen direkt zu l\u00f6sen.<\/p>\n<p> Die gebr\u00e4uchlichsten Identit\u00e4tsformeln sind das <em>Quadrat einer Summe<\/em> , das <em>Quadrat einer Differenz (oder Subtraktion)<\/em> und die <em>Summe mal der Differenz<\/em> . <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/identites-produits-ou-egalites-notables.png\" alt=\"bemerkenswerte Produktidentit\u00e4ten oder -gleichheiten\" class=\"wp-image-2751\" width=\"281\" height=\"281\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Im Folgenden zeigen wir Ihnen jedoch nicht nur, wie Sie diese bemerkenswerten Produkte berechnen, sondern zeigen Ihnen auch alle Arten bemerkenswerter Identit\u00e4ten, die es gibt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formulas-de-las-identidades-o-productos-notables\"><\/span> Bemerkenswerte Identit\u00e4tsformeln (oder Produkte)<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir die Definition bemerkenswerter Produkte (oder bemerkenswerter Gleichheiten) gesehen haben, werden wir sehen, wie die Formeln f\u00fcr bemerkenswerte Identit\u00e4ten lauten. Wenn Sie andererseits an Formeldemos interessiert sind, k\u00f6nnen Sie diese ansehen, indem Sie auf die Schaltfl\u00e4chen \u201eDemo anzeigen\u201c klicken.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Cuadrado-de-una-suma\"><\/span> Quadrat einer Summe<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Das <strong>Quadrat einer Summe<\/strong> oder <strong>Summe im Quadrat<\/strong> ist eine der wichtigsten bemerkenswerten Identit\u00e4ten. Genauer gesagt handelt es sich um ein Binomial mit zwei positiven Termen hoch 2, das hei\u00dft, sein algebraischer Ausdruck ist <strong>(a+b) <sup>2<\/sup><\/strong> .<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr das Quadrat einer Summe lautet also: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-pour-le-carre-dune-somme.png\" alt=\"bemerkenswerte Identit\u00e4ten im Quadrat mit einer Summe\" class=\"wp-image-2339\" width=\"274\" height=\"275\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die Formeldemonstration an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wenn wir von einem auf 2 angehobenen positiven Binomial ausgehen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef98ef741811c17cd99e75e5f848ea69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Mathematisch entspricht das obige Quadrat dem Faktor<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cfde4aacc08aae1ed70fe5f7b2f74de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> mit sich selbst multipliziert:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b2df207ac593eaf04ac60ac40b89a7b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^2=(a+b)\\cdot (a+b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir multiplizieren also Polynome mit der Verteilungseigenschaft:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c871c4ad6546c817128379acbef78c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} (a+b)\\cdot (a+b) &amp; = a\\cdot a +a\\cdot b +b\\cdot a +b\\cdot b \\\\[2ex] &amp;=a^2+ab+ba+b^2 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"60\" width=\"325\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Von den vier erhaltenen Begriffen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7202c73e2795274765d7f01eefc3e3f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"ab\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e095edd42169777a1290a880eecae4ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"ba\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sehen \u00e4hnlich aus, damit wir sie gruppieren k\u00f6nnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b645fb320040c599e077b3e5bdc4b407_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> So sehr, dass wir bereits beim Ausdruck der Formel f\u00fcr eine quadrierte Summe angelangt sind, aus der sie abgeleitet wird:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66c4071b50f376018a8ac9b6f3f9f5fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^2= a^2+2ab+b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Kurioserweise wird die Entwicklung des Ausdrucks f\u00fcr diese Art bemerkenswerter Produkte als perfektes quadratisches Trinom bezeichnet.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Damit ist das Quadrat einer Summe gleich dem Quadrat des ersten Termes plus dem doppelten Produkt des ersten mit dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten.<\/p>\n<p> Um eine quadrierte Summe zu l\u00f6sen, reicht es also nicht aus, jede Addition auf beide zu erh\u00f6hen, sondern zus\u00e4tzlich m\u00fcssen die beiden Additionen miteinander und mit 2 multipliziert werden. Dies ist wichtig, sich daran zu erinnern, da es sich um einen sehr typischen Fehler dieser Art handelt des Produkts Es ist bemerkenswert, diesen Begriff zu vergessen. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/polynomes-au-carre-dune-somme.jpg\" alt=\"bemerkenswerte polynomische und binomiale Identit\u00e4ten\" class=\"wp-image-2342\" width=\"246\" height=\"68\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel:<\/h4>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie die folgende bemerkenswerte Identit\u00e4t, indem Sie die entsprechende Formel anwenden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a9b2aa575ef7fa83e8bb98cbb385ac8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+5)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie wir gerade gesehen haben, lautet die Formel f\u00fcr die bemerkenswerte Gleichheit einer quadrierten Summe:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3c7bb69fbb939444db4e075615462f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Parameter identifizieren<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> der Formel. In diesem Fall,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> repr\u00e4sentiert die<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> des Paares und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> entsprechen Nummer 5:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ba75b0f34f956985ea0163011a03acf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l} (a+b)^2\\\\[2ex] (x+5)^2 \\end{array} \\color{red} \\right\\} \\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow}\\quad  \\color{black} \\begin{array}{c} a=x \\\\[2ex] b=5 \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"295\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nun, da wir die Werte kennen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> und von<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a521efcd0a946cd643aebe98b5b41a3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"12\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Wir k\u00f6nnen die Formel f\u00fcr ein quadriertes positives Binomial verwenden, um das Ergebnis zu ermitteln: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/produits-notables-au-carre-dune-somme.jpg\" alt=\"Beispiele f\u00fcr bemerkenswerte quadratische Identit\u00e4ten\" class=\"wp-image-2349\" width=\"284\" height=\"164\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Cuadrado-de-una-diferencia\"><\/span> Quadrat einer Differenz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Das <strong>Quadrat einer Differenz<\/strong> oder <strong>das Quadrat der Differenz<\/strong> ist eine weitere der drei am h\u00e4ufigsten verwendeten bemerkenswerten Identit\u00e4ten. Insbesondere entspricht es einem Binomial, das aus einem positiven Term und einem anderen negativen Term, der auf 2 erh\u00f6ht wird, gebildet wird, das hei\u00dft, dass sein algebraischer Ausdruck <strong>(ab) <sup>2<\/sup><\/strong> ist.<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr das Quadrat einer Differenz (oder das Quadrat einer Subtraktion) lautet also wie folgt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-du-carre-dune-difference-ou-soustraction.png\" alt=\"bemerkenswerte Produkte im Quadrat\" class=\"wp-image-2407\" width=\"306\" height=\"307\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die Formeldemo an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aus dem Binomialausdruck einer quadrierten Subtraktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f88949b2f3fcc20e9d00f495e471cf2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Offensichtlich ist die vorherige Potenz gleich dem Produkt des Faktors<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ab5e2adaf0a63382c066ea55b51147c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> mit sich selbst multipliziert:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5786e5179724339feaef50ccdb33ead1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^2= (a-b)\\cdot (a-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Jetzt multiplizieren wir die beiden Klammern, indem wir die Verteilungseigenschaft anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b46073fd758d93fff8956f0a8dd57af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}(a-b)\\cdot (a-b) &amp; = a\\cdot a +a\\cdot (-b) - b\\cdot a - b \\cdot (-b) \\\\[2ex] &amp; = a^2-ab-ba+b^2 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"60\" width=\"379\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sie m\u00fcssen also nur noch \u00e4hnliche Begriffe gruppieren, um die Formel zu \u00fcberpr\u00fcfen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68a1e26dd180891fc1ee31584a471ca9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2-ab-ba+b^2 = a^2-2ab +b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dann wird die Formel f\u00fcr das Quadrat einer Differenz mathematisch bewiesen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3074d6e8bc69734f38234657d1fddc4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Das Quadrat einer Differenz ist also gleich dem Quadrat des ersten Termes, minus dem doppelten Produkt des ersten mit dem zweiten, plus dem Quadrat des zweiten.<\/p>\n<p> Was die bemerkenswerte Gleichheit des Summenquadrats angeht, d\u00fcrfen wir nicht vergessen, den Mittelterm der Formel anzugeben, da die folgende Gleichung falsch ist: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/carre-du-binome-d-une-soustraction.jpg\" alt=\"h\u00e4ufige bemerkenswerte Identit\u00e4tsfehler\" class=\"wp-image-2409\" width=\"246\" height=\"68\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel:<\/h4>\n<ul>\n<li> L\u00f6sen Sie die folgende bemerkenswerte Gleichheit einer quadrierten Differenz:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c639502958a3e7b758e74eda141cd322_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x-3)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da es sich um das bemerkenswerte Produkt einer quadrierten Subtraktion handelt, muss die entsprechende Formel angewendet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3074d6e8bc69734f38234657d1fddc4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Als n\u00e4chstes m\u00fcssen wir die Werte der Unbekannten ermitteln.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> der Formel. In diesem Fall,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Variable<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> entsprechen Nummer 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1bb2d14a30d2cdabae6458f5df32392a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l} (a-b)^2\\\\[2ex] (x-3)^2 \\end{array} \\color{red} \\right\\} \\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow}\\quad  \\color{black} \\begin{array}{c} a=x \\\\[2ex] b=3 \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"295\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beachten Sie, dass das negative Vorzeichen nicht Teil des Parameters ist<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a521efcd0a946cd643aebe98b5b41a3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"12\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Sie m\u00fcssen jedoch immer die Zahl ohne Vorzeichen nehmen, um diese Formel korrekt anzuwenden.<\/p>\n<p> Wir kennen daher bereits die Werte von<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> und von<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Daher reicht es aus, diese Werte in die Formel einzusetzen, um die bemerkenswerte Identit\u00e4t aufzul\u00f6sen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/binome-dune-soustraction-au-carre-exercices-resolus.jpg\" alt=\"Beispiele und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt zu bemerkenswerten Gleichheiten gel\u00f6st werden\" class=\"wp-image-2417\" width=\"299\" height=\"173\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Suma-por-diferencia\"><\/span> Summe durch Differenz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Das <strong>Produkt einer Summe und einer Differenz<\/strong> ist eine der drei am h\u00e4ufigsten verwendeten bemerkenswerten Identit\u00e4ten. Wie der Name schon sagt, handelt es sich um ein positives Binomial, multipliziert mit seinem konjugierten Binomial (dasselbe Binomial, aber mit ge\u00e4ndertem Zwischenzeichen). Das hei\u00dft, der algebraische Ausdruck dieses bemerkenswerten Produkts ist <strong>(a +b) \u00b7 (ab).<\/strong> .<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr die bemerkenswerte Identit\u00e4t des Produkts einer Summe mit einer Differenz lautet wie folgt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/produit-de-la-somme-par-la-difference.png\" alt=\"Identit\u00e4ten, Produkte und bemerkenswerte Gleichheiten der High Schools 2, 3 und 4, die\" class=\"wp-image-2278\" width=\"247\" height=\"248\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die Formeldemonstration an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ausgehend vom Produkt einer Summe durch eine Subtraktion zweier beliebiger Terme:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-226e878dd6855cddf50e1bd6eeed0eab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die Formel zu demonstrieren, m\u00fcssen wir lediglich die erste Klammer mit der zweiten Klammer multiplizieren und dabei die Verteilungseigenschaft verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-346d3d7ca4da1e71fad52c84a33ef4fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}(a+b)\\cdot (a-b)= \\\\[2ex] = a\\cdot a +a\\cdot (-b) +b \\cdot a +b\\cdot (-b) =\\\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"91\" width=\"276\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Jetzt gruppieren wir \u00e4hnliche Begriffe:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc83a078573a59dfd63c1a7cdad77e01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir haben damit den Ausdruck bemerkenswerter Gleichheit erreicht. Damit wird die Formel f\u00fcr diesen bemerkenswerten Identit\u00e4tstyp demonstriert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1868f84409086d4b0b21464e4a4f207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b) =a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Somit ist das Produkt der Summe und der Differenz zweier Gr\u00f6\u00dfen gleich der Differenz der Quadrate dieser Gr\u00f6\u00dfen. Oder mit anderen Worten: Das Multiplizieren der Summe zweier verschiedener Terme durch Subtrahieren derselben beiden Terme ist gleichbedeutend damit, jeden der beiden Terme zu quadrieren und zu subtrahieren.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel:<\/h4>\n<ul>\n<li> Finden Sie mit der entsprechenden Formel das folgende bemerkenswerte Produkt der Summe durch die Differenz zweier verschiedener Terme:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4306df75f7e6d774f71a001d93d0a830_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+2)\\cdot (x-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie wir oben gesehen haben, lautet die Formel f\u00fcr die bemerkenswerte Gleichheit einer Summe multipliziert mit einer Differenz wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1868f84409086d4b0b21464e4a4f207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b) =a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zun\u00e4chst m\u00fcssen wir die Werte der Buchstaben ermitteln<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> der Formel. In diesem Fall<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> entsprechen der Variablen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> entsprechen Nummer 2.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87b76b09924467ba75f033336e6a18e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l} (a+b)\\cdot (a-b) \\\\[2ex] (x+2)\\cdot (x-2) \\end{array} \\color{red} \\right\\} \\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow}\\quad  \\color{black} \\begin{array}{c} a=x \\\\[2ex] b=2 \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"355\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und wenn wir bereits wissen, welche Werte die Parameter annehmen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a521efcd0a946cd643aebe98b5b41a3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"12\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Wir wenden die Formel f\u00fcr das Produkt der Summe mit der Differenz an: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Cuadrado-de-un-trinomio\"><\/span>Quadrat eines Trinoms<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Das <strong>Quadrat eines Trinoms<\/strong> (aus drei Termen gebildetes Polynom) ist gleich dem Quadrat des ersten Termes, plus dem Quadrat des zweiten Termes, plus dem Quadrat des dritten Termes, plus dem Doppelten des ersten durch den zweiten, plus dem Doppelten des ersten f\u00fcr den dritten, plus das Doppelte des zweiten f\u00fcr den dritten. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/carre-dun-trinome.png\" alt=\"Wie lauten die Formeln f\u00fcr alle bemerkenswerten Identit\u00e4ten, Produkte oder Gleichheiten?\" class=\"wp-image-2847\" width=\"362\" height=\"290\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die Formeldemo an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aus einem beliebigen Trinomquadrat:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-379affdd0954c4ca08ed08041e0eb7b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b+c)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das obige Quadrat kann mit sich selbst multipliziert in das Trinom faktorisiert werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8944601270bfee61c23bb9440e7fd79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"275\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Jetzt l\u00f6sen wir die Polynommultiplikation:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ceaddc98a341af8c426098e15affbe7a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"505\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich gruppieren wir \u00e4hnliche Begriffe:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79d99fd9567501331249064ee77e6db1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"576\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Auf diese Weise sind wir bereits beim Ausdruck der Formel angelangt, sodass die Formel f\u00fcr das Quadrat eines Trinoms demonstriert wird: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9597e2a9cf6403902d36e5ca6411045_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"345\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h4 class=\"wp-block-heading\">Beispiel:<\/h4>\n<ul>\n<li> Finden Sie die folgende bemerkenswerte Gleichheit:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ee4db6a5192b7efea2342d21275e487_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(x^2+x+3\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr das Quadrat eines Trinoms lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9597e2a9cf6403902d36e5ca6411045_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"345\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie bei allen bemerkenswerten Gleichungen m\u00fcssen Sie zun\u00e4chst die Werte der Unbekannten in der Formel ermitteln. In dieser \u00dcbung<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Ost<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-09f6edd3d7af07ab26b4a0a71c20c0b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> der Koeffizient<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> entsprechen dem<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-038741496726a75b03e91a2e030b0287_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist der unabh\u00e4ngige Term 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55e06f44486e75e9153a60d36e83bc37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{c} (a+b+c)^2\\\\[2ex] \\left(x^2+x+3\\right)^2 \\end{array} \\color{red} \\right\\} \\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow}\\quad  \\color{black} \\begin{array}{c} a=x^2 \\\\[2ex] b=x \\\\[2ex] c=3 \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"90\" width=\"343\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und wenn wir die Werte bereits kennen, setzen Sie diese Werte einfach in die Formel ein und f\u00fchren Sie die Berechnungen durch: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-trinome-au-carre.png\" alt=\"Rechner f\u00fcr bemerkenswerte Identit\u00e4ten, Produkte und Gleichheiten\" class=\"wp-image-2850\" width=\"643\" height=\"224\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Identidades-o-productos-notables-al-cubo\"><\/span> Bemerkenswerte Identit\u00e4ten (oder Produkte) gew\u00fcrfelt<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir haben gerade alle bemerkenswerten Identit\u00e4ten im Quadrat untersucht, das hei\u00dft alle Arten von bemerkenswerten Identit\u00e4ten, die durch auf 2 erh\u00f6hte Potenzen gebildet werden. Nun werden wir bemerkenswerte Identit\u00e4ten im Quadrat analysieren. Nat\u00fcrlich sind W\u00fcrfelidentit\u00e4tsformeln etwas komplizierter, aber sie sind auch sehr n\u00fctzlich.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Cubo-de-una-suma\"><\/span> W\u00fcrfel einer Summe<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Das bemerkenswerte <strong>Kubikprodukt einer Summe<\/strong> ist ein Binomial (Polynom mit nur zwei Monomen) hoch 3, dessen zwei Elemente positiv sind. Daher wird die Potenz einer Summe algebraisch als <strong>(a+b) <sup>3<\/sup><\/strong> ausgedr\u00fcckt.<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr die bemerkenswerte Gleichheit der Potenz einer Summe lautet: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/binome-dune-somme-ou-somme-au-cube-formule.png\" alt=\"Was sind alles bemerkenswerte Produkte, Identit\u00e4ten oder Bindungen?\" class=\"wp-image-2810\" width=\"280\" height=\"280\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die Formeldemonstration an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ausgehend von einem positiven Binomial in Kubikzahl:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-380239d5f1b18e11f3b6b0931a4f14d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die obige Potenz kann in das Produkt des Faktors eingerechnet werden<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cfde4aacc08aae1ed70fe5f7b2f74de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> durch sein Quadrat:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d89c1125bf18f5ec3b34a3bc8e4de45b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^3=(a+b)\\cdot (a+b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Ebenso, wie wir bei bemerkenswerten quadratischen Gleichungen gesehen haben, das Binomial<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cfde4aacc08aae1ed70fe5f7b2f74de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Es kann mit der Formel f\u00fcr das Quadrat einer Summe gel\u00f6st werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b1c6920425dd90a9526a1eaccf056b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a+b)^2=(a+b)\\cdot (a^2+2ab+b^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"328\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dann multiplizieren wir die beiden Polynome miteinander:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06771ecbb13542eae2a68477f849d729_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} (a+b)\\cdot (a^2+2ab+b^2) &amp; = a\\cdot a^2 +a\\cdot 2ab + a\\cdot b^2+b\\cdot a^2 +b\\cdot 2ab +b \\cdot b^2 \\\\[2ex] &amp; = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"555\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zum Schluss m\u00fcssen wir nur noch \u00e4hnliche Begriffe zusammenfassen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27d0da0e0e3ce760508c47f425fd1d68_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"445\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und damit ist die Formel f\u00fcr die bemerkenswerte Identit\u00e4t eines kubierten Summenbinomials verifiziert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-536cf8075ed9dc1e16eb5da114b79756_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Kurz gesagt, eine auf 3 erh\u00f6hte Summe ist gleich der dritten Potenz des ersten plus dem Dreifachen des Quadrats des ersten mal dem zweiten, plus dem dreifachen des ersten mal dem Quadrat des zweiten plus der dritten Potenz des zweiten.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel:<\/h4>\n<ul>\n<li> L\u00f6sen Sie die folgende bemerkenswerte Identit\u00e4t einer Kubiksumme mithilfe der entsprechenden Formel:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b6665bb45814802bf3d7dbb8b68c771_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+2)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"61\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Problem haben wir ein Binomial hoch 3, dessen beide Terme positiv sind. Wir m\u00fcssen daher die Formel f\u00fcr eine Kubiksumme verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-536cf8075ed9dc1e16eb5da114b79756_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen nun den Wert der Parameter ermitteln<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> der Formel. In diesem Fall,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> entsprechen der Variablen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist Nummer 2.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-909b3b4a2f976c165f160a6765b3ed9d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l} (a+b)^3\\\\[2ex] (x+2)^3 \\end{array} \\color{red} \\right\\} \\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow}\\quad  \\color{black} \\begin{array}{c} a=x \\\\[2ex] b=2 \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"295\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Womit wir das bemerkenswerte Produkt berechnen, indem wir die Werte von ersetzen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> und von<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in der Formel: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-dun-binome-somme-et-difference-au-cube.jpg\" alt=\"10 Beispiele f\u00fcr bemerkenswerte Produkte oder Identit\u00e4ten\" class=\"wp-image-2468\" width=\"419\" height=\"168\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Cubo-de-una-diferencia\"><\/span> W\u00fcrfel einer Differenz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Der <strong>W\u00fcrfel einer Differenz<\/strong> oder <strong>der W\u00fcrfel einer Subtraktion<\/strong> ist ein Binomial zur Potenz von 3, dessen Term ein negatives Vorzeichen hat. Der mathematische Ausdruck f\u00fcr diesen bemerkenswerten Produkttyp lautet also <strong>(ab) <sup>3<\/sup><\/strong> .<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr den W\u00fcrfel einer Differenz (oder Subtraktion) lautet: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/binome-dune-soustraction-de-difference-de-la-formule-du-cube.png\" alt=\"bemerkenswerte kubische Identit\u00e4ten, Produkte oder Gleichheiten\" class=\"wp-image-2811\" width=\"279\" height=\"279\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die Formeldemonstration an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Offensichtlich ist der Beweis dieser Formel dem des bemerkenswerten Produkts einer kubierten Summe sehr \u00e4hnlich. Aber in diesem Fall gehen wir von einem negativen kubischen Binomial aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a48c875098bfee5d50068c1f0e7296d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"59\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Offensichtlich kann die vorherige Potenzierung in das Produkt des Faktors zerlegt werden<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ab5e2adaf0a63382c066ea55b51147c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> multipliziert mit seinem Quadrat:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ada6004c3907e554bc5bde167ff16a0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^3=(a-b)\\cdot (a-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Also, wie wir in bemerkenswerten quadratischen Identit\u00e4ten untersucht haben, das Binomial<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ab5e2adaf0a63382c066ea55b51147c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Es kann mit der Formel f\u00fcr das Quadrat einer Differenz berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2570ca2db47f67aa0eaf670615e2743_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)\\cdot (a-b)^2=(a-b)\\cdot (a^2-2ab+b^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"328\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir erzeugen nun das Produkt der beiden Polynome:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-627a273de8fff974f4a14a32fcee90b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} (a-b)\\cdot (a^2-2ab+b^2) &amp; = a\\cdot a^2 +a\\cdot (-2ab) + a\\cdot b^2-b\\cdot a^2 -b\\cdot (-2ab)-b \\cdot b^2 \\\\[2ex] &amp; = a^3-2a^2b+ab^2-ba^2+2ab^2-b^3 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"610\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und der letzte Schritt besteht darin, \u00e4hnliche Begriffe zu gruppieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62f63e77f52ddb89cdd2e650938edb82_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^3-2a^2b+ab^2-ba^2+2ab^2-b^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"445\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Damit ist die Formel f\u00fcr die bemerkenswerte Identit\u00e4t eines subtrahierten Binomials in der Kubikzahl verifiziert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a9a96bd2d1f115178fbbcf19c8047c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Eine auf drei erh\u00f6hte Differenz (oder Subtraktion) entspricht also der dritten Potenz des ersten, minus dem Dreifachen des Quadrats des ersten mal dem zweiten, plus dem Dreifachen des ersten mal dem Quadrat des zweiten, minus der dritten Potenz des zweiten.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel:<\/h4>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie das n\u00e4chste kubische Binomial (Differenz) mithilfe der entsprechenden Formel:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb0dbc34da8cea6a7d6622c9a3c5faba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(3x-2)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In dieser \u00dcbung haben wir ein Paar mit einem positiven und einem negativen Element. Wir m\u00fcssen daher die Formel f\u00fcr eine kubische Differenz verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-746a96ec30fac619eedf62054c377fe5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zuerst ermitteln wir wie immer den Wert der Unbekannten<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> der Formel. In diesem Fall<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> stellt das Monom dar<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bcea841b93e6d1c6150bf94b4036ab3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist der unabh\u00e4ngige Term des Binomials, also 2.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a792ec6dead8466ec6a2cb2a43d9fab4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l} (a-b)^3\\\\[2ex] (3x-2)^3 \\end{array} \\color{red} \\right\\} \\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow}\\quad  \\color{black} \\begin{array}{c} a=3x \\\\[2ex] b=2 \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beachten Sie, dass der Parameter<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist einfach gleich 2, ohne das negative Vorzeichen der Zahl. Es ist wichtig, dies im Hinterkopf zu behalten, um die Formel richtig anzuwenden.<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich finden wir die bemerkenswerte Identit\u00e4t, indem wir die Werte von setzen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> und von<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in der Formel: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/binome-cube-negatif-parfait.jpg\" alt=\"entwickeln bemerkenswerte Identit\u00e4ten, Produkte und Gleichheiten\" class=\"wp-image-2476\" width=\"501\" height=\"169\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Tabla-resumen-de-las-identidades-notables\"><\/span> \u00dcbersichtstabelle bemerkenswerter Identit\u00e4ten<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Zusammenfassend haben wir eine Tabelle mit allen bemerkenswerten Identit\u00e4ten (oder Produkten) erstellt, die wir gesehen haben, damit Sie sie leichter studieren k\u00f6nnen. \ud83d\ude09 <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"1024\" height=\"525\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formules-des-identites-produits-ou-egalites-remarquables.png\" alt=\"Formeln f\u00fcr Identit\u00e4ten oder Gleichheiten bemerkenswerter Produkte\" class=\"wp-image-2808\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-de-identidades-o-productos-notables\"><\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zu bemerkenswerten Identit\u00e4ten (oder Produkten)<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Damit Sie den Begriff bemerkenswerter Identit\u00e4ten, auch bemerkenswerte Produkte oder bemerkenswerte Gleichheiten genannt, vollst\u00e4ndig verstehen, haben wir mehrere \u00dcbungen vorbereitet, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Sie k\u00f6nnen versuchen, sie zu machen und dann \u00fcberpr\u00fcfen, ob Sie mit den L\u00f6sungen der \u00dcbungen gut zurechtgekommen sind.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> \u2b07\u2b07 Vergessen Sie nicht, dass Sie uns alle Ihre Fragen unten in den Kommentaren stellen k\u00f6nnen! \u2b07\u2b07<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Erweitern Sie die folgenden bemerkenswerten Identit\u00e4ten (Summenquadrate): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9229e4ae2034182594cea6b72883a61e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ (x+3)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-837ba9382325be793705fe7f068579be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ (6x+2)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55d230fdf4d87dfb39f5427089c4bcd0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\left(x^2+7\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8858ec9b4957c47679e682ab433bd75d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ (5x+8y)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Alle bemerkenswerten Identit\u00e4ten im Problem sind Quadratsummen, daher m\u00fcssen wir in diesem Fall immer dieselbe Formel anwenden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3c7bb69fbb939444db4e075615462f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-571dada676a093b9b625887a09615b5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{aligned}(x+3)^2&amp; =x^2+2\\cdot x\\cdot 3 +3^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^2+6x +9}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"63\" width=\"248\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-067fdf38612ca481db587bda479cab24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{aligned}(6x+2)^2 &amp; =(6x)^2+2\\cdot 6x \\cdot 2+2^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{36x^2+24x+4}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"63\" width=\"288\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62f7ef68fc47d45958f6a10dbfe3f512_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{aligned}\\left(x^2+7\\right)^2 &amp; = \\left(x^2\\right)^2+2\\cdot x^2\\cdot 7 +7^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^4+14x^2 +49}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"66\" width=\"290\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fdf798e7d585cdbc2bbeb0417bfc62a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{aligned}(5x+8y)^2 &amp; =(5x)^2+2\\cdot 5x\\cdot 8y +(8y)^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{25x^2+80xy+64y^2}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"331\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Entwickeln Sie die folgenden bemerkenswerten Produkte (Differenzen im Quadrat): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c11a4f53553874acb14ec9bbd0c78d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ (x-2)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55330f15a13171e004a6fd9063b5042d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ (3-7x)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a9afedffeffbe27f4e9c5d94b2bcad2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\left(x^2-6\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f96b2af0d8ddde63f0f5ff04acde9e8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ (-3x+y)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Alle nennenswerten Produkte in dieser \u00dcbung sind quadrierte Subtraktionen, daher m\u00fcssen wir nur eine Formel anwenden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3074d6e8bc69734f38234657d1fddc4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14d502eda968fe82617b4403cd9c4722_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{aligned}(x-2)^2&amp; =x^2-2\\cdot x\\cdot 2 +2^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^2-4x +4}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"63\" width=\"248\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c22d520301280872e645f5683a2fba8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{aligned}(3-7x)^2 &amp; =3^2-2\\cdot 3\\cdot 7x +(7x)^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{9-42x+49x^2}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"63\" width=\"288\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95c7c481a96b20b700bd2253c90f0c0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{aligned}\\left(x^2-6\\right)^2 &amp; = \\left(x^2\\right)^2-2\\cdot x^2\\cdot 6 +6^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^4-12x^2 +36}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"66\" width=\"290\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cea9fa89580d3d9d9df7fd93cca2b89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{aligned}(-3x+y)^2 &amp; = (y-3x)^2 \\\\[2ex] &amp; = y^2-2\\cdot y\\cdot 3x +(3x)^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{y^2-6yx+9x^2}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"109\" width=\"304\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Entwickeln Sie die folgenden bemerkenswerten Gleichungen (Produkte von Summen und Differenzen): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a101dc0bb3e2ab901e5a441cdb22369_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ (x+5)(x-5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a3cc5a2bfc3829e05fbf0cc6fd4dea9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ (2x+6)(2x-6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b3b43f8e1142337f367f44c27632578_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ (x+7)(x-7)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80db9b8cb45a16f2c4b4dd810f0ef940_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ (x-4y)(x+4y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da alle wichtigen Gleichungen in dieser \u00dcbung Multiplikationen von Summen mit Differenzen sind, werden sie alle mit derselben Formel gel\u00f6st: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1868f84409086d4b0b21464e4a4f207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b) =a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-826c4aec8f005514a14cdc8555c084c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{aligned}(x+5)(x-5) &amp;=x^2-5^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^2-25}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"221\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6793239af84413fb9408c2cb6033e5ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{aligned}(2x+6)(2x-6) &amp; =(2x)^2-6^2 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{4x^2-36}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"260\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-630b94cf4be27c5f7b9c87651368634d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{aligned}(x+7)(x-7) &amp; =x^2-7^2 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^2-49}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"221\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80c5451e407a2c0e670c6cb22a74043c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{aligned}(x-4y)(x+4y) &amp; =(x+4y)(x-4y) \\\\[2ex] &amp; =x^2-(4y)^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^2-16y^2}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"106\" width=\"310\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 4<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie alle folgenden bemerkenswerten Identit\u00e4ten auf: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f11abde1a676c9efe0dee6544ec7dd35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\left(x^2+10\\right)\\left(x^2-10\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d91f0bc70f84a13bc544db52068d89d8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\left(4x^2+2y^3\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e13ca38c8d8b96d56e5c72d75ab1db90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\left(6x^3-4y^4\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33d63537ffb97df07d85a50a5bd46561_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\left(8x^3+y^2\\right)\\left(8x^3-y^2\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d4df947d503beab8b2af90de2d8d605_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E)} \\ \\left(5x^2-9x\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c65875e01d82840e30ae85d803d45e90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{aligned}\\left(x^2+10\\right)\\left(x^2-10\\right) &amp; =\\left(x^2\\right)^2-10^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^4-100}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"294\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04e0bcf5df362d320cfdb2f87cdc6ddc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{aligned}\\left(4x^2+2y^3\\right)^2 &amp; =\\left(4x^2\\right)^2+2\\cdot 4x^2\\cdot 2y^3 +\\left(2y^3\\right)^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{16x^4+16x^2y^3+4y^6}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"68\" width=\"383\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc3f7dc61f7c44a60c01e0a95de278fa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{aligned}\\left(6x^3-4y^4\\right)^2 &amp;  =\\left(6x^3\\right)^2-2\\cdot 6x^3\\cdot 4y^4 +\\left(4y^4\\right)^2 = \\\\[2ex] &amp;= \\bm{36x^6-48x^3y^4+16y^8}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"68\" width=\"402\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a4d4a0c86d26820881eb65cb92c3679a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{aligned}\\left(8x^3+y^2\\right)\\left(8x^3-y^2\\right) &amp; =\\left(8x^3\\right)^2-\\left(y^2\\right)^2 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{64x^6-y^4}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"68\" width=\"335\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-432c4ae0f050bec15e3fa52f426698ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E)} \\ \\begin{aligned}\\left(5x^2-9x\\right)^2 &amp; =\\left(5x^2\\right)^2-2\\cdot 5x^2\\cdot 9x +\\left(9x\\right)^2 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{25x^4-90x^3+81x^2}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"66\" width=\"360\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die folgenden bemerkenswerten Produkte: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ca75501df4056045f750323893bee27c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ (x+4)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1ae5aad30adde91e86d6bb696b6adc4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\left(x^2-5\\right)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-debc2fbed1f43204a1d3b191ce697175_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\left(2x-1\\right)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-641ad931932e2d32742c712339a76903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ (5x+2)^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um alle nennenswerten Produkte des Problems zu finden, ist es notwendig, die Formeln f\u00fcr eine Summe und eine entsprechend den F\u00e4llen kubierte Differenz anzuwenden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-536cf8075ed9dc1e16eb5da114b79756_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a9a96bd2d1f115178fbbcf19c8047c7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14695fb807e2df89352fdd1c1dced2ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{aligned}(x+4)^3&amp; =x^3+3\\cdot x^2\\cdot 4 +3\\cdot x\\cdot 4^2+4^3\\\\[2ex] &amp; =x^3+3\\cdot x^2\\cdot 4 +3\\cdot x\\cdot 16+64 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^3+12x^2+48x+64}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"342\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5be0d584351feb0bef5572ca5c9e159a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{aligned}\\left(x^2-5\\right)^3&amp; =\\left(x^2\\right)^3-3\\cdot \\left(x^2\\right)^2\\cdot 5 +3\\cdot x^2\\cdot 5^2-5^3\\\\[2ex] &amp; =x^6-3\\cdot x^4\\cdot 5 +3\\cdot x^2\\cdot 25-125 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"110\" width=\"404\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f44f9c3283dad97321644c6e559f64ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{aligned}\\left(2x-1\\right)^3&amp; =\\left(2x\\right)^3-3\\cdot \\left(2x\\right)^2\\cdot 1 +3\\cdot 2x\\cdot 1^2-1^3\\\\[2ex] &amp; =8x^3-3\\cdot 4x^2\\cdot 1 +3\\cdot 2x\\cdot 1-1 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{8x^3-12x^2+6x-1}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"401\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-156e7619e4d6ef129f04250af8197d2e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{aligned}(5x+2)^3&amp; =(5x)^3+3\\cdot \\left(5x\\right)^2\\cdot 2 +3\\cdot 5x\\cdot 2^2+2^3\\\\[2ex] &amp; =125x^3+3\\cdot 25x^2\\cdot 2 +3\\cdot 5x\\cdot 4+8 \\\\[2ex] &amp; = \\bm{125x^3+150x^2+60x+8}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"402\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 6<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die folgenden bemerkenswerten Gleichungen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1e2db1dacfd70bcdf33589968427633_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\left(x^2+x+5\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"132\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6eddfbe2255cd7f5b8d829ff6aef4e38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\left(x^2+3x-4\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"141\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-577a572f8974257e1d6d7b8411f75f4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\left(4x^2-6x+3\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a26869f17cf7889324d3d5e6755b800_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\left(x^3-3x^2-9x\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um alle diese bemerkenswerten Identit\u00e4ten zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr das Quadrat eines Trinoms verwenden, die lautet: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9597e2a9cf6403902d36e5ca6411045_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"345\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-749dc45e7a00d7122d62b774706bdcc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{array}{l} \\left(x^2+x+5\\right)^2 = \\\\[2ex] = \\left(x^2\\right)^2+x^2+5^2+2\\cdot x^2 \\cdot x + 2 \\cdot x^2 \\cdot 5 +2 \\cdot x \\cdot 5 = \\\\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\\\[2ex] = \\bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"136\" width=\"438\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1f51f18b3c1118b6e8e3acc3441b0ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{array}{l}\\left(x^2+3x-4\\right)^2 = \\\\[2ex] = \\left(x^2\\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\\cdot x^2 \\cdot 3x + 2 \\cdot x^2 \\cdot (-4) +2 \\cdot 3x \\cdot (-4) = \\\\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\\\[2ex] = \\bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"136\" width=\"557\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49c6496bf684296d315fc96d9cb5857e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{array}{l}\\left(4x^2-6x+3\\right)^2 = \\\\[2ex] = \\left(4x^2\\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\\cdot 4x^2 \\cdot (-6x) + 2 \\cdot 4x^2 \\cdot 3 +2 \\cdot (-6x) \\cdot 3 = \\\\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\\\[2ex] = \\bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \\end{array}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"136\" width=\"570\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cd08035d8402c27c411bcf5b30216cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{array}{l}  \\left(x^3-3x^2-9x\\right)^2 = \\\\[2ex] = \\left(x^3\\right)^2+\\left(-3x^2\\right)^2+(-9x)^2+2\\cdot x^3 \\cdot (-3x^2) + 2 \\cdot x^3 \\cdot (-9x) +2 \\cdot (-3x^2) \\cdot (-9x) = \\\\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\\\[2ex] = \\bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"136\" width=\"682\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 7<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die folgenden bemerkenswerten Identit\u00e4ten mit Wurzeln und Br\u00fcchen (hoher Schwierigkeitsgrad): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fa707460c7ffd54eac2fb73d35c6734_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\displaystyle \\left(\\sqrt{2x}-\\sqrt{8x}\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"35\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bfc1a9172f021d35179b9df54d8a126_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\displaystyle \\left(\\frac{1}{2}x^2+\\frac{5}{3}x\\right)\\left(\\frac{1}{2}x^2-\\frac{5}{3}x\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b432940794af539924a002fac6533134_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\displaystyle \\left(\\frac{4}{3}x^2+\\frac{3}{2}x\\right)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"137\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47d530888455eb1be7950e4d42776002_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\Bigl(9x^3+\\sqrt{5x}\\Bigr)\\Bigl(9x^3-\\sqrt{5x}\\Bigr)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Abschnitt A) besteht aus einer quadrierten Subtraktion. Um sie zu l\u00f6sen, muss die entsprechende Formel angewendet werden. Au\u00dferdem muss beachtet werden, dass eine quadrierte Wurzel vereinfacht wird:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-999e71bf062ea313780439abaf2b4295_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{aligned}\\left(\\sqrt{2x}-\\sqrt{8x}\\right)^2 &amp; =\\left(\\sqrt{2x}\\right)^2-2\\cdot \\sqrt{2x}\\cdot \\sqrt{8x} +\\left(\\sqrt{8x}\\right)^2\\\\[2ex] &amp; =2x-2\\sqrt{2x\\cdot 8x} +8x \\\\[2ex] &amp; = 10x-2\\sqrt{16x^2} \\\\[2ex] &amp;= 10x-2\\cdot 4x = \\\\[2ex] &amp; = 10x -8x \\\\[2ex] &amp; = \\bm{2x}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"247\" width=\"444\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Abschnitt B) befasst sich mit der Addition durch Subtraktion und Monome haben Bruchkoeffizienten, mit denen dieses bemerkenswerte Produkt mithilfe der Formel f\u00fcr Addition durch Subtraktion und den Eigenschaften von Br\u00fcchen bestimmt werden muss:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24593bac7bd4a9837e1f18fef4f9c38e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{aligned}\\displaystyle \\left(\\frac{1}{2}x^2+\\frac{5}{3}x\\right)\\left(\\frac{1}{2}x^2-\\frac{5}{3}x\\right) &amp; \\displaystyle =\\left(\\frac{1}{2}x^2\\right)^2-\\left(\\frac{5}{3}x\\right)^2\\\\[4ex] \\displaystyle &amp; =\\frac{1^2}{2^2}x^4-\\frac{5^2}{3^2}x^2\\\\[4ex]\\displaystyle &amp; = \\mathbf{\\frac{1}{4}}\\bm{x^4-}\\mathbf{\\frac{25}{9}}\\bm{x^2} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"195\" width=\"402\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die bemerkenswerte Gleichheit in Abschnitt C) ist eine auf 2 erh\u00f6hte Summe und besteht ebenfalls aus Br\u00fcchen. Um es zu berechnen, m\u00fcssen wir daher die Formel f\u00fcr eine quadrierte Summe plus die Eigenschaften von Br\u00fcchen verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c50dcca740e334b34f746e71f4af826e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\displaystyle \\begin{aligned} \\left(\\frac{4}{3}x^2+\\frac{3}{2}x\\right)^2 &amp; = \\left(\\frac{4}{3}x^2\\right)^2+2\\cdot \\frac{4}{3}x^2\\cdot \\frac{3}{2}x +\\left(\\frac{3}{2}x\\right)^2\\\\[2ex] &amp; = \\frac{4^2}{3^2}x^4+2\\cdot \\frac{12}{6}x^3 +\\frac{3^2}{2^2}x^2 \\\\[2ex] &amp;= \\frac{16}{9}x^4 +2\\cdot 2x^3+\\frac{9}{4}x^2 \\\\[2ex] &amp; = \\mathbf{\\frac{16}{9}} \\bm{x^4+4x^3+}\\mathbf{\\frac{9}{4}}\\bm{x^2}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"222\" width=\"416\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die letzte bemerkenswerte Identit\u00e4t befasst sich mit einer Summe mal einer Differenz mit irrationalen Koeffizienten, daher wenden wir die Formel f\u00fcr eine Summe mal einer Differenz an und vereinfachen dann die Quadratwurzeln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c540e4315e9e84faaa2ff656c4eec21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{aligned}\\Bigl(9x^3+\\sqrt{5x}\\Bigr)\\Bigl(9x^3-\\sqrt{5x}\\Bigr) &amp; =\\Bigl(9x^3\\Bigr)^2-\\left(\\sqrt{5x}\\right)^2\\\\[2ex] &amp; = \\bm{81x^6-5x}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"73\" width=\"402\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Otros-tipos-de-identidades-notables\"><\/span> Andere bemerkenswerte Identit\u00e4tstypen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Alle oben besprochenen bemerkenswerten Identit\u00e4ten werden am h\u00e4ufigsten verwendet. Allerdings gibt es in der Mathematik auch andere bemerkenswerte Produkttypen, die interessant zu kennen sind, da sie f\u00fcr unterschiedliche Zwecke verwendet werden.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Suma-de-cubos\"><\/span> Summe der W\u00fcrfel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>Summe der Kubikzahlen<\/strong> entspricht einem Binomial, dessen beide Terme positiv sind und dessen Kubikwurzeln au\u00dferdem exakt sind. Daher ist der algebraische Ausdruck f\u00fcr eine W\u00fcrfelsumme <strong>a <sup>3<\/sup> +b <sup>3<\/sup><\/strong> . <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-somme-des-cubes.png\" alt=\"Bemerkenswerte Identit\u00e4ten, Produkte oder Verbindungen gekl\u00e4rt\" class=\"wp-image-2663\" width=\"306\" height=\"307\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Die Formel f\u00fcr dieses bemerkenswerte Produkt wird verwendet, um ein Polynom zu faktorisieren, das hei\u00dft, durch die Formel transformieren wir ein Polynom in ein Produkt eines Binomials durch ein Trinom.<\/p>\n<p> Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie es gemacht wird, finden Sie hier eine Beispielanwendung dieser bemerkenswerten Identit\u00e4t:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51a33d4fd52d94afa78abd4be81cf7f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"48\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Tats\u00e4chlich besteht der vorherige Ausdruck aus einer Addition von Kubikzahlen, da die Kubikwurzel des Monoms ist<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5e0e31e823b4d5c9a90c0d01d5e8fcb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist genau (gibt keine Dezimalzahl an) und die Zahl 8 auch: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1105a3d4349d8c5d3eae7b16dc079ef1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt[3]{x^3} = x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71ce4de717d54a2fb6c3282de038913a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt[3]{8} = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"54\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4171629bd68508074adfbf81cf982b5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3+8=x^3+2^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher k\u00f6nnen wir die Formel f\u00fcr die Summe perfekter W\u00fcrfel verwenden, um den kubischen Ausdruck in ein Produkt aus einem Binomial und einem Trinom umzuwandeln: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f673c682dcdc4e38ce08e8a77cf4e7f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"236\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f30ea5f0f7ef1b89a16f1d00e54d063c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} x^3 +2^3 &amp; = (x+2)(x^2-x \\cdot 2 + 2^2) \\\\[2ex] &amp; = (x+2)(x^2-2x + 4) \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"256\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Diferencia-de-cubos\"><\/span>Differenz der W\u00fcrfel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>Differenz (oder Subtraktion) von W\u00fcrfeln<\/strong> ist ein Binomial, das aus einem positiven Term und einem negativen Term besteht, deren kubische Wurzeln exakt sind. Mit anderen Worten, eine W\u00fcrfeldifferenz wird in der Form <strong>a <sup>3<\/sup> -b <sup>3<\/sup><\/strong> ausgedr\u00fcckt. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-pour-la-difference-ou-la-soustraction-de-cubes.png\" alt=\"Gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Faktorisierung von Polynomen mit bemerkenswerten Identit\u00e4ten\" class=\"wp-image-2731\" width=\"305\" height=\"306\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Machen wir ein Beispiel, damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie dieser bemerkenswerte Identit\u00e4tstyp aufgel\u00f6st wird:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cb03de00c11c61a46f0473cac25b903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3-27\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Es handelt sich um eine Differenz von Kubikzahlen, da beide die Kubikwurzel des Monoms sind<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5e0e31e823b4d5c9a90c0d01d5e8fcb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> da 27 richtig sind: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1105a3d4349d8c5d3eae7b16dc079ef1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt[3]{x^3} = x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4379f1587711ba1048df5a84748d12da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\sqrt[3]{27} = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64a522b09529e310087510320b8c3ad6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^3-27=x^3-3^3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sie k\u00f6nnen daher die Formel f\u00fcr die Differenz perfekter W\u00fcrfel verwenden, um das Binomial zu faktorisieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-52d5ddbcfea3f7d3d492b8f0ead32dc2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^3-b^3  = (a-b)(a^2+ab+b^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"236\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-342a448f849bf2856ad9a5394733faeb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} x^3 -3^3 &amp; = (x-3)(x^2+x \\cdot 3 + 3^2) \\\\[2ex] &amp; =(x-3)(x^2+3x + 9)  \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"256\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Producto-de-binomios-con-un-termino-comun\"><\/span> Produkt von Binomialen mit einem gemeinsamen Begriff<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Dieses bemerkenswerte Produkt wird verwendet, um ein Produkt zweier Binome, die einen gemeinsamen Term haben, in ein quadratisches Polynom umzuwandeln. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-deux-binomes-avec-un-terme-en-commun-2.png\" alt=\"bemerkenswerte Identit\u00e4ten, Produkte oder Gleichheiten pdf\" class=\"wp-image-2793\" width=\"264\" height=\"265\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Hier ist ein ausf\u00fchrliches Beispiel f\u00fcr ein bemerkenswertes Produkt dieser Art: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8447db6a2246c09b2e7be29f8050a3d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} (x+4)(x+5) &amp;= x^2+(4+5)x+4\\cdot 5 \\\\[2ex] &amp; = x^2+9x+20 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"62\" width=\"286\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Mas-identidades\"><\/span> mehr Identit\u00e4ten<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Obwohl bemerkenswerte Identit\u00e4ten am bekanntesten sind, weil sie am h\u00e4ufigsten vorkommen, sollte beachtet werden, dass es auch mehr Identit\u00e4ten mit anderen Namen gibt. Hier ist eine Liste anderer weniger bekannter Identit\u00e4ten, falls Sie neugierig sind:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff5733; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:10px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Lagrange-Identit\u00e4ten:<\/span> <\/li>\n<ul style=\"list-style-type:circle\">\n<li style=\"margin-bottom:10px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a9d12f9a33e8194fbe48dde93ca8918_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a^2+b^2)\\cdot (x^2+y^2) =(ax+by)^2+(ay-bx)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-439c16d816ff61c2ac4a3c73f04b9a5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a^2-b^2)\\cdot (x^2-y^2) =(ax+by)^2-(ay+bx)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<li style=\"margin-bottom:10px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Legendre-Identit\u00e4ten:<\/span> <\/li>\n<ul style=\"list-style-type:circle\">\n<li style=\"margin-bottom:10px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb371e0857e9b183bb1db9c370d7b779_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"240\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:10px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b82bb4daacd22465587454eb1ec9350_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^2-(a-b)^2=4ab\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc07e405f725019198b41ee5054a97af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<li style=\"margin-bottom:10px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Argands Identit\u00e4t:<\/span> <\/li>\n<ul style=\"list-style-type:circle\">\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c8de9c0bcd37989daee33145b0d84cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"297\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<li style=\"margin-bottom:10px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Gau\u00dfsche Identit\u00e4ten:<\/span> <\/li>\n<ul style=\"list-style-type:circle\">\n<li style=\"margin-bottom:10px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7ad1a682cc650b01984e4a1d9ec2774_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"470\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6b2da7d99ade85355a54bee45b79a9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^3+b^3+c^3-3abc= \\frac{1}{2} (a+b+c)\\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"499\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aplicaciones-de-las-identidades-notables\"><\/span> Bemerkenswerte Identit\u00e4ts-Apps<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wenn Sie es bis hierher geschafft haben, bedeutet das, dass Sie bereits wissen, wie man Berechnungen mit bemerkenswerten Identit\u00e4ten durchf\u00fchrt. Hell! Aber wirklich&#8230; wozu gibt es bemerkenswerte Identit\u00e4ten? Und wann werden bemerkenswerte Identit\u00e4ten verwendet?<\/p>\n<p> Wie wir in diesem Artikel gesehen haben, besteht der Hauptzweck bemerkenswerter Identit\u00e4ten darin, Berechnungen zu vereinfachen. Das hei\u00dft, dass wir dank bemerkenswerter Produkte bestimmte Potenzen komplexer Polynome direkt l\u00f6sen k\u00f6nnen, ohne schwierige Operationen durchf\u00fchren zu m\u00fcssen.<\/p>\n<p> Aber bemerkenswerte Gleichheiten haben auch andere Funktionen, wie zum Beispiel das Faktorisieren von Polynomen und das Erg\u00e4nzen von Quadraten. Dann werden wir sehen, woraus jede dieser Anwendungen besteht. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizacion-de-polinomios\"><\/span> Faktorisierung von Polynomen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Einige sehr spezifische Arten von Polynomen k\u00f6nnen mit bemerkenswerten Identit\u00e4ten faktorisiert werden. Wenn wir beispielsweise ein Polynom finden, das aus zwei Termen besteht, die perfekte Quadrate sind (ihre Quadratwurzeln sind exakt), k\u00f6nnen wir es mithilfe der bemerkenswerten Gleichheitsformel des Produkts einer Summe mit einer Differenz faktorisieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d6db5dc6ec48fed829d1d16b8803df3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2-b^2 =(a+b)(a-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"182\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45661a0693691876fa89055734b67833_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-9 =(x+3)(x-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ebenso k\u00f6nnen Trinome, die die bemerkenswerte Identit\u00e4t des Quadrats einer Addition oder Subtraktion ber\u00fccksichtigen, faktorisiert werden: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-3\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-993d882ed2bfdc18bb18dde412cbf270_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de28c721fc9e8b036c8ed290c4873cf7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+4x+4=(x+2)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"174\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9cb72c2445ecf74dd260a35c83c91156_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-666a4ad12f00ead4f6e6a1135c228fa2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-10x+25=(x-5)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Ebenso k\u00f6nnen, sobald ein Polynom faktorisiert wurde, die Wurzeln (oder Nullstellen) dieses Polynoms gefunden werden. Allerdings ist dieses Konzept etwas komplizierter zu verstehen. Wenn Sie also mehr Interesse haben, empfehlen wir Ihnen, die Erkl\u00e4rung in der Suchmaschine auf unserer Website (oben rechts) zu suchen, da wir einen ganzen Artikel haben, der es erkl\u00e4rt.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Completacion-de-cuadrados\"><\/span>quadratischer Abschluss<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Das Vervollst\u00e4ndigen von Quadraten ist ein mathematisches Verfahren, mit dem ein quadratisches Trinom in die Summe eines Quadrats plus (oder minus) einer Zahl umgewandelt wird.<\/p>\n<p> Gegeben sei ein Trinom:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7dfafe787a9309542e1e1063e6056ab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"ax^2+bx+c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dann l\u00e4sst sich das Trinom in den folgenden Ausdruck umwandeln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8304611362475f8451df85e99c1f7675_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a(x+h)^2+k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> wo die Parameter<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14b463d0ecd5b350ced6cf1d6a12eef3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> werden mit folgenden Formeln berechnet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6475634f6ee5ca2a7e85945265a0b943_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h=\\cfrac{b}{2a} \\qquad \\qquad k=c-ah^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Auch wenn es Ihnen nicht so vorkommt, sind diese beiden Formeln auf bemerkenswerte Identit\u00e4ten zur\u00fcckzuf\u00fchren. Dank der bemerkenswerten Produkte k\u00f6nnen die Quadrate vervollst\u00e4ndigt werden.<\/p>\n<p> Als Beispiel wenden wir dieses Verfahren auf das folgende Trinom an:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c85718d3d2ce230bbfb0ea503d218ad7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x^2+4x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen die Parameter<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14b463d0ecd5b350ced6cf1d6a12eef3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cf6d2c84f82625cb8a795ee1394251f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fb8b0aec746411e81d4de8430957904_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h=\\cfrac{b}{2a}=\\cfrac{4}{2\\cdot 2} =1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84e97942072ca2139743f4cb2f853c44_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k=c-ah^2 = 3-2\\cdot 1^2 = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"214\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und deshalb bleibt das Polynom: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00dc44f1798a5fab144056da5829a276_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2(x+1)^2+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier finden Sie die Erkl\u00e4rung zur Aufl\u00f6sung aller Arten von bemerkenswerten Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerten Produkten). Sie k\u00f6nnen sehen, wie die Formeln aller bemerkenswerten Identit\u00e4ten lauten, sowie Beispiele und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Au\u00dferdem zeigen wir Ihnen, wozu diese ber\u00fchmten mathematischen Regeln dienen. \ud83d\udc49\ud83d\udc49 Im Folgenden erkl\u00e4ren wir Schritt f\u00fcr Schritt jede bemerkenswerte &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Bemerkenswerte identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte produkte)<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-354","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematische-erklarungen"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Bemerkenswerte Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte Produkte) -<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Bemerkenswerte Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte Produkte) -\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hier finden Sie die Erkl\u00e4rung zur Aufl\u00f6sung aller Arten von bemerkenswerten Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerten Produkten). Sie k\u00f6nnen sehen, wie die Formeln aller bemerkenswerten Identit\u00e4ten lauten, sowie Beispiele und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Au\u00dferdem zeigen wir Ihnen, wozu diese ber\u00fchmten mathematischen Regeln dienen. \ud83d\udc49\ud83d\udc49 Im Folgenden erkl\u00e4ren wir Schritt f\u00fcr Schritt jede bemerkenswerte &hellip; Bemerkenswerte identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte produkte) Weiterlesen &raquo;\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-06T00:53:57+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/identites-produits-ou-egalites-notables.png\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Mathority Mannschaft\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Verfasst von\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Mathority Mannschaft\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Gesch\u00e4tzte Lesezeit\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"15\u00a0Minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/\"},\"author\":{\"name\":\"Mathority Mannschaft\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be\"},\"headline\":\"Bemerkenswerte identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte produkte)\",\"datePublished\":\"2023-07-06T00:53:57+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-06T00:53:57+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/\"},\"wordCount\":3037,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\"},\"articleSection\":[\"Mathematische erkl\u00e4rungen\"],\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/\",\"name\":\"Bemerkenswerte Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte Produkte) -\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-06T00:53:57+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-06T00:53:57+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Bemerkenswerte identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte produkte)\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\",\"name\":\"Mathority\",\"description\":\"Wo Neugierde auf Berechnung trifft!\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\",\"name\":\"Mathority\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png\",\"width\":703,\"height\":151,\"caption\":\"Mathority\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\"}},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be\",\"name\":\"Mathority Mannschaft\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Mathority Mannschaft\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/de\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Bemerkenswerte Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte Produkte) -","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/","og_locale":"de_DE","og_type":"article","og_title":"Bemerkenswerte Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte Produkte) -","og_description":"Hier finden Sie die Erkl\u00e4rung zur Aufl\u00f6sung aller Arten von bemerkenswerten Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerten Produkten). Sie k\u00f6nnen sehen, wie die Formeln aller bemerkenswerten Identit\u00e4ten lauten, sowie Beispiele und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Au\u00dferdem zeigen wir Ihnen, wozu diese ber\u00fchmten mathematischen Regeln dienen. \ud83d\udc49\ud83d\udc49 Im Folgenden erkl\u00e4ren wir Schritt f\u00fcr Schritt jede bemerkenswerte &hellip; Bemerkenswerte identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte produkte) Weiterlesen &raquo;","og_url":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/","article_published_time":"2023-07-06T00:53:57+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/identites-produits-ou-egalites-notables.png"}],"author":"Mathority Mannschaft","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Verfasst von":"Mathority Mannschaft","Gesch\u00e4tzte Lesezeit":"15\u00a0Minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/"},"author":{"name":"Mathority Mannschaft","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be"},"headline":"Bemerkenswerte identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte produkte)","datePublished":"2023-07-06T00:53:57+00:00","dateModified":"2023-07-06T00:53:57+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/"},"wordCount":3037,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization"},"articleSection":["Mathematische erkl\u00e4rungen"],"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/","name":"Bemerkenswerte Identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte Produkte) -","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#website"},"datePublished":"2023-07-06T00:53:57+00:00","dateModified":"2023-07-06T00:53:57+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/#breadcrumb"},"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten-produkte-bemerkenswerte-gleichheiten-geloste-ubungen\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/de\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Bemerkenswerte identit\u00e4ten (oder bemerkenswerte produkte)"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/","name":"Mathority","description":"Wo Neugierde auf Berechnung trifft!","publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/de\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"de"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization","name":"Mathority","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png","contentUrl":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png","width":703,"height":151,"caption":"Mathority"},"image":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/"}},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be","name":"Mathority Mannschaft","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Mathority Mannschaft"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/de"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/354","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=354"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/354\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=354"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=354"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=354"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}