{"id":350,"date":"2023-07-06T01:36:03","date_gmt":"2023-07-06T01:36:03","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/wann-ist-eine-regulare-oder-invertierbare-matrix-beispiele-und-eigenschaften\/"},"modified":"2023-07-06T01:36:03","modified_gmt":"2023-07-06T01:36:03","slug":"wann-ist-eine-regulare-oder-invertierbare-matrix-beispiele-und-eigenschaften","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/wann-ist-eine-regulare-oder-invertierbare-matrix-beispiele-und-eigenschaften\/","title":{"rendered":"Regelm\u00e4\u00dfige umkehrbare goldmatrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung einer regul\u00e4ren oder invertierbaren Matrix und wie Sie wissen, wann die Inversion einer Matrix durchgef\u00fchrt werden kann und wann nicht. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie auch mehrere Beispiele f\u00fcr regul\u00e4re Matrizen, um das Konzept vollst\u00e4ndig zu verstehen, und schlie\u00dflich zeigen wir Ihnen alle Eigenschaften dieses Matrixtyps.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist eine regul\u00e4re Matrix?<\/h2>\n<p> Die Definition einer regul\u00e4ren Matrix lautet wie folgt:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> Eine <strong>regul\u00e4re Matrix<\/strong> ist eine quadratische Matrix, die invertiert werden kann, d. h. die Umkehrung dieser Matrix kann berechnet werden. Daher ist seine Determinante ungleich Null (0).<\/p>\n<p> Regul\u00e4re Matrizen werden auch als <strong>invertierbare, nicht singul\u00e4re oder nicht entartete Matrizen<\/strong> bezeichnet.<\/p>\n<p> Die Gegenmatrix zur regul\u00e4ren Matrix ist die singul\u00e4re oder entartete Matrix.<\/p>\n<p> Um also zu wissen, wann eine Matrix regelm\u00e4\u00dfig oder singul\u00e4r ist, also wann eine Matrix invertierbar ist oder nicht, reicht es aus, die Determinante der Matrix zu l\u00f6sen:<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist, ist die Matrix regelm\u00e4\u00dfig oder invertierbar.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Wenn die Determinante der Matrix gleich Null ist, ist die Matrix singul\u00e4r oder nicht invertierbar.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die Berechnung der Determinante einer Matrix der einfachste Weg ist, um herauszufinden, ob die Matrix eine Umkehrung hat oder nicht. Daher empfehlen wir dies, um die Invertibilit\u00e4t einer Matrix zu bestimmen.<\/p>\n<p> Wenn Sie wissen m\u00f6chten, wie man eine Matrix invertiert, k\u00f6nnen Sie sich die <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/inverse-matrix\/\">Formel f\u00fcr die inverse Matrix<\/a> ansehen, die Schritt f\u00fcr Schritt erkl\u00e4rt, wie man eine Matrix invertiert. Au\u00dferdem finden Sie dort mehrere Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen zum \u00dcben.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiele f\u00fcr regul\u00e4re oder invertierbare Matrizen<\/h2>\n<p> Nachdem wir die Bedeutung einer regul\u00e4ren oder invertierbaren Matrix verstanden haben, sehen wir uns einige Beispiele f\u00fcr regul\u00e4re Matrizen unterschiedlicher Dimensionen an:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer regul\u00e4ren oder invertierbaren 2\u00d72-Matrix <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-reguliere-ou-inversible-22152-1.webp\" alt=\"Beispiel einer regul\u00e4ren oder invertierbaren Matrix der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-3654\" width=\"67\" height=\"64\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um eine regul\u00e4re Matrix handelt, indem wir ihre Determinante berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e4a833393b2e66b49eb3b434136b755_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 3&amp;5 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2\\end{vmatrix}=1\\bm{\\neq 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante der Matrix der Ordnung 2 unterscheidet sich von 0, es handelt sich also um eine regul\u00e4re Matrix.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer regul\u00e4ren oder invertierbaren 3\u00d73-Matrix <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-reguliere-ou-inversible-32153-1.webp\" alt=\"Beispiel einer regul\u00e4ren oder invertierbaren Matrix der Dimension 3x3\" class=\"wp-image-3655\" width=\"101\" height=\"105\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wir m\u00fcssen die Determinante der Matrix bestimmen, um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um eine invertierbare Matrix handelt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c0389d86d007f9ee667b14c0071b6395_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;4\\\\[1.1ex] 3&amp;1&amp;0\\\\[1.1ex] 1&amp;0&amp;3\\end{vmatrix}=-7\\bm{\\neq 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"143\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante der Matrix der Ordnung 3 liefert ein anderes Ergebnis als 0, es handelt sich also um eine regul\u00e4re Matrix.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer regul\u00e4ren oder invertierbaren 4\u00d74-Matrix <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-reguliere-ou-inversible-42154-1.webp\" alt=\"Beispiel einer regul\u00e4ren oder invertierbaren Matrix der Dimension 4x4\" class=\"wp-image-3656\" width=\"156\" height=\"129\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Die Bestimmung der Determinante der Matrix zeigt, dass es sich um eine regul\u00e4re Matrix handelt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a07b3fa1ed83267c0bc723dd027d724_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 1&amp;3&amp;-2&amp;0\\\\[1.1ex] 2&amp;-1&amp;0&amp;5\\\\[1.1ex] 1&amp;3&amp;1&amp;2\\\\[1.1ex] 0&amp;-1&amp;2&amp;4\\end{vmatrix}=-49\\bm{\\neq 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"204\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante der Matrix 4. Ordnung ist nicht Null, es handelt sich also um eine invertierbare Matrix.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fffde7\"> <strong>Warnung:<\/strong> Wenn Sie Zweifel an der Berechnung von Determinanten haben, k\u00f6nnen Sie die Seite <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\" rel=\"nofollow\">zur Berechnung einer Determinante<\/a> konsultieren.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschaften regul\u00e4rer oder invertierbarer Matrizen<\/h2>\n<p> Regul\u00e4re oder invertierbare Matrizen sind f\u00fcr die lineare Algebra sehr wichtig, und das liegt an den folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn A eine invertierbare Matrix ist, ist dies auch ihre transponierte oder transponierte Matrix. Dar\u00fcber hinaus ist die inverse Matrix der Transponierten gleich der Transponierten der Inversen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-599aaadb6e9a0ed681ae1ed37cbe75f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A^t\\right)^{-1}=\\left(A^{-1}\\right)^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Bereich einer regul\u00e4ren Matrix ist immer der maximal m\u00f6gliche, oder mit anderen Worten, der Bereich entspricht der Dimension der Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Das Matrixprodukt zwischen zwei invertierbaren Matrizen f\u00fchrt zu einer weiteren regul\u00e4ren Matrix. Diese Bedingung l\u00e4sst sich leicht anhand der Eigenschaften der Determinanten nachweisen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88d940d46390d4f5f0d6e694ac5a18d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left.\\begin{array}{l}\\text{det}(A\\cdot B)=\\text{det}(A)\\cdot\\text{det}(B) \\\\[2ex] \\text{det}(A)\\neq 0 \\quad ; \\quad \\text{det}(B) \\neq 0 \\end{array}\\right\\} \\longrightarrow \\ \\text{det}(A\\cdot B) \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"399\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Jede <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-orthogonale-matrixeigenschaften-2x2-3x3\/\">orthogonale Matrix<\/a> ist gleichzeitig eine regul\u00e4re Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Sei A die Matrix, die ein System linearer Gleichungen darstellt\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d22ca4e8614c8321dd6cc5a4fe4737ce_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(Ax=b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"67\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Wenn A eine regul\u00e4re Matrix ist, hat das System eine eindeutige L\u00f6sung und ist daher ein kompatibles Determinantensystem (SCD).<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Dar\u00fcber hinaus, wenn das System ein homogenes System ist\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-838426cb27867bef9fede0552233b03e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(Ax=0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> und A invertiert werden kann, ist die L\u00f6sung des Systems trivial:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6889ee3f02f0af137641306363d2da7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=0.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Spalten und Zeilen einer regul\u00e4ren Matrix sind linear unabh\u00e4ngig voneinander.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Alle Eigenwerte (oder Eigenwerte) einer regul\u00e4ren oder invertierbaren Matrix sind ungleich Null.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung einer regul\u00e4ren oder invertierbaren Matrix und wie Sie wissen, wann die Inversion einer Matrix durchgef\u00fchrt werden kann und wann nicht. 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