{"id":338,"date":"2023-07-06T04:44:28","date_gmt":"2023-07-06T04:44:28","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/singulare-oder-entartete-matrix\/"},"modified":"2023-07-06T04:44:28","modified_gmt":"2023-07-06T04:44:28","slug":"singulare-oder-entartete-matrix","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/singulare-oder-entartete-matrix\/","title":{"rendered":"Singul\u00e4re oder entartete matrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was es bedeutet, dass eine Matrix singul\u00e4r oder entartet ist. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir Ihnen einige Beispiele, damit Sie keine Zweifel haben, und erkl\u00e4ren abschlie\u00dfend alle Eigenschaften dieser Art von Matrix.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist eine singul\u00e4re oder entartete Matrix?<\/h2>\n<p> Die Definition einer singul\u00e4ren Matrix, auch entartete Matrix genannt, lautet wie folgt:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> Eine <strong>singul\u00e4re oder entartete Matrix<\/strong> ist eine quadratische Matrix, die nicht invertiert werden kann und deren Determinante daher gleich 0 ist.<\/p>\n<p> Um also zu wissen, <strong>wann eine Matrix singul\u00e4r ist,<\/strong> berechnen Sie einfach ihre Determinante: Wenn das Ergebnis 0 ist, ist die Matrix singul\u00e4r, wenn andererseits die Determinante von 0 verschieden ist, ist die Matrix nicht singul\u00e4r .<\/p>\n<p> Wenn Sie mehr \u00fcber die inverse Matrix erfahren m\u00f6chten, k\u00f6nnen Sie diese Seite konsultieren, auf der ausf\u00fchrlich erkl\u00e4rt wird <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/inverse-matrix\/\">, wie man eine Matrix mit der Gau\u00df-Methode invertiert<\/a> . Au\u00dferdem finden Sie mehrere Beispiele und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt zum \u00dcben gel\u00f6st werden.<\/p>\n<p> Andererseits werden singul\u00e4re Matrizen auch als nichtregul\u00e4re Matrizen bezeichnet, da sie genau das Gegenteil von <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/wann-ist-eine-regulare-oder-invertierbare-matrix-beispiele-und-eigenschaften?\/\">regul\u00e4rer Matrix<\/a> bedeuten.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiele f\u00fcr singul\u00e4re Matrizen<\/h2>\n<p> Nachdem wir die Erkl\u00e4rung der singul\u00e4ren oder entarteten Matrix gesehen haben, sehen wir uns einige Beispiele f\u00fcr singul\u00e4re Matrizen mit mehreren Dimensionen an:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer 2\u00d72-Singul\u00e4rmatrix <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-singuliere-ou-degeneree-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"Beispiel einer singul\u00e4ren oder entarteten Matrix der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-3393\" width=\"68\" height=\"68\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wir k\u00f6nnen leicht \u00fcberpr\u00fcfen, dass es sich um eine singul\u00e4re Matrix handelt, indem wir ihre Determinante berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e8466c3a7108986306c5e06a6b49049_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 2&amp;1 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 2\\end{vmatrix}\\bm{=0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"74\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante der Matrix der Ordnung 2 ist gleich 0, es handelt sich also um eine singul\u00e4re Matrix.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer 3 \u00d7 3-Singul\u00e4rmatrix <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-singuliere-ou-degeneree-de-dimension-32153-1.webp\" alt=\"Beispiel einer singul\u00e4ren oder entarteten Matrix der Dimension 3x3\" class=\"wp-image-3397\" width=\"98\" height=\"102\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wir m\u00fcssen die Determinante der Matrix l\u00f6sen, um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um eine nicht invertierbare Matrix handelt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1aebdc318be6773a6d4d78e9fcedaf5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 1&amp;3&amp;0\\\\[1.1ex] 4&amp;7&amp;2\\\\[1.1ex] 3&amp;4&amp;2\\end{vmatrix}\\bm{=0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"99\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante der Matrix der Ordnung 3 ergibt 0, es handelt sich also um eine singul\u00e4re Matrix.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer 4 \u00d7 4-Singul\u00e4rmatrix <\/h3>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-singuliere-ou-degeneree-de-dimension-42154-1.webp\" alt=\"Beispiel einer singul\u00e4ren oder entarteten Matrix der Dimension 4x4\" class=\"wp-image-3400\" width=\"195\" height=\"132\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Indem wir die Determinante der Matrix bestimmen, zeigen wir, dass es sich um eine singul\u00e4re Matrix handelt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ad6c7444321a65bb993c2abc87f93a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;4&amp;-1\\\\[1.1ex] 3&amp;-2&amp;1&amp;0\\\\[1.1ex] 5&amp;1&amp;-3&amp;2\\\\[1.1ex] -1&amp;3&amp;3&amp;-1\\end{vmatrix}\\bm{=0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"180\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante der Matrix der Ordnung 4 ist Null, daher existiert ihre inverse Matrix nicht.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#fffde7\"> <strong>Warnung:<\/strong> Wenn Sie Zweifel an der Berechnung von Determinanten haben, k\u00f6nnen Sie die Seite <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\" rel=\"nofollow\">zur Berechnung einer Determinante<\/a> konsultieren.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschaften singul\u00e4rer Matrizen<\/h2>\n<p> Die Merkmale dieser Art von Matrizen sind wie folgt:<\/p>\n<ul>\n<li> Mindestens zwei Spalten oder zwei Zeilen einer singul\u00e4ren Matrix sind Linearkombinationen und daher linear abh\u00e4ngig.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Jede Matrix, die eine mit Nullen gef\u00fcllte Zeile oder Spalte enth\u00e4lt, ist eine singul\u00e4re Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Der Rang einer singul\u00e4ren oder entarteten Matrix ist kleiner als ihre Gr\u00f6\u00dfe.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Das Matrixprodukt einer singul\u00e4ren Matrix multipliziert mit einer anderen Matrix ergibt eine weitere singul\u00e4re Matrix. Diese Bedingung l\u00e4sst sich aus den Eigenschaften der Determinanten ableiten:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b7c7e6f9873e3d41b0171cc76380be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{det}(AB) = \\text{det}(A) \\cdot \\text{det}(B)=0 \\cdot \\text{det}(B) = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"338\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Ebenso ist die Potenz einer singul\u00e4ren Matrix gleich der einer anderen singul\u00e4ren Matrix, unabh\u00e4ngig von der Potenz, auf die sie erhoben wird.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Transponierte einer singul\u00e4ren Matrix f\u00fchrt zu einer anderen singul\u00e4ren Matrix, da die Determinante einer transponierten (oder transponierten) Matrix \u00e4quivalent zur Determinante der nicht transponierten Matrix ist:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f612a114c9aeca3df37e6f267ba12b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{det}(A^t) = \\text{det}(A)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Multiplikation einer singul\u00e4ren Matrix mit einem Skalar \u00e4ndert nichts an ihrem Status als entartete Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Der <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-matrix-moll-adjunkte-und-komplementar-adjunkte-sowie-geloste-ubungen\/\">Adjunkt einer singul\u00e4ren Matrix<\/a> ist ebenfalls singul\u00e4r.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Dreiecksmatrizen und Diagonalmatrizen sind entartete Matrizen, wenn mindestens ein Element ihrer Hauptdiagonale Null ist.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Offensichtlich ist die Nullmatrix eine singul\u00e4re Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ebenso ist eine nilpotente Matrix auch eine singul\u00e4re Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ein System linearer Gleichungen, die einer singul\u00e4ren Matrix zugeordnet sind, hat keine L\u00f6sung oder unendlich viele L\u00f6sungen.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Schlie\u00dflich ist eine quadratische Matrix genau dann singul\u00e4r, wenn sie mindestens einen Eigenwert (oder Eigenwert) gleich 0 hat.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was es bedeutet, dass eine Matrix singul\u00e4r oder entartet ist. 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