{"id":345,"date":"2023-07-06T03:16:38","date_gmt":"2023-07-06T03:16:38","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-ahnlicher-oder-ahnlicher-matrizen\/"},"modified":"2023-07-06T03:16:38","modified_gmt":"2023-07-06T03:16:38","slug":"beispiele-und-eigenschaften-ahnlicher-oder-ahnlicher-matrizen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-ahnlicher-oder-ahnlicher-matrizen\/","title":{"rendered":"\u00c4hnliche oder \u00e4hnliche matrizen"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung \u00e4hnlicher Matrizen, auch \u00e4hnliche Matrizen genannt. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir Ihnen ein anschauliches Beispiel zweier \u00e4hnlicher Matrizen und alle Eigenschaften dieser Art von Matrizen, damit Sie keine Zweifel haben. Schlie\u00dflich k\u00f6nnen Sie sogar sehen, wie sie sich auf kongruente Matrizen beziehen.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was sind \u00e4hnliche (oder \u00e4hnliche) Matrizen?<\/h2>\n<p> Die Definition \u00e4hnlicher Matrizen lautet wie folgt: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> zwei Matrizen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> sind <strong>\u00e4hnlich (oder \u00e4hnlich),<\/strong> wenn eine Matrix existiert<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> womit folgende Bedingung erf\u00fcllt ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a9d8fcb81e8bfa5645d23ba85832892_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P^{-1}AP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Oder gleichwertig:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1aab9713a82d78b188aaf0e426aca74f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"AP = PB\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"79\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> Tats\u00e4chlich die Matrix<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> fungiert als Basis-\u00c4nderungsmatrix. Daher bedeutet diese Gleichung, dass die Matrix<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> kann in einer anderen Basis ausgedr\u00fcckt werden (<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ), wodurch die Matrix entsteht<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<p> Dieser Begriff kann auch als <em>\u00c4hnlichkeitstransformation<\/em> bezeichnet werden, da wir tats\u00e4chlich die Matrix transformieren<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in der Matrix<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<p> Offensichtlich die Matrix<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> es muss eine regul\u00e4re oder nicht entartete Matrix sein (Determinante ungleich Null).<\/p>\n<p> Andererseits k\u00f6nnen wir angeben, dass zwei Matrizen dem folgenden Ausdruck \u00e4hneln: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/explication-des-matrices-similaires-ou-similaires.webp\" alt=\"Erkl\u00e4rung \u00e4hnlicher oder \u00e4hnlicher Matrizen\" class=\"wp-image-3488\" width=\"71\" height=\"71\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Diese Matrizenklasse ist f\u00fcr die lineare Algebra wichtiger als es scheint. Sie werden haupts\u00e4chlich f\u00fcr diagonalisierbare Matrizen verwendet, da das Verfahren zur Diagonalisierung einer beliebigen Matrix auf dem Konzept der Matrix\u00e4hnlichkeit basiert.<\/p>\n<p> Tats\u00e4chlich beinhaltet der Prozess der Diagonalisierung einer Matrix die Berechnung einer \u00e4hnlichen Matrix, die gleichzeitig eine Diagonalmatrix ist. Wie das geht, k\u00f6nnen Sie im <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/wie-man-eine-diagonalisierbare-matrix-diagonalisiert.-diagonalisierung-einer-2x2-3x3-4x4-matrix.-ubungen-schritt-fur-schritt-gelost\/\">Artikel \u201eDiagonalisieren einer Matrix\u201c<\/a> sehen.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel f\u00fcr \u00e4hnliche oder \u00e4hnliche Matrizen<\/h2>\n<p> Anschlie\u00dfend sehen wir uns ein Beispiel \u00e4hnlicher Matrizen der Dimension 2\u00d72 an, um die Assimilation des Konzepts abzuschlie\u00dfen.<\/p>\n<ul>\n<li> Die quadratischen Matrizen A und B \u00e4hneln einander durch die invertierbare Matrix P:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4978e1117b69063b63256a0663eaf207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix}-1&amp;2\\\\[1.1ex] 3&amp;1\\end{pmatrix} \\qquad B= \\begin{pmatrix}-5&amp;-3\\\\[1.1ex] 6&amp;5\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"275\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6344f1d5a14dd381ab105bcb52827455_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P= \\begin{pmatrix}2&amp;1\\\\[1.1ex] -1&amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um zu zeigen, dass es sich hierbei um zueinander \u00e4hnliche Matrizen handelt, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/inverse-matrix\/\">inverse Matrix<\/a> von P berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c49a4a995246e782635e2e2b43302798_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}= \\begin{pmatrix}0&amp;-1\\\\[1.1ex] 1&amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"128\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und jetzt \u00fcberpr\u00fcfen wir, ob sie \u00e4hnlich sind, indem wir das Matrixprodukt berechnen, das die \u00c4hnlichkeit zweier Matrizen definiert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08a687bbdc46a46639909c263d9a9864_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}AP = B \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"123\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrices-similaires-ou-similaires-22152-1.webp\" alt=\"Beispiele f\u00fcr \u00e4hnliche oder \u00e4hnliche 2x2-Matrizen\" class=\"wp-image-3472\" width=\"529\" height=\"73\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa1f8005d6559c27a4c9871fbd071d34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}AP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n<p> Ja, die \u00c4hnlichkeitsrelation ist erf\u00fcllt, es handelt sich also um \u00e4hnliche Matrizen.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> \u00c4hnliche Matrixeigenschaften<\/h2>\n<p> Zwei \u00e4hnliche Matrizen A und B haben die folgenden Merkmale gemeinsam:<\/p>\n<ul>\n<li> Gleicher Rang.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36c08d3b697e5c80c43bc8eca0eb994e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A)=rg(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Determinanten der beiden Matrizen sind gleich.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96449de60b8a83016035f562f99e2ca3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A)=det(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Gleiche Ablaufverfolgung.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39c97e89fcd3198999489af3ede0f8ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"tr(A)=tr(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Gleiche <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/berechnen-sie-eigenwerte,-eigenwerte-und-eigenvektoren,-eigenvektoren-einer-matrix\/\">Eigenwerte<\/a> (oder Eigenwerte). Allerdings sind die Eigenvektoren (bzw. Eigenvektoren) meist unterschiedlich.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Gleiches charakteristisches Polynom und minimales Polynom.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-transponierte-oder-transponierte-matrix-und-geloste-ubungen\/\">Das Transponieren einer Matrix<\/a> \u00e4hnelt der urspr\u00fcnglichen Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Matrix B kann durch Anwenden elementarer Operationen auf die Zeilen von Matrix A gefunden werden und umgekehrt.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Offensichtlich spiegelt sich die \u00c4hnlichkeit wider. Das hei\u00dft, wenn A B \u00e4hnlich ist, dann ist B auch A \u00e4hnlich.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Dar\u00fcber hinaus ist auch die \u00c4hnlichkeit der Matrizen symmetrisch. Mit anderen Worten: Wenn mit der Matrix P die Matrix erhalten werden kann, die A (B) \u00e4hnlich ist, kann mit derselben Matrix P auch die Matrix erhalten werden, die B (A) \u00e4hnlich ist:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b42b2b64f904396c1ab3a7c395ec1948_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=P^{-1}AP\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-163fd36257f7436438080e7f9fa92dfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=PBP^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"96\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Dar\u00fcber hinaus ist \u00c4hnlichkeit transitiv. Wenn also Matrix A Matrix B \u00e4hnlich ist und Matrix B Matrix C \u00e4hnlich ist, ist Matrix A auch Matrix C \u00e4hnlich.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9f845ee4a4c9e72220ecb4033ea9640_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l}A\\sim B \\\\[2ex] B \\sim C \\end{array}\\right\\} \\longrightarrow A \\sim C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"165\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Schlie\u00dflich \u00e4hnelt jede Matrize einer S\u00e4gezahnmatrize. Und aus dieser Eigenschaft k\u00f6nnen wir die folgende Folgerung ableiten: Jede quadratische Matrix \u00e4hnelt einer dreieckigen Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> kongruente Matrizen<\/h2>\n<p> Andererseits gibt es auch eine andere, sehr \u00e4hnliche Beziehung zwischen Matrizen, allerdings nicht mit der inversen Matrix, sondern mit der transponierten Matrix. Dies nennt man <strong>Kongruenz<\/strong> .<\/p>\n<p> Zwei Matrizen A und B sind <strong>kongruent<\/strong> , wenn es eine invertierbare Matrix P gibt, mit der die folgende Gleichung erf\u00fcllt ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d41e2b46ad81b140c9f4908d5f3df744_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P^tAP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie Sie sehen k\u00f6nnen, ist dies das Analogon \u00e4hnlicher Matrizen, jedoch mit transponierter Matrix.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung \u00e4hnlicher Matrizen, auch \u00e4hnliche Matrizen genannt. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir Ihnen ein anschauliches Beispiel zweier \u00e4hnlicher Matrizen und alle Eigenschaften dieser Art von Matrizen, damit Sie keine Zweifel haben. Schlie\u00dflich k\u00f6nnen Sie sogar sehen, wie sie sich auf kongruente Matrizen beziehen. Was sind \u00e4hnliche (oder \u00e4hnliche) Matrizen? 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