{"id":348,"date":"2023-07-06T02:05:07","date_gmt":"2023-07-06T02:05:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-antisymmetrischer-matrizen\/"},"modified":"2023-07-06T02:05:07","modified_gmt":"2023-07-06T02:05:07","slug":"beispiele-und-eigenschaften-antisymmetrischer-matrizen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-antisymmetrischer-matrizen\/","title":{"rendered":"Antisymmetrische matrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was antisymmetrische Matrizen sind. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere Beispiele sowie die typische Struktur sehen, um es perfekt zu verstehen. Wir erkl\u00e4ren auch die Besonderheit der Berechnung der Determinante einer antisymmetrischen Matrix und alle Eigenschaften dieses Matrixtyps. Und schlie\u00dflich erfahren Sie, wie Sie jede quadratische Matrix in die Summe einer symmetrischen Matrix und einer weiteren antisymmetrischen Matrix zerlegen. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/que-sont-les-matrices-antisymetriques-.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-3594\" width=\"201\" height=\"201\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist eine antisymmetrische Matrix?<\/h2>\n<p> Die Definition einer antisymmetrischen Matrix lautet wie folgt: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Eine <strong>antisymmetrische Matrix<\/strong> ist eine quadratische Matrix, deren Transponierte gleich dem Negativ der Matrix ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7af2e0eb5d0007196810dfded8574ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t = -A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"70\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd3cedfe0f405ed9f2d585b5ac1d8cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> stellt die transponierte Matrix von dar<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d09b2a922b3d10a159833112b4f3487_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Matrix<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> mit allen seinen Elementen ge\u00e4ndertes Vorzeichen.<\/p>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiele f\u00fcr antisymmetrische Matrizen<\/h2>\n<p> Sobald wir das Konzept der antisymmetrischen Matrix kennen, werden wir zum besseren Verst\u00e4ndnis mehrere Beispiele antisymmetrischer Matrizen sehen:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer antisymmetrischen Matrix der Ordnung 2 \u00d7 2<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemples-de-matrices-antisymetriques-22152-1.webp\" alt=\"Beispiel einer antisymmetrischen Matrix der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-3596\" width=\"136\" height=\"76\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-22152-1.webp\" alt=\"\u00dcbung zur antisymmetrischen Matrix der Dimension 2x2 gel\u00f6st\" class=\"wp-image-3597\" width=\"144\" height=\"73\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer antisymmetrischen Matrix der Dimension 3\u00d73<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-antisymetrique-32153-1.webp\" alt=\"Beispiel einer antisymmetrischen Matrix der Dimension 3x3\" class=\"wp-image-3600\" width=\"195\" height=\"113\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-32153-1.webp\" alt=\"\u00dcbung zur antisymmetrischen Matrix der Dimension 3x3 gel\u00f6st\" class=\"wp-image-3599\" width=\"201\" height=\"111\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer antisymmetrischen Matrix der Gr\u00f6\u00dfe 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-antisymetrique-42154-1.webp\" alt=\"Beispiel einer antisymmetrischen Matrix der Dimension 4x4\" class=\"wp-image-3601\" width=\"249\" height=\"146\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-42154-1.webp\" alt=\"\u00dcbung zur antisymmetrischen Matrix der Dimension 4x4 gel\u00f6st\" class=\"wp-image-3602\" width=\"253\" height=\"144\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Bei der Transponierung dieser drei Matrizen stellen wir sicher, dass sie antisymmetrisch sind, da die transponierten Matrizen ihren jeweiligen urspr\u00fcnglichen Matrizen mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen entsprechen.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Struktur einer antisymmetrischen Matrix<\/h2>\n<p> Damit die antisymmetrische Matrixbedingung erf\u00fcllt ist, m\u00fcssen sie immer den gleichen Strukturtyp haben: Die Zahlen auf der Hauptdiagonalen sind alle gleich Null und das Element von Zeile <em>i<\/em> und Spalte <em>j<\/em> ist das Negative des Elements von Zeile <em>j<\/em> und Spalte <em>ich<\/em> . Mit anderen Worten, die Form der antisymmetrischen Matrizen ist wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21250d80d061affcf74ef1338b4d1314_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} 0 &amp; a &amp; b &amp; \\cdots &amp; c\\\\[1.1ex]-a &amp; 0 &amp; d &amp; \\cdots &amp;e\\\\[1.1ex]-b &amp; -d &amp; 0 &amp; \\cdots &amp; f\\\\[1.1ex]\\vdots &amp; \\vdots &amp; \\vdots &amp; \\ddots &amp; \\vdots\\\\[1.1ex] -c &amp; -e &amp; -f &amp; \\cdots &amp; 0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"149\" width=\"191\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher fungiert die Hauptdiagonale einer antisymmetrischen Matrix als Antisymmetrieachse. Daher kommt auch der Name dieser besonderen Matrix.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Determinante einer antisymmetrischen Matrix<\/h2>\n<p> Die Determinante einer antisymmetrischen Matrix h\u00e4ngt von der Dimension dieser Matrix ab. Dies liegt an den Eigenschaften der Determinanten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba35ef7bdf1aed516219ba1d9bbf9244_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\text{det}(A)=\\text{det}(A^t)=\\text{det}(-A)=(-1)^n \\text{det}(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"342\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Wenn die antisymmetrische Matrix also eine ungerade Ordnung hat, ist ihre Determinante gleich 0<\/strong> . Wenn andererseits die antisymmetrische Matrix eine gerade Dimension hat, kann die Determinante jeden Wert annehmen.<\/p>\n<p> Daher ist eine antisymmetrische Matrix ungerader Dimension eine singul\u00e4re oder entartete Matrix. Andererseits ist eine antisymmetrische Matrix gerader Ordnung eine regul\u00e4re Matrix.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschaften antisymmetrischer Matrizen<\/h2>\n<p> Die Eigenschaften antisymmetrischer Matrizen sind wie folgt:<\/p>\n<ul>\n<li> Die Addition (oder Subtraktion) zweier antisymmetrischer Matrizen ergibt eine weitere antisymmetrische Matrix. Da das Transponieren zweier addierter (oder subtrahierter) Matrizen dem Transponieren jeder Matrix einzeln entspricht:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bd08c2680bc7fe6806bd8b6f93c2952_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A+B\\right)^t = A^t+B^t = -A-B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Jede mit einem Skalar multiplizierte antisymmetrische Matrix f\u00fchrt auch zu einer anderen antisymmetrischen Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Potenz einer antisymmetrischen Matrix entspricht einer antisymmetrischen Matrix oder einer symmetrischen Matrix. Wenn der Exponent eine gerade Zahl ist, ist das Potenzergebnis eine symmetrische Matrix. Wenn der Exponent jedoch eine ungerade Zahl ist, ist das Potenzergebnis eine antisymmetrische Matrix. Unter diesem Link k\u00f6nnen Sie nachlesen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-symmetrischer-matrizen\/\">, was eine symmetrische Matrix ist<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Spur einer antisymmetrischen Matrix ist immer gleich Null.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Summe einer antisymmetrischen Matrix plus der <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\">Einheitsmatrix<\/a> ergibt eine invertierbare Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d364455bbe71272e507da222e9f1cee9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{det}(A+I)\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Alle reellen Eigenwerte (oder Eigenwerte) einer antisymmetrischen Matrix sind 0. Eine antisymmetrische Matrix kann jedoch auch komplexe Eigenwerte haben.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Alle antisymmetrischen Matrizen sind Normalmatrizen. Daher unterliegen sie dem Spektralsatz, der besagt, dass eine antisymmetrische Matrix durch eine einheitliche Matrix diagonalisiert werden kann. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Zerlegung einer quadratischen Matrix in eine symmetrische Matrix und eine antisymmetrische Matrix<\/h2>\n<p> Eine Besonderheit quadratischer Matrizen besteht darin, dass sie in die Summe einer symmetrischen Matrix plus einer antisymmetrischen Matrix zerlegt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p> Die Formel, die uns dies erm\u00f6glicht, lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3b9aa2b7ed0e9ce31587d4f00f1144e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = S + A \\\\[2ex] S = \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t) \\qquad A = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^t)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"293\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wobei C die quadratische Matrix ist, die wir zerlegen m\u00f6chten, C <sup>t<\/sup> ihre Transponierte und schlie\u00dflich S und A die symmetrischen bzw. antisymmetrischen Matrizen sind, in die die Matrix C zerlegt wird.<\/p>\n<p> Nachfolgend finden Sie eine gel\u00f6ste \u00dcbung zur Veranschaulichung der Formel. Zerlegen wir die folgende Matrix:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5534c773c54b15eab3d0ab4a5823ce6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\begin{pmatrix} 1&amp; 5 \\\\[1.1ex] -3 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen die symmetrische und antisymmetrische Matrix mit den Formeln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f44ecbf11344f1de645aed313f801fa0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle S=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t)= \\begin{pmatrix} 1&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"210\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bc3c78415b6596b99186207efde54e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C-C^t)= \\begin{pmatrix} 0&amp; 4 \\\\[1.1ex] -4 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"225\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob die Gleichung erf\u00fcllt ist, indem wir die beiden Matrizen addieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a938eebbcc10adb3c3392634a62fbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2725b1e3a2de74b4446145ef32b61d1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{pmatrix} 1&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;2\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix} 0&amp; 4 \\\\[1.1ex] -4 &amp;0\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 1&amp; 5 \\\\[1.1ex] -3 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"251\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d009f71f52fd49559eefc457d18a8be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was antisymmetrische Matrizen sind. 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