{"id":333,"date":"2023-07-06T06:35:36","date_gmt":"2023-07-06T06:35:36","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/berechnen-sie-eigenwerte-eigenwerte-und-eigenvektoren-eigenvektoren-einer-matrix\/"},"modified":"2023-07-06T06:35:36","modified_gmt":"2023-07-06T06:35:36","slug":"berechnen-sie-eigenwerte-eigenwerte-und-eigenvektoren-eigenvektoren-einer-matrix","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/berechnen-sie-eigenwerte-eigenwerte-und-eigenvektoren-eigenvektoren-einer-matrix\/","title":{"rendered":"Eigenwerte (oder eigenwerte) und eigenvektoren (oder eigenvektoren) einer matrix"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was Eigenwerte und Eigenvektoren sind, auch Eigenwerte bzw. Eigenvektoren genannt. Au\u00dferdem finden Sie Beispiele zur Berechnung sowie Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungsaufgaben zum \u00dcben.<\/p>\n

Was ist ein Eigenwert und ein Eigenvektor?<\/h2>\n

Obwohl der Begriff Eigenwert und Eigenvektor schwer zu verstehen ist, lautet seine Definition wie folgt: <\/p>\n

\n

Eigenvektoren oder Eigenvektoren<\/strong> sind die Nicht-Null-Vektoren einer linearen Karte, die bei ihrer Transformation ein skalares Vielfaches davon ergeben (sie \u00e4ndern ihre Richtung nicht). Dieser Skalar ist der Eigenwert oder Eigenwert<\/strong> .<\/p>\n<\/p>\n

\"Av<\/p>\n<\/p>\n

Gold<\/p>\n<\/p>\n

\"A\"<\/p>\n

ist die Matrix der linearen Karte,<\/p>\n

\"v\"<\/p>\n

ist der Eigenvektor und<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

eigenen Wert.<\/p>\n<\/div>\n

Der Eigenwert wird auch als charakteristischer Wert bezeichnet. Und es gibt sogar Mathematiker, die die deutsche Wurzel \u201eeigen\u201c verwenden, um Eigenwerte und Eigenvektoren zu bezeichnen: Eigenwerte<\/em> f\u00fcr Eigenwerte und Eigenvektoren<\/em> f\u00fcr Eigenvektoren.<\/p>\n

Wie berechnet man die Eigenwerte (oder Eigenwerte) und die Eigenvektoren (oder Eigenvektoren) einer Matrix?<\/h2>\n

Um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix zu finden, muss man einem ganzen Verfahren folgen:<\/p>\n

    \n
  1. \n
  2. Die charakteristische Gleichung der Matrix wird durch L\u00f6sen der folgenden Determinante berechnet:<\/span><\/li>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

  3. Wir finden die Wurzeln des in Schritt 1 erhaltenen charakteristischen Polynoms. Diese Wurzeln sind die Eigenwerte der Matrix.<\/span><\/li>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

  4. Der Eigenvektor jedes Eigenwerts wird berechnet. Dazu wird f\u00fcr jeden Eigenwert das folgende Gleichungssystem gel\u00f6st:<\/span><\/li>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n<\/ol>\n

    Dies ist die Methode zum Finden der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix, aber hier geben wir Ihnen auch einige Tipps: \ud83d\ude09 <\/p>\n

    \n

    Tipps<\/strong> : Wir k\u00f6nnen die Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren nutzen, um sie einfacher zu berechnen:<\/p>\n

    \u2713<\/span><\/strong> Die Spur der Matrix (Summe ihrer Hauptdiagonalen) ist gleich der Summe aller Eigenwerte.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \u2713<\/span><\/strong> Das Produkt aller Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \u2713<\/span><\/strong> Liegt eine Linearkombination zwischen Zeilen oder Spalten vor, ist mindestens ein Eigenwert der Matrix gleich 0.<\/p>\n<\/div>\n

    Sehen wir uns ein Beispiel an, wie die Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix berechnet werden, um die Methode besser zu verstehen:<\/p>\n

    Beispiel f\u00fcr die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix:<\/h2>\n