{"id":331,"date":"2023-07-06T06:56:27","date_gmt":"2023-07-06T06:56:27","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/jakobische-matrix-jakobisch\/"},"modified":"2023-07-06T06:56:27","modified_gmt":"2023-07-06T06:56:27","slug":"jakobische-matrix-jakobisch","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/jakobische-matrix-jakobisch\/","title":{"rendered":"Jacobi- und jacobi-matrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was die Jacobi-Matrix ist und wie Sie sie anhand eines Beispiels berechnen. Dar\u00fcber hinaus stehen Ihnen mehrere gel\u00f6ste \u00dcbungen zu Jacobi-Matrizen zum \u00dcben zur Verf\u00fcgung. Sie werden auch sehen, warum die Determinante der Jacobi-Matrix, die Jacobi-Matrix, so wichtig ist. Abschlie\u00dfend erl\u00e4utern wir die Beziehungen, die diese Matrix zu anderen Vorg\u00e4ngen und den darin enthaltenen Anwendungen unterh\u00e4lt.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist die Jacobi-Matrix?<\/h2>\n<p> Die Definition der Jacobi-Matrix lautet wie folgt:<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> Die <strong>Jacobi-Matrix<\/strong> ist eine Matrix, die durch partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion gebildet wird.<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr die Jacobi-Matrix lautet daher wie folgt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-jacobienne.webp\" alt=\"Jacobi-Matrixformel\" class=\"wp-image-2796\" width=\"477\" height=\"397\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Daher haben Jacobi-Matrizen immer so viele Zeilen wie Skalarfunktionen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2cded1f0c41f6c4f73404951209deec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(f_1,f_2,\\ldots ,f_m)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> haben die Funktion und die Anzahl der Spalten entspricht der Anzahl der Variablen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acf6e9bb52e3b1715802a12e9b93d938_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x_1, x_2, \\ldots , x_n).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits wird diese Matrix auch als <em>Jacobi-Differenzialkarte<\/em> oder <em>Jacobi-Linearkarte<\/em> bezeichnet. Tats\u00e4chlich wird es manchmal auch mit dem Buchstaben D statt mit dem Buchstaben J geschrieben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a754eb7ba76edc6a0057255d4b17792c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f = D_f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurioserweise ist die Jacobi-Matrix nach Carl Gustav Jacobi benannt, einem bedeutenden Mathematiker und Professor des 19. Jahrhunderts, der wichtige Beitr\u00e4ge zur Welt der Mathematik leistete, insbesondere auf dem Gebiet der linearen Algebra.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel f\u00fcr die Berechnung der Jacobi-Matrix<\/h2>\n<p> Sobald wir das Konzept der Jacobi-Matrix kennengelernt haben, werden wir anhand eines Beispiels Schritt f\u00fcr Schritt sehen, wie sie berechnet wird:<\/p>\n<ul>\n<li> Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix am Punkt (1,2) der folgenden Funktion:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0fc87451aa9fbec94159b7a916880c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x,y)= (x^4 +3y^2x \\ , \\ 5y^2-2xy+1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"290\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Als Erstes m\u00fcssen wir alle partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion berechnen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dec527bbc6852cbe54551e96000f8357_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f_1}{\\partial x} = 4x^3+3y^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65bf87809e33a1ea0113f875bf6d1187_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f_1}{\\partial y} = 6yx\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"79\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c8ed9d5e68e04f45efe36891a22c088_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x} = -2y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20a7a54e9162f3f423056d0638effb9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial y} = 10y-2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jetzt wenden wir die Jacobi-Matrixformel an. In diesem Fall hat die Funktion zwei Variablen und zwei Skalarfunktionen, sodass die Jacobi-Matrix eine quadratische Matrix der Dimension 2\u00d72 ist: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-jacobienne-22152-avec-deux-variables-et-2-fonctions-scalaires-1.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-2821\" width=\"504\" height=\"124\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Sobald wir den Ausdruck f\u00fcr die Jacobi-Matrix haben, werten wir ihn bei Punkt (1,2) aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa6ed35890b94e3abe43b9a3f9674e36_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(1,2)=\\begin{pmatrix} 4\\cdot 1^3+3\\cdot 2^2 &amp; 6\\cdot 2 \\cdot 1 \\\\[3ex] -2\\cdot 2 &amp; 10\\cdot 2-2 \\cdot 1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und schlie\u00dflich f\u00fchren wir die Operationen durch und erhalten die L\u00f6sung: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-calcul-de-la-matrice-jacobienne.webp\" alt=\"Beispiel f\u00fcr die Berechnung der Jacobi-Matrix\" class=\"wp-image-2823\" width=\"209\" height=\"71\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Sobald Sie gesehen haben, wie Sie die Jacobi-Matrix einer Funktion finden, \u00fcberlassen wir Ihnen einige \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden, damit Sie \u00fcben k\u00f6nnen.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Probleme von Jacobi-Matrizen gel\u00f6st<\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Finden Sie die Jacobi-Matrix am Punkt (0,-2) der folgenden Vektorfunktion in 2 Variablen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-210a9fdec3d1430dd17f52f91fb8a5fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x,y)= (e^{xy}+y \\ , \\ y^2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Funktion hat zwei Variablen und zwei Skalarfunktionen, sodass die Jacobi-Matrix eine quadratische Matrix der Gr\u00f6\u00dfe 2\u00d72 ist: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-la-matrice-jacobienne.webp\" alt=\"Jacobi-Matrix-\u00dcbung gel\u00f6st\" class=\"wp-image-2840\" width=\"511\" height=\"124\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nachdem wir den Ausdruck f\u00fcr die Jacobi-Matrix berechnet haben, werten wir ihn am Punkt (0,-2) aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f6008d8799a0a1c3a667e958d6c8818_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(0,-2)=\\begin{pmatrix}e^{0\\cdot (-2)}\\cdot (-2)\\phantom{5} &amp; \\phantom{5}e^{0\\cdot (-2)} \\cdot 0 +1 \\\\[4ex](-2)^2 &amp; 2\\cdot (-2) \\cdot 0 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"75\" width=\"352\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich f\u00fchren wir die Operationen durch und erhalten das Ergebnis: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5eb37dc494497a424b489235b1a55a5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{J_f(0,-2)}=\\begin{pmatrix} \\bm{-2} &amp; \\bm{1} \\\\[1.5ex] \\bm{4} &amp; \\bm{0} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"166\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die Jacobi-Matrix am Punkt (2,-1) der folgenden Funktion mit 2 Variablen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf0b9acb2545e2e42f1e63a0edb5a7c8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x,y)= (x^3y^2 - 5x^2y^2 \\ , \\ y^6-3y^3x+7)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"314\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall hat die Funktion zwei Variablen und zwei Skalarfunktionen, sodass die Jacobi-Matrix eine quadratische Matrix der Ordnung 2 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48baf447fc5a448f30f13295f96cb874_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(x,y)=\\begin{pmatrix}\\cfrac{\\phantom{5}\\partial f_1}{\\partial x}\\phantom{5} &amp; \\phantom{5}\\cfrac{\\partial f_1}{\\partial y}\\phantom{5} \\\\[3ex] \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x} &amp; \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial y}\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}}3x^2y^2-10xy^2&amp; 2x^3y-10x^2y \\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} -3y^3 &amp; 6y^5-9y^2x \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"101\" width=\"502\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Ausdruck f\u00fcr die Jacobi-Matrix gefunden haben, werten wir ihn bei Punkt (2,-1) aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f2ee2de8e72eed6956f784628353547_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(2,-1)=\\begin{pmatrix} 3\\cdot 2^2\\cdot (-1)^2-10\\cdot 2 \\cdot (-1)^2\\phantom{5} &amp; \\phantom{5}2\\cdot 2^3\\cdot (-1)-10\\cdot 2^2\\cdot (-1) \\\\[4ex] -3(-1)^3 &amp; 6\\cdot (-1)^5-9\\cdot (-1)^2\\cdot 2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"74\" width=\"573\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich f\u00fchren wir die Operationen durch und erhalten das Ergebnis: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7935318698eadf3d3af4f87e6e8f2629_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{J_f(1,2)}=\\begin{pmatrix} \\bm{-8} &amp; \\bm{24} \\\\[1.5ex] \\bm{3} &amp; \\bm{-24} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"175\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix am Punkt (2,-2,2) der folgenden Funktion mit 3 Variablen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d63b0e9c8ecd37b9f100a46233ef9d48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x,y,z)= \\left(z\\tan (x^2-y^2) \\ , \\ xy\\ln \\left( \\frac{z}{2} \\right)\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"313\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall hat die Funktion drei Variablen und zwei Skalarfunktionen, daher ist die Jacobi-Matrix eine rechteckige Matrix der Dimension 2\u00d73: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b327537a2e4c80c7eb38d56d94bb141_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(x,y,z)= \\begin{pmatrix}\\cfrac{\\phantom{5}\\partial f_1}{\\partial x}\\phantom{5} &amp; \\phantom{5}\\cfrac{\\partial f_1}{\\partial y}\\phantom{5} &amp; \\phantom{5}\\cfrac{\\partial f_1}{\\partial z}\\phantom{5} \\\\[3ex] \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x} &amp; \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial y} &amp;\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial z}\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"101\" width=\"297\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-de-la-matrice-jacobienne-resolu-avec-3-variables.webp\" alt=\"Jacobi-Matrix gel\u00f6ste Aufgabe von 3 Variablen\" class=\"wp-image-2870\" width=\"798\" height=\"121\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Ausdruck f\u00fcr die Jacobi-Matrix haben, werten wir ihn am Punkt (2,-2,2) aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a62dd1b4655e9d089404028ec48fbe11_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(2,-2,2)= \\begin{pmatrix} \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}}2\\bigl(1+\\tan^2 (2^2-(-2)^2)\\bigr) \\cdot 2\\cdot 2 &amp; 2\\bigl(1+\\tan^2 (2^2-(-2)^2)\\bigr) \\cdot (-2\\cdot (-2)) &amp; \\tan (2^2-(-2)^2)\\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} \\displaystyle -2\\ln \\left( \\frac{2}{2} \\right) &amp; \\displaystyle 2\\ln \\left( \\frac{2}{2} \\right) &amp;\\displaystyle \\frac{2\\cdot (-2)}{2} \\right)\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"106\" width=\"804\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir f\u00fchren die Berechnungen durch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05c8aaa8cca0f4cb652c95b11d2e9db1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(2,-2,2)= \\begin{pmatrix} \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}}2\\bigl(1+\\tan^2 (0)\\bigr) \\cdot 4 \\phantom{5} &amp; 2\\bigl(1+\\tan^2 (0)\\bigr) \\cdot 4 &amp; \\phantom{5}\\tan (0)\\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} -2\\cdot 0 &amp;  2\\cdot 0 &amp;-2 \\right)\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"95\" width=\"506\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir machen weiter, bis es nicht mehr vereinfacht werden kann: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2b4fda9837a6287456ca469d46a2382_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{J_f(2,-2,2)=} \\begin{pmatrix}\\bm{8} &amp; \\bm{8} &amp; \\bm{0} \\\\[2ex]   \\bm{0} &amp; \\bm{0} &amp;\\bm{-2} \\right)\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"64\" width=\"208\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix an diesem Punkt<strong> <\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-636bdeb4752c0344a75d5969fb84917a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\pi, \\pi)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p>der folgenden multivariablen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9b36f1402d71e330215cbee0169a58f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x,y)= \\left( \\frac{\\cos (x-y)}{x} \\ , \\ e^{x^2-y^2} \\ , \\ x^3\\sin (2y) \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"343\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall hat die Funktion zwei Variablen und drei Skalarfunktionen, daher ist die Jacobi-Matrix eine rechteckige Matrix der Dimension 3\u00d72: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-etape-par-etape-de-jacobian-matrix-32152-1.webp\" alt=\"\u00dcbung Schritt f\u00fcr Schritt zur Jacobi-Matrix gel\u00f6st\" class=\"wp-image-2886\" width=\"704\" height=\"192\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Ausdruck f\u00fcr die Jacobi-Matrix haben, werten wir ihn auf den Punkt aus <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbf56ffad010b2211cd457a72a08d870_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\pi, \\pi):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"51\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-167caa7a7d1cb34db33f7b92e21b5f78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(\\pi,\\pi)= \\begin{pmatrix} \\displaystyle \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_3}{\\partial y}}\\frac{-\\sin(\\pi-\\pi)\\pi-\\cos(\\pi-\\pi)}{\\pi^2} &amp; \\displaystyle\\frac{\\sin (\\pi- \\pi)}{\\pi} \\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_3}{\\partial y}}2\\pi e^{\\pi^2-\\pi^2} &amp; -2\\pi e^{\\pi^2-\\pi^2} \\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_3}{\\partial y}} 3\\pi^2\\sin(2\\pi) &amp; \\pi^3 \\cos(2\\pi)\\cdot 2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"159\" width=\"440\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir f\u00fchren die Operationen durch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b05c5bfee3f874f3adec324a6bc9b43e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(\\pi,\\pi)= \\begin{pmatrix} \\displaystyle \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_3}{\\partial y}}\\displaystyle\\frac{-0-1}{\\pi^2} &amp; \\displaystyle\\frac{0}{\\pi} \\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_3}{\\partial y}}2\\pi e^{0} &amp; -2\\pi e^{0} \\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_3}{\\partial y}} 3\\pi^2\\cdot 0 &amp; \\pi^3 \\cdot 1 \\cdot 2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"159\" width=\"246\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Somit hat die Jacobi-Matrix der Vektorfunktion am betrachteten Punkt den Wert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4addee61e4664b95dbb049be217af34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{J_f(\\pi,\\pi)=} \\begin{pmatrix}\\displaystyle -\\frac{\\bm{1}}{\\bm{\\pi^2}} &amp; \\bm{0} \\\\[3ex] \\bm{2\\pi} &amp; \\bm{-2\\pi}\\\\[3ex]\\bm{0} &amp; \\bm{2\\pi^3} \\right)\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"119\" width=\"195\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die Jacobi-Matrix an diesem Punkt<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31e57c38165a2810230c0ca075aefde9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(3,0,\\pi)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"56\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> der folgenden Funktion mit 3 Variablen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7841aa7ac90f968d460391c8d1529ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x,y,z)= \\left(xe^{2y}\\cos(-z) \\ , \\ (y-2)^3\\cdot \\sin\\left(\\frac{z}{2}\\right)  \\ , \\ e^{2y}\\cdot \\ln\\left(\\frac{x}{3}\\right) \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"472\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall besteht die Funktion aus drei Variablen und drei Skalarfunktionen, daher ist die Jacobi-Matrix eine quadratische Matrix der Dimension 3\u00d73: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfd9dcbb1d4961906d5b8581f70f5392_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(x,y,z)=\\begin{pmatrix}\\phantom{5}\\cfrac{\\partial f_1}{\\partial x}\\phantom{5} &amp; \\phantom{5}\\cfrac{\\partial f_1}{\\partial y}\\phantom{5} &amp; \\phantom{5}\\cfrac{\\partial f_1}{\\partial z}\\phantom{5} \\\\[3ex] \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x} &amp; \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial y} &amp; \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial z} \\\\[3ex] \\cfrac{\\partial f_3}{\\partial x} &amp; \\cfrac{\\partial f_3}{\\partial y} &amp; \\cfrac{\\partial f_3}{\\partial z}\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"161\" width=\"297\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-la-matrice-jacobienne-32153-avec-3-variables.webp\" alt=\"Gel\u00f6ste \u00dcbung einer 3x3-Jacobian-Matrix mit 3 Variablen\" class=\"wp-image-2937\" width=\"629\" height=\"191\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir die Jacobi-Matrix gefunden haben, werten wir sie an diesem Punkt aus <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-696ca943dc60b9e55cbc96d72e3c0c19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(3,0,\\pi):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f56df32b7632d1e74f014f0aab2b52a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(3,0,\\pi)= \\begin{pmatrix} \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} e^{2\\cdot 0}\\cos(-\\pi) &amp; 2\\cdot 3e^{2\\cdot 0}\\cos(-\\pi) &amp; 3e^{2\\cdot 0}\\sin(-\\pi) \\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} 0 &amp; \\displaystyle 3(0-2)^2\\cdot \\sin\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) &amp; \\displaystyle\\frac{1}{2}(0-2)^3\\cdot \\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)\\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}}\\displaystyle\\frac{e^{2\\cdot 0}}{3} &amp;\\displaystyle 2e^{2\\cdot 0}\\cdot \\ln\\left(\\frac{3}{3}\\right) &amp; 0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"162\" width=\"542\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen die Operationen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5771c5e1c54eabf6df6633abd5f3e194_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(3,0,\\pi)= \\begin{pmatrix} \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} 1\\cdot (-1) &amp; 6\\cdot 1\\cdot (-1) &amp; 3\\cdot 1 \\cdot 0 \\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} 0 &amp; \\displaystyle 3\\cdot 4 \\cdot 1 &amp; \\displaystyle\\frac{1}{2}\\cdot (-8)\\cdot 0\\\\[3ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}}\\displaystyle\\frac{1}{3} &amp;\\displaystyle 2\\cdot 1\\cdot  0 &amp; 0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"159\" width=\"380\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und das Ergebnis der Jacobi-Matrix an diesem Punkt ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6dc1884b96ce985e1475c5cfcba2fff8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{J_f(3,0,\\pi)=} \\begin{pmatrix} \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} \\bm{-1} &amp; \\bm{-6} &amp; \\phantom{-}\\bm{0} \\\\[2ex]  \\bm{0} &amp; \\bm{12} &amp; \\displaystyle \\bm{0} \\\\[2ex] \\displaystyle \\frac{\\bm{1}}{\\bm{3}} &amp;\\bm{0}&amp; \\bm{0}\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"121\" width=\"224\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Determinante der Jacobi-Matrix: die Jacobi-Matrix<\/h2>\n<p> Die Determinante der Jacobi-Matrix wird <strong>Jacobi-<\/strong> Determinante oder Jacobi-Matrix genannt. Es muss ber\u00fccksichtigt werden, dass die Jacobi-Matrix nur berechnet werden kann, wenn die Funktion die gleiche Anzahl an Variablen wie die Skalarfunktionen hat, da die Jacobi-Matrix dann die gleiche Anzahl an Zeilen wie Spalten hat und daher ein Quadrat ist Matrix. .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Jacobi-Beispiel<\/h3>\n<p> Sehen wir uns ein Beispiel f\u00fcr die Berechnung der Jacobi-Determinante einer Funktion mit zwei Variablen an:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a23f671a7521885bf05872fbc353e7fe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x,y)= (x^2-y^2 \\ , \\ 2xy)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen zun\u00e4chst die Jacobi-Matrix der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5870e75f368ea3e554b2fa32cfa554dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(x,y)=\\begin{pmatrix}\\cfrac{\\phantom{5}\\partial f_1}{\\partial x}\\phantom{5} &amp; \\phantom{5}\\cfrac{\\partial f_1}{\\partial y}\\phantom{5} \\\\[3ex] \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x} &amp; \\cfrac{\\partial f_2}{\\partial y}\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}}2x \\phantom{5}&amp; -2y \\\\[2ex] \\vphantom{\\cfrac{\\partial f_2}{\\partial x}} 2y &amp; 2x \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"101\" width=\"349\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und jetzt l\u00f6sen wir die Determinante der 2\u00d72-Matrix:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d1ef9df1d4735e3cea235c653714439_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{det}\\bigl(J_f(x,y)\\bigr) =\\begin{vmatrix} 2x&amp;-2y \\\\[2ex] 2y &amp; 2x \\end{vmatrix} = \\bm{4x^2+4y^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"300\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Die Jacobi-Funktion und die Umkehrbarkeit einer Funktion<\/h2>\n<p> Nachdem Sie nun das Konzept des Jakobianers kennengelernt haben, haben Sie sich wahrscheinlich gefragt: Nun, was ist der Sinn?<\/p>\n<p> Nun, die Hauptanwendung des Jacobi-Algorithmus besteht darin, zu bestimmen, ob eine Funktion umgekehrt werden kann. Der <strong>Umkehrfunktionssatz<\/strong> besagt, dass, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix (die Jacobi-Matrix) von 0 verschieden ist, dies bedeutet, dass diese Funktion invertierbar ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d719077544284d291fe9faf0fbf0a099_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{det}\\bigl(J_f\\bigr) \\neq 0 \\ \\longrightarrow \\ \\exists \\ f^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Es ist zu beachten, dass diese Bedingung notwendig, aber nicht ausreichend ist. Das hei\u00dft, wenn die Determinante ungleich Null ist, k\u00f6nnen wir behaupten, dass die Matrix invertiert werden kann. Wenn die Determinante jedoch 0 ist, k\u00f6nnen wir nicht wissen, ob die Funktion hat eine Umkehrung oder Nr.<\/p>\n<p> In dem zuvor gezeigten Beispiel, wie man die Jacobi-Funktion einer Funktion ermittelt, gibt beispielsweise die Determinante an<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2387cef5f9f9d4963e2e311bd672bfd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4x^2+4y^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> . In diesem Fall k\u00f6nnen wir behaupten, dass die Funktion immer umgekehrt werden kann, au\u00dfer am Punkt (0,0), da dieser Punkt der einzige ist, an dem die Jacobi-Determinante gleich Null ist und wir daher nicht wissen, ob die Umkehrfunktion vorliegt existiert in diesem Punkt. <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-119\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beziehung der Jacobi-Matrix zu anderen Operationen<\/h2>\n<p> Die Jacobi-Matrix h\u00e4ngt mit dem Gradienten und der Hesse-Matrix einer Funktion zusammen:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Neigung<\/h3>\n<p> Wenn die Funktion eine Skalarfunktion ist, ist die Jacobi-Matrix eine Zeilenmatrix, die dem <strong>Gradienten<\/strong> entspricht: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c493f1d8b149a2ed4710288031d7be71_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-278699b80ce58cadb5c056b945483637_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f = \\nabla f = \\begin{pmatrix}\\phantom{5} \\cfrac{\\partial f}{\\partial x_1} \\phantom{5}&amp; \\cfrac{\\partial f}{\\partial x_2}&amp; \\dots &amp; \\cfrac{\\partial f}{\\partial x_n}\\phantom{5} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"304\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Hessische Matrix<\/h3>\n<p> Die Jacobi-Matrix des Gradienten einer Funktion ist gleich der <strong>Hesse-Matrix<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96ab1054f3c447eedac17f9ce04b4606_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle H_f = J(\\nabla f)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Hesse-Matrix ist eine sehr wichtige Matrix f\u00fcr die Ableitung von Funktionen mit mehr als einer Variablen, da sie durch die zweiten Ableitungen der Funktion gebildet wird. Tats\u00e4chlich k\u00f6nnte man sagen, dass die <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/hessische-matrix-hessische-2x2-3x3\/\">Hesse-Matrix<\/a> die Kontinuit\u00e4t der Jacobi-Matrix ist. Aber es ist so wichtig, dass wir eine ganze Seite haben, die es im Detail erkl\u00e4rt. Wenn Sie also genau wissen m\u00f6chten, was diese Matrix ist und warum sie so besonders ist, k\u00f6nnen Sie auf den Link klicken.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Anwendungen der Jacobi-Matrix<\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p> Neben der N\u00fctzlichkeit, die wir von der Jacobi-Matrix gesehen haben, die bestimmt, ob eine Funktion invertierbar ist, hat die Jacobi-Matrix noch andere Anwendungen.<\/p>\n<p> Mithilfe der Jacobi-Matrix werden die <strong><span style=\"color:#1976d2;\">kritischen Punkte<\/span><\/strong> einer multivariaten Funktion berechnet, die dann \u00fcber die Hessische Matrix in Maxima, Minima oder Sattelpunkte klassifiziert werden. Um die kritischen Punkte zu finden, m\u00fcssen Sie die Jacobi-Matrix der Funktion berechnen, sie auf 0 setzen und die resultierenden Gleichungen l\u00f6sen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0c053381fc5f78d85944f3f431e5537_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle J_f(x)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dar\u00fcber hinaus findet sich eine weitere Anwendung der Jacobi-Matrix in der Integration von Funktionen mit mehr als einer Variablen, also in Doppel-, Dreifachintegralen usw. Da die Determinante der Jacobi-Matrix eine <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>Variablen\u00e4nderung in mehreren Integralen<\/strong><\/span> gem\u00e4\u00df der folgenden Formel erm\u00f6glicht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32b139ab326a616a77e4b30bd6123cea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle x=T(x^*)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc466e0a77ffd809702bfbff6981115d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\int_\\Omega  f(x)dx=\\int_{\\Omega^*} f\\bigl(T(x^*)\\bigr)\\cdot \\begin{vmatrix} \\text{det}\\bigl(JT(x^*)\\bigr)\\end{vmatrix} dx^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"352\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dabei ist T die Variablen\u00e4nderungsfunktion, die die urspr\u00fcnglichen Variablen mit den neuen verkn\u00fcpft.<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich wird die Jacobi-Matrix auch verwendet, um eine <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>lineare N\u00e4herung<\/strong><\/span> f\u00fcr jede Funktion vorzunehmen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> um einen Punkt<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bf85f1087e9fbed3a319341134ac1a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"p\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65ba36b611b690e470a1f4c464200fbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x) \\approx f(p) + J_f(p)(x-p)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was die Jacobi-Matrix ist und wie Sie sie anhand eines Beispiels berechnen. Dar\u00fcber hinaus stehen Ihnen mehrere gel\u00f6ste \u00dcbungen zu Jacobi-Matrizen zum \u00dcben zur Verf\u00fcgung. Sie werden auch sehen, warum die Determinante der Jacobi-Matrix, die Jacobi-Matrix, so wichtig ist. 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