{"id":346,"date":"2023-07-06T02:49:35","date_gmt":"2023-07-06T02:49:35","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-symmetrischer-matrizen\/"},"modified":"2023-07-06T02:49:35","modified_gmt":"2023-07-06T02:49:35","slug":"beispiele-und-eigenschaften-symmetrischer-matrizen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-symmetrischer-matrizen\/","title":{"rendered":"Symmetrische matrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung, was symmetrische Matrizen sind. Au\u00dferdem zeigen wir Ihnen, wie Sie schnell erkennen k\u00f6nnen, ob eine Matrix symmetrisch ist, und geben Ihnen mehrere Beispiele, damit Sie keine Zweifel haben. Au\u00dferdem finden Sie hier alle Eigenschaften symmetrischer Matrizen. Und schlie\u00dflich erkl\u00e4ren wir eine besondere Eigenschaft jeder quadratischen Matrix: Sie kann in die Summe einer symmetrischen Matrix und einer antisymmetrischen Matrix zerlegt werden.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist eine symmetrische Matrix?<\/h2>\n<p> Die Definition einer symmetrischen Matrix lautet wie folgt: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Eine <strong>symmetrische Matrix<\/strong> ist eine quadratische Matrix, deren Transponierte gleich der Matrix selbst ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d91251629a6f0241682eed5c4d82847_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t = A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd3cedfe0f405ed9f2d585b5ac1d8cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> stellt die transponierte Matrix von dar<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<\/div>\n<p> Sobald wir das Konzept einer symmetrischen Matrix kennen, werden wir sehen, wie jede symmetrische Matrix leicht identifiziert werden kann:<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Wann ist eine Matrix symmetrisch?<\/h2>\n<p> Das Erkennen der Struktur einer symmetrischen Matrix ist sehr einfach: Das Element von Zeile <em>i<\/em> und Spalte <em>j<\/em> muss mit dem Element von Zeile <em>j<\/em> und Spalte <em>i<\/em> identisch sein. Und die Werte der Hauptdiagonale der Matrix k\u00f6nnen beliebig sein.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiele f\u00fcr symmetrische Matrizen<\/h2>\n<p> Hier sind einige Beispiele f\u00fcr symmetrische Matrizen, um Ihnen das Verst\u00e4ndnis zu erleichtern:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer symmetrischen Matrix der Ordnung 2 \u00d7 2<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-symetrique-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"Beispiel einer symmetrischen Matrix der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-3524\" width=\"77\" height=\"71\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer symmetrischen Matrix der Dimension 3\u00d73<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-tridimensionnelle-symetrique3-1.webp\" alt=\"Beispiel einer symmetrischen Matrix der Dimension 3x3\" class=\"wp-image-3525\" width=\"112\" height=\"118\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer symmetrischen Matrix der Gr\u00f6\u00dfe 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-symetrique-de-dimension-42154-1.webp\" alt=\"Beispiel einer symmetrischen Matrix der Dimension 4x4\" class=\"wp-image-3526\" width=\"206\" height=\"138\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Durch Transponieren dieser drei Matrizen stellen wir sicher, dass sie symmetrisch sind, da die transponierten Matrizen ihren jeweiligen Originalmatrizen \u00e4quivalent sind.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Warum wird es eine symmetrische Matrix genannt?<\/h2>\n<p> Wenn Sie sich die vorherigen Beispiele genau ansehen, ist die Hauptdiagonale einer symmetrischen Matrix eine Symmetrieachse, oder mit anderen Worten, sie fungiert als Spiegel zwischen den Zahlen \u00fcber der Diagonale und denen darunter. Aus diesem Grund werden diese Matrizentypen als symmetrisch bezeichnet.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschaften symmetrischer Matrizen<\/h2>\n<p> Die Eigenschaften symmetrischer Matrizen sind wie folgt:<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<ul>\n<li> Das Addieren (oder Subtrahieren) zweier symmetrischer Matrizen ergibt eine weitere symmetrische Matrix. Da das Transponieren zweier addierter (oder subtrahierter) Matrizen dem Transponieren jeder Matrix einzeln entspricht:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9942bb6c2d0b3b406e42f6b1365e7151_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A+B\\right)^t = A^t+B^t = A+B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Jede symmetrische Matrix, multipliziert mit einem Skalar, f\u00fchrt auch zu einer anderen symmetrischen Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ebenso ist das Matrixprodukt zwischen zwei symmetrischen Matrizen nicht immer gleich einer anderen symmetrischen Matrix, sondern nur dann, wenn die beiden Matrizen vertauscht werden k\u00f6nnen. Diese Bedingung kann mit der transponierten Matrixmultiplikationseigenschaft bewiesen werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03f81c2643b3093a4db891724660c3b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A\\cdot B\\right)^t = B^t\\cdot A^t = BA=AB\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Potenz einer symmetrischen Matrix f\u00fchrt zu einer anderen symmetrischen Matrix, solange der Exponent eine ganze Zahl ist.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Offensichtlich sind die <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\">Einheitsmatrix<\/a> und die Nullmatrix Beispiele f\u00fcr symmetrische Matrizen.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Eine zu einer symmetrischen Matrix kongruente Matrix muss auch symmetrisch sein.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Wenn eine symmetrische Matrix regelm\u00e4\u00dfig oder invertierbar ist, dann ist auch ihre inverse Matrix symmetrisch.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Das Gleiche gilt f\u00fcr die Adjungierte einer symmetrischen Matrix: Die adjungierte Matrix einer symmetrischen Matrix ergibt eine andere symmetrische Matrix als L\u00f6sung.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Eine echte symmetrische Matrix ist auch eine Normalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Da symmetrische Matrizen ein Sonderfall der hermiteschen Matrizen sind, sind alle Eigenwerte (oder Eigenwerte) einer symmetrischen Matrix reelle Zahlen.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Der Spektralsatz sagt uns, dass alle Matrizen, deren Elemente reell sind, diagonalisierbare Matrizen sind und au\u00dferdem die Diagonalisierung mittels einer orthogonalen Matrix erfolgt. Daher sind alle reellen symmetrischen Matrizen orthogonal diagonalisiert.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Andererseits k\u00f6nnen symmetrische Matrizen mit komplexen Zahlen durch eine einheitliche Matrix diagonalisiert werden.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Hesse-Matrix ist immer symmetrisch. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Zerlegung einer quadratischen Matrix in eine symmetrische Matrix und eine antisymmetrische Matrix<\/h2>\n<p> Eine Besonderheit quadratischer Matrizen besteht darin, dass sie in die Summe einer symmetrischen Matrix plus einer antisymmetrischen Matrix zerlegt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p> Die Formel, die uns dies erm\u00f6glicht, lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3b9aa2b7ed0e9ce31587d4f00f1144e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = S + A \\\\[2ex] S = \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t) \\qquad A = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^t)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"293\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wobei C die quadratische Matrix ist, die wir zerlegen m\u00f6chten, C <sup>t<\/sup> ihre Transponierte und schlie\u00dflich S und A die symmetrischen bzw. antisymmetrischen Matrizen sind, in die die Matrix C zerlegt wird.<\/p>\n<p> Unten finden Sie eine gel\u00f6ste \u00dcbung, um zu sehen, wie das geht. Zerlegen wir die folgende Matrix:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-852a7267895a7f332ad3f28f8a8dda0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\begin{pmatrix} 2&amp; -1 \\\\[1.1ex] 3 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen die symmetrische und antisymmetrische Matrix mit den Formeln:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-994670ecc17b3bc8757482f1656e543e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle S=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t)= \\begin{pmatrix} 2&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"210\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d87e1d30d2bc657c20535f45c0fb7be6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C-C^t)= \\begin{pmatrix} 0&amp; -2 \\\\[1.1ex] 2 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"225\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob die Gleichung erf\u00fcllt ist, indem wir die beiden Matrizen addieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a938eebbcc10adb3c3392634a62fbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cfdbffec6801c13041cd2996da13e96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{pmatrix} 2&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;0\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix} 0&amp; -2 \\\\[1.1ex] 2 &amp;0\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 2&amp; -1 \\\\[1.1ex] 3 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"251\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d009f71f52fd49559eefc457d18a8be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung, was symmetrische Matrizen sind. 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