{"id":335,"date":"2023-07-06T05:26:21","date_gmt":"2023-07-06T05:26:21","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-orthogonale-matrixeigenschaften-2x2-3x3\/"},"modified":"2023-07-06T05:26:21","modified_gmt":"2023-07-06T05:26:21","slug":"beispiele-fur-orthogonale-matrixeigenschaften-2x2-3x3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-orthogonale-matrixeigenschaften-2x2-3x3\/","title":{"rendered":"Orthogonale matrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was orthogonale Matrizen sind und welche Beziehung sie zur Umkehrung einer Matrix haben. Sie werden auch einige Beispiele sehen, um es perfekt zu verstehen. Dar\u00fcber hinaus bringen wir Ihnen die Formel zur \u00dcberpr\u00fcfung jeder orthogonalen Matrix bei, mit der Sie schnell eine finden k\u00f6nnen. Und schlie\u00dflich finden Sie die Eigenschaften und Anwendungen dieser speziellen Matrizen sowie eine typische gel\u00f6ste Pr\u00fcfungsaufgabe.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist eine orthogonale Matrix?<\/h2>\n<p> Die Definition einer orthogonalen Matrix lautet wie folgt: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Eine <strong>orthogonale Matrix<\/strong> ist eine quadratische reelle Zahlenmatrix, die multipliziert mit ihrer Transponierten (oder Transponierten) der Identit\u00e4tsmatrix entspricht. Das hei\u00dft, die folgende Bedingung ist erf\u00fcllt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ce7debd9ea0083703f398f280e534f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cdot A^t = A^t \\cdot A =I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"147\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist eine orthogonale Matrix und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd3cedfe0f405ed9f2d585b5ac1d8cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> repr\u00e4sentiert seine transponierte Matrix.<\/p>\n<\/div>\n<p> Damit diese Bedingung erf\u00fcllt ist, m\u00fcssen die Spalten und Zeilen einer orthogonalen Matrix orthogonale Einheitsvektoren sein, das hei\u00dft, sie m\u00fcssen eine Orthonormalbasis bilden. Manche Mathematiker nennen sie deshalb auch <strong>Orthonormalmatrizen<\/strong> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Umkehrung einer orthogonalen Matrix<\/h2>\n<p> Eine andere M\u00f6glichkeit, das Konzept einer orthogonalen Matrix zu erkl\u00e4ren, ist die inverse Matrix, da <strong>die transponierte (oder transponierte) Matrix einer orthogonalen Matrix gleich ihrer Umkehrung ist.<\/strong><\/p>\n<p> Um diesen Satz vollst\u00e4ndig zu verstehen, ist es wichtig, dass Sie wissen, wie <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/inverse-matrix\/\">man eine Matrix invertiert<\/a> . Unter diesem Link finden Sie eine detaillierte Erkl\u00e4rung der Umkehrung einer Matrix, aller ihrer Eigenschaften und Sie haben sogar Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungsaufgaben zum \u00dcben gel\u00f6st.<\/p>\n<p> Mithilfe der Orthogonalmatrixbedingung und der Haupteigenschaft inverser Matrizen kann leicht gezeigt werden, dass die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix ihrer Transponierten \u00e4quivalent ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36f7666e4730a6311c088c7e8d7f0f38_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} A \\cdot A^t =I \\\\[2ex] A \\cdot A^{-1} = I\\end{array} \\right\\} \\longrightarrow \\ A^t=A^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"231\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher ist eine orthogonale Matrix immer eine <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/wann-ist-eine-regulare-oder-invertierbare-matrix-beispiele-und-eigenschaften?\/\">invertierbare Matrix<\/a> , oder mit anderen Worten, es wird eine regul\u00e4re oder nicht entartete Matrix sein.<\/p>\n<p> Als n\u00e4chstes werden wir einige Beispiele orthogonaler Matrizen sehen, um das Konzept von allem besser zu verstehen.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer orthogonalen 2\u00d72-Matrix<\/h2>\n<p> Die folgende Matrix ist eine orthogonale Matrix der Dimension 2\u00d72: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-orthogonale-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"orthogonale Matrix der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-3302\" width=\"132\" height=\"70\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob es orthogonal ist, indem wir das Produkt durch seine Transponierte berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d157361ae2a13dbeabc4ba1aab7f8a94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"44\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7baa091c2fd963507b93e6bec5c386b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t= \\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 0 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 0 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"315\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da das Ergebnis die identische Matrix ergibt, \u00fcberpr\u00fcfen wir, dass A eine orthogonale Matrix ist.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer orthogonalen 3\u00d73-Matrix<\/h2>\n<p> Die folgende Matrix ist eine orthogonale Matrix der Dimension 3\u00d73: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-orthogonale-de-dimension-32153-1.webp\" alt=\"orthogonale Matrix der Dimension 3x3\" class=\"wp-image-3304\" width=\"193\" height=\"102\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wir k\u00f6nnen zeigen, dass sie orthogonal ist, indem wir die Matrix A mit ihrer Transponierten multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35687f56ff4ad5d1b19ea673b4ac85de_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t = \\begin{pmatrix}0.8&amp;0.6&amp;0\\\\[1.1ex] -0.6&amp;0.8&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}0.8&amp;-0.6&amp;0\\\\[1.1ex] 0.6&amp;0.8&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0\\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"453\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da die L\u00f6sung die Einheitsmatrix ist, zeigen wir, dass A eine orthogonale Matrix ist.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Formel zum Finden einer orthogonalen 2&#215;2-Matrix<\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p> Wir werden dann den Beweis sehen, dass alle orthogonalen Matrizen der Ordnung 2 dem gleichen Muster folgen.<\/p>\n<p> Betrachten Sie eine generische Matrix der Gr\u00f6\u00dfe 2\u00d72:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac19d6ab63d390a9340cbce4014b1136_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix} a &amp; b \\\\[1.1ex] c &amp; d \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"96\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit diese Matrix orthogonal ist, muss die folgende Matrixgleichung erf\u00fcllt sein:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05ba7bc31dc95f239c8ddb0ffdd72a81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t =I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"78\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e108701513ef6f2118e3b7d32657cd8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} a &amp; b \\\\[1.1ex] c &amp; d \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} a &amp; c \\\\[1.1ex] b &amp; d \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"216\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn wir die Matrixmultiplikation l\u00f6sen, erhalten wir die folgenden Gleichungen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5435c614cb0da442fe04f65aec89637_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} a^2+b^2 &amp; ac+bd \\\\[1.1ex] ac+bd &amp; c^2+d^2 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"233\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8897132ecdbf389450e8c5fa1707226_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c}a^2+b^2=1 \\\\[2ex] ac+bd=0 \\\\[2ex] c^2+d^2=1 \\end{array} \\qquad \\begin{array}{l} (1) \\\\[2ex] (2) \\\\[2ex] (3) \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"162\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn man genau hinschaut, \u00e4hneln diese Gleichungen stark der <em>grundlegenden trigonometrischen Beziehung des Pythagoras<\/em> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbd8ab83a790807844d1d30e63429337_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\sin ^2\\alpha+\\cos ^2\\alpha=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Folglich sind die Terme, die die Gleichungen (1) und (3) erf\u00fcllen, erhalten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9abeb023c5050d8d7f6fbab8c52227ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{l} a = \\cos \\theta \\qquad \\qquad \\qquad c = \\sin\\phi \\\\[2ex] b = \\sin \\theta \\qquad \\qquad \\qquad d = \\cos \\phi\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"242\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Durch Einsetzen der Werte in die zweite Gleichung erhalten wir au\u00dferdem die Beziehung zwischen den beiden Winkeln: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b210cbf7eb8602c723c54204fc5ad8d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle ac+bd=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c5edfeb3556ee37b43da4afaeb0c3f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cos\\theta\\sin\\phi+\\sin\\theta\\cos\\phi=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2b1e1085946911044e2758ca2783eb8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\tan\\phi=-\\tan\\theta\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das hei\u00dft, eine der beiden folgenden Bedingungen muss erf\u00fcllt sein:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0eb6746afdcb971294de82ecebad37b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{si} \\quad c=\\sin\\phi=-\\sin\\theta \\quad \\longrightarrow \\quad  d=\\cos\\phi=\\cos\\theta\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"373\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6face2f33e95163135f12204424969f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{si} \\quad d=\\cos \\phi=-\\cos \\theta \\quad \\longrightarrow \\quad c=\\sin\\phi=\\sin\\theta\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"373\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass orthogonale Matrizen die Struktur einer der beiden folgenden Matrizen haben m\u00fcssen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-orthogonale-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"Formel f\u00fcr die orthogonale Matrix der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-3267\" width=\"623\" height=\"143\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-356a08e839ab6974a16448e16e56745d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\theta\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist eine reelle Zahl.<\/p>\n<p> In der Tat, wenn wir als Beispiel den Wert gew\u00e4hren<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3f94c7fef174aa94efe99c9aa192cab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\theta=\\frac{\\pi}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"45\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<p> und wenn wir die erste Struktur nehmen, erhalten wir die Matrix, deren Orthogonalit\u00e4t wir im Abschnitt \u201eBeispiel einer orthogonalen 2\u00d72-Matrix\u201c \u00fcberpr\u00fcft haben: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a331cab64745933f7c8a5009c799be6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle M_1 \\left(\\theta =\\frac{\\pi}{2}\\right)=\\begin{pmatrix} \\cos \\cfrac{\\pi}{2} &amp;\\sin \\cfrac{\\pi}{2} \\\\[4ex] -\\sin \\cfrac{\\pi}{2} &amp; \\cos \\cfrac{\\pi}{2} \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} \\vphantom{\\frac{\\pi}{2}}0 &amp;1 \\\\[2ex]\\vphantom{\\frac{\\pi}{2}} -1 &amp; 0 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"366\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Orthogonale Matrixeigenschaften<\/h2>\n<p> Die Merkmale dieses Matrixtyps sind:<\/p>\n<ul>\n<li> Eine orthogonale Matrix kann niemals eine <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/singulare-oder-entartete-matrix\/\">singul\u00e4re Matrix<\/a> sein, da sie immer invertiert werden kann. In diesem Sinne ist die Umkehrung einer orthogonalen Matrix eine andere orthogonale Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Jede orthogonale Matrix kann diagonalisiert werden. Wir sagen dann, dass orthogonale Matrizen <em>orthogonal diagonalisierbar sind.<\/em><\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Alle Eigenwerte oder Eigenwerte einer orthogonalen Matrix haben einen Modul gleich 1.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Jede orthogonale Matrix, die nur aus reellen Zahlen besteht, ist auch eine Normalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Das Analogon der orthogonalen Matrix in einer Umgebung mit komplexen Zahlen ist die Einheitsmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Offensichtlich ist die Identit\u00e4tsmatrix eine orthogonale Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Die Menge der orthogonalen Matrizen der Dimension n \u00d7 n sowie die Operation des Matrixprodukts bilden eine Gruppe namens orthogonale Gruppe. Das hei\u00dft, das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist gleich einer anderen orthogonalen Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Dar\u00fcber hinaus kann das Ergebnis der Multiplikation einer orthogonalen Matrix mit ihrer Transponierten durch das Kronecker-Delta ausgedr\u00fcckt werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d0922008f857f33f46de7551a8ff7cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle (A\\cdot A^{t})_{ij} = \\delta_{ij}=\\begin{cases}1 &amp; \\mbox{si }i = j, \\\\[2ex] 0 &amp; \\mbox{si }i \\ne j\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"238\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Schlie\u00dflich ist die Determinante einer orthogonalen Matrix immer +1 oder -1.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-12d5717a2cb94708642478117c7c309d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{det}(A)=\\pm 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Gel\u00f6ste \u00dcbung zu orthogonalen Matrizen<\/h2>\n<p> Anschlie\u00dfend l\u00f6sen wir eine \u00dcbung zu orthogonalen Matrizen.<\/p>\n<ul>\n<li> Ermitteln Sie anhand der folgenden quadratischen Matrix der Ordnung 3 die Werte von\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> um es orthogonal zu machen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-892ca58ec5cd36060396cb566902d65d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{1}{3}\\begin{pmatrix}a&amp;a&amp;1\\\\[1.1ex] b&amp;1&amp;b\\\\[1.1ex] 1&amp;a&amp;a\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"140\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit die Orthogonalit\u00e4t der Matrix erf\u00fcllt ist, muss das Produkt der Matrix mit ihrer Transponierten gleich der Identit\u00e4tsmatrix sein. ALSO:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-301d774ec2d0663c858c91e548000749_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t = I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"78\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2dc9ef8c514302f183ca66626cabc1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{3}\\begin{pmatrix}a&amp;a&amp;1\\\\[1.1ex] b&amp;1&amp;b\\\\[1.1ex] 1&amp;a&amp;a\\end{pmatrix} \\cdot \\frac{1}{3}\\begin{pmatrix}a&amp;b&amp;1\\\\[1.1ex] a&amp;1&amp;a\\\\[1.1ex] 1&amp;b&amp;a\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;1&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"334\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir multiplizieren die Matrizen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18a21a22f3cc9747c310d271c3fe4c5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{9}\\begin{pmatrix}2a^2+1&amp;ab+a+b&amp;2a+a^2\\\\[1.5ex] ab+a+b&amp;2b^2+1&amp;b+a+ab\\\\[1.5ex] 2a+a^2&amp;b+a+ab&amp;1+2a^2\\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\\\[1.5ex] 0&amp;1&amp;0\\\\[1.5ex] 0&amp;0&amp;1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"87\" width=\"418\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir k\u00f6nnen nun eine Gleichung aus der oberen linken Ecke der Matrizen erhalten, da die Elemente an dieser Position \u00fcbereinstimmen m\u00fcssen. Noch: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a4d0f699410c3a7de5d6af181073f8e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{9}(2a^2+1) = 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-119\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Wir l\u00f6sen die Gleichung und eliminieren die Unbekannte: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c6700a19d58afe1d84668664734ef725_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 2a^2+1 = 9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2007d061c6ecfda4deef22882bfce17_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 2a^2 = 8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"59\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fd565f4a4ab39908601493ada1575cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle a^2 = 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f617bc4be3760ed1e13564672a4b6ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{a = \\pm 2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"55\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Allerdings gibt es Gleichungen, die mit der positiven L\u00f6sung nicht zutreffen, zum Beispiel die in der oberen rechten Ecke. Es <strong>ist also nur die negative L\u00f6sung m\u00f6glich<\/strong> .<\/p>\n<p> Andererseits, um die Variable zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Wir k\u00f6nnen beispielsweise die Begriffe in der zweiten Zeile der ersten Spalte zuordnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-16d30b554d24bd4b8a00b156ed1503d0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{9}(ab+a+b) = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe062334bff68f2ba70f0f025d2a2d9c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle ab+a+b = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Durch Ersetzen des Wertes von<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in der Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8e6825541c5d7e2a12df99d9dc7b3b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -2b-2+b = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a13af6b471ccdb2e6804fc02b87abc4f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -b =2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27e8de15a4a0f239878f4cc4f5b8db24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{b =-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt, die einzig m\u00f6gliche L\u00f6sung ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70dc1f4331f63bff4d12f4bad8ef34e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{a=b =-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"86\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die orthogonale Matrix, die diesen Werten entspricht, ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb7e7a27658da85f7b0d16b17f1f0815_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\frac{1}{3}\\begin{pmatrix}-2&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] -2&amp;1&amp;-2\\\\[1.1ex] 1&amp;-2&amp;-2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"179\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Anwendungen orthogonaler Matrizen<\/h2>\n<p> Auch wenn es nicht so scheint, weil sie normalerweise eine sehr einfache Form haben, sind orthogonale Matrizen in der Mathematik, insbesondere im Bereich der linearen Algebra, sehr wichtig.<\/p>\n<p> In der Geometrie stellen orthogonale Matrizen isometrische Transformationen (die Abst\u00e4nde und Winkel nicht \u00e4ndern) in realen Vektorr\u00e4umen dar, weshalb sie orthogonale Transformationen genannt werden. Dar\u00fcber hinaus handelt es sich bei diesen Transformationen um interne Isomorphismen des betrachteten Vektorraums. Diese Transformationen k\u00f6nnen <strong>Rotationen<\/strong> , <strong>Spiegelreflexionen<\/strong> oder <strong>Inversionen<\/strong> sein.<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich wird diese Art von Matrix auch in der Physik verwendet, da sie die Untersuchung der Bewegung starrer K\u00f6rper erm\u00f6glicht. Und sie werden sogar bei der Formulierung bestimmter Feldtheorien verwendet.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was orthogonale Matrizen sind und welche Beziehung sie zur Umkehrung einer Matrix haben. Sie werden auch einige Beispiele sehen, um es perfekt zu verstehen. Dar\u00fcber hinaus bringen wir Ihnen die Formel zur \u00dcberpr\u00fcfung jeder orthogonalen Matrix bei, mit der Sie schnell eine finden k\u00f6nnen. 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