{"id":33,"date":"2023-09-17T11:02:40","date_gmt":"2023-09-17T11:02:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-tangens\/"},"modified":"2023-09-17T11:02:40","modified_gmt":"2023-09-17T11:02:40","slug":"ableitung-des-tangens","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-tangens\/","title":{"rendered":"Ableitung der tangente"},"content":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie die Tangensfunktion abgeleitet wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele f\u00fcr die Ableitung des Tangens sehen und sogar mit \u00dcbungen \u00fcben, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Abschlie\u00dfend demonstrieren wir auch die Tangensableitungsformel und zeigen Ihnen die Umkehrtangensableitungsformel. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcual-es-la-derivada-de-la-tangente\"><\/span> Was ist die Ableitung der Tangente?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung des Tangens von x ist gleich 1 \u00fcber dem Quadrat des Kosinus von x.<\/strong> Die Ableitung des Tangens von x entspricht auch dem Quadrat der Sekante von x und 1 plus dem Quadrat des Tangens von x.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfb81626a982a908c4e517b1ecb748e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=\\text{tan}(x)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\color{black}\\\\ f'(x)=\\cfrac{1}{\\text{cos}^2(x)}=\\text{sec}^2(x)=1+\\text{tan}^2(x)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"100\" width=\"308\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Alle Ausdr\u00fccke sind \u00e4quivalent, daher gibt es f\u00fcr die Tangensfunktion drei m\u00f6gliche Formeln, um sie abzuleiten.<\/p>\n<p> Wenn wir andererseits im Tangentenargument eine Funktion haben, die sich von x unterscheidet (nennen wir sie u), m\u00fcssen wir die Kettenregel anwenden. Die Ableitung des Tangens von u ist daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ad272ab857ecf57ebc79e68a4370fc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=\\text{tan}(u)\\\\[1.5ex]\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\color{black}\\\\ f'(x)=\\cfrac{u'}{\\text{cos}^2(u)}=\\text{sec}^2(u)\\cdot u'=\\left(1+\\text{tan}^2(u)\\right)\\cdot u'\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"100\" width=\"380\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Kurz gesagt kann die Tangentenableitungsregel wie folgt zusammengefasst werden: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derivee-de-la-tangente.webp\" alt=\"Tangentenableitung\" class=\"wp-image-1929\" width=\"418\" height=\"365\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-de-la-tangente\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Tangentenableitungen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Angesichts der Formel f\u00fcr die Tangensableitung werden wir in diesem Abschnitt mehrere Beispiele dieser Art trigonometrischer Ableitungen l\u00f6sen, damit Sie verstehen, wie Sie die Tangensfunktion ableiten. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-1-derivada-de-la-tangente-de-2x\"><\/span> Beispiel 1: Ableitung des Tangens von 2x<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f238988096540344626a3079f65a0753_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die Ableitung des Tangens zu berechnen, k\u00f6nnen Sie eine der drei Formeln verwenden, die wir oben gesehen haben. In diesem Fall verwenden wir die Kosinusformel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47c1f81edd8b591f33ab986d4de73a34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}(u)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\text{cos}^2(u)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"387\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Funktion 2x ist linear, daher ist ihre Ableitung 2. Die Ableitung des Tangens von 2x ist also 2 \u00fcber dem Quadrat des Kosinus von 2x: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e18c22b2cabb93a6081363bc618840b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}(2x)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{2}{\\text{cos}^2(2x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"405\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-2-derivada-de-la-tangente-de-x-al-cuadrado\"><\/span> Beispiel 2: Ableitung des Tangens von x im Quadrat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c6defebe72239c5288ece20976d9a50_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}(x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Beispiel ist die Tangentenargumentfunktion kein x, sondern eine Funktion mit einer Ableitung. Das hei\u00dft, wir m\u00fcssen die Kettenregel anwenden, um sie abzuleiten.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47c1f81edd8b591f33ab986d4de73a34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}(u)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\text{cos}^2(u)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"387\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ableitung von x im Quadrat ist 2x, also ist die Ableitung des Tangens von x <sup>2<\/sup> : <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-111ca482f4c688c676c10b2ed80d6567_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}(x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{2x}{\\text{cos}^2(x^2)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"403\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-3-derivada-de-la-tangente-al-cubo\"><\/span> Beispiel 3: Ableitung der Tangente an den W\u00fcrfel<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a70568c32830f1f20ab7a5885bf999ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}^3(9x^2-4x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"172\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Problem haben wir eine zusammengesetzte Funktion, daher m\u00fcssen wir auch die Kettenregel verwenden, um den Tangens zu differenzieren.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47c1f81edd8b591f33ab986d4de73a34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}(u)\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{\\text{cos}^2(u)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"387\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Au\u00dferdem wird der Tangens mit 3 potenziert, was bedeutet, dass Sie vor der Anwendung der Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens die Formel f\u00fcr die Ableitung einer Potenz verwenden m\u00fcssen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-424a7372a1d97a5c17a86d6253666164_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}f'(x)&amp;=3\\text{tan}^2(9x^2-4x)\\cdot \\cfrac{18x-4}{\\text{cos}^2(9x^2-4x)} \\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{3\\text{tan}^2(9x^2-4x)\\cdot(18x-4)}{\\text{cos}^2(9x^2-4x)}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"110\" width=\"314\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivada-de-la-tangente-inversa\"><\/span> Ableitung des Umkehrtangens<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wie jede Umkehrfunktion hat auch die Tangensfunktion eine Umkehrfunktion, die Arkustangensfunktion. Obwohl die Formel zur Ableitung nicht der Tangensformel \u00e4hnelt, zeigen wir sie Ihnen, da sie in manchen F\u00e4llen n\u00fctzlich sein kann.<\/p>\n<p> Die <strong>Ableitung des Umkehrtangens<\/strong> einer Funktion ist der Quotient aus der Ableitung der Funktion dividiert durch eins plus dem Quadrat der Funktion<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d26f5f19ebcdab218e6d1924e18845f1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}^{-1}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{u'}{1+u^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"398\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ableitung des Umkehrtangens von 3x lautet beispielsweise: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdabf1792179bdd9281695a65dcd0912_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{tan}^{-1}(3x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=\\cfrac{3}{1+(3x)^2}=\\cfrac{3}{1+9x^2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"513\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-derivada-de-la-tangente\"><\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Ableitung des Tangens<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Tangensfunktionen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0c187638a259878b3cf6382751c2718_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) } f(x)=\\text{tan}(3x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"142\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-573c097d9cddb7837803e4aceaec362a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) } f(x)=\\text{tan}(x^3-10x^2+8)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"228\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e140710c7f1fea51f3fe280f30fdb1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) } \\displaystyle f(x)=\\text{tan}^2\\left(\\frac{x}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49b86302e59ffb338f425f4e5a97be89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) } f(x)=\\text{tan}\\left(e^{2x}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4af042cb47d433a0eeff44d9c5349873_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) } f(x)=\\text{tan}\\bigl(\\ln(4x)\\bigr)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21464f892729c58a42f796e0d35f6a89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{F) } f(x)=\\text{tan}\\left(\\sqrt{3x}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"159\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-240652ca6b9fbabd52d65974bf3e4793_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) } f'(x)=\\cfrac{3}{\\text{cos}^2(3x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5166bb8a8d3af33cc82165b63e2b6a52_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) } f'(x)=\\cfrac{3x^2-20x}{\\text{cos}^2(x^3-10x^2+8)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94a4f0132583e89119dae1b25be65adf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) } \\displaystyle f'(x)=2\\text{tan}\\left(\\frac{x}{2}\\right)\\cdot \\frac{1}{\\text{cos}^2\\left(\\frac{x}{2}\\right)}\\cdot \\frac{1}{2}=\\frac{\\text{tan}\\left(\\frac{x}{2}\\right)}{\\text{cos}^2\\left(\\frac{x}{2}\\right)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d4f13da08be6a975b3e8710f5aee58c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) } f'(x)=\\cfrac{2e^{2x}}{\\text{cos}^2(e^{2x})}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"160\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd7569c56712ac42fa2fe9300d9e4896_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) } f'(x)=\\cfrac{\\frac{4}{4x}}{\\text{cos}^2\\bigl(\\ln(4x)\\bigr)}=\\cfrac{1}{x\\cdot\\text{cos}^2\\bigl(\\ln(4x)\\bigr)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a51deebd15244b70a6917a9ea2a456a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{F) } f'(x)=\\cfrac{\\frac{3}{2\\sqrt{3x}}}{\\text{cos}^2\\left(\\sqrt{3x}\\right)}=\\cfrac{3}{2\\sqrt{3x}\\cdot \\text{cos}^2\\left(\\sqrt{3x}\\right)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"339\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"demostracion-de-la-derivada-de-la-tangente\"><\/span> Beweis der Ableitung der Tangente<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Damit Sie \u00fcberpr\u00fcfen k\u00f6nnen, dass es sich nicht um einen erfundenen Ausdruck handelt, demonstrieren wir in diesem Abschnitt die Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens anhand der mathematischen Definition des Tangens.<\/p>\n<p> Dazu gehen wir von der trigonometrischen Identit\u00e4t aus, die die drei trigonometrischen Verh\u00e4ltnisse verbindet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbf6d65fa67f0a2161bd99ee7431f015_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tan}(x)=\\cfrac{\\text{sen}(x)}{\\text{cos}(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn wir die <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-eines-divisionsquotienten\/\">Formel f\u00fcr die Ableitung einer Division<\/a><\/span> verwenden, w\u00e4re die Ableitung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-334dc33e2ef413b8d99dd7de50cebc74_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\left(\\text{tan}(x)\\right)'=\\left(\\frac{\\text{sen}(x)}{\\text{cos}(x)}\\right)'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"173\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b05dcbadd57bacdab9a7d4eda718e3a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tan}'(x)=\\cfrac{\\text{cos}(x)\\cdot \\text{cos}(x)+\\text{sen}(x)\\text{sen}(x) }{\\text{cos}^2(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"308\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf6fae22356a5ba2fe4f327843c0da81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tan}'(x)=\\cfrac{\\text{cos}^2(x)+\\text{sen}^2(x)}{\\text{cos}^2(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aber wenn wir die grundlegende trigonometrische Identit\u00e4t verwenden, wissen wir, dass das Quadrat des Sinus plus das Quadrat des Kosinus 1 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92d80771f891319379b2e756c5524aaf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{sen}^2(x)+\\text{cos}^2(x)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c737664b7a2ec3456d700d4939c15806_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tan}'(x)=\\cfrac{1}{\\text{cos}^2(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"136\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit sind wir bereits bei der ersten Formel f\u00fcr die Ableitung des Tangens angelangt. Dar\u00fcber hinaus ist die Sekante die multiplikative Umkehrung des Kosinus, sodass auch der zweite Ausdruck abgeleitet wird:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41f558939bb7b23e97112acb0630c4bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tan}'(x)=\\text{sec}^2(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"131\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich kann die dritte Regel der Tangensableitung bewiesen werden, indem der Bruch aus dem vorherigen Schritt in eine Summe von Br\u00fcchen umgewandelt wird: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf6fae22356a5ba2fe4f327843c0da81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tan}'(x)=\\cfrac{\\text{cos}^2(x)+\\text{sen}^2(x)}{\\text{cos}^2(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-187bc0e3bc1c35a7dfd18197b94aa845_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tan}'(x)=\\cfrac{\\text{cos}^2(x)}{\\text{cos}^2(x)}+\\cfrac{\\text{sen}^2(x)}{\\text{cos}^2(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"216\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-257a8cde825ce1b73cf5849d6a387507_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{tan}'(x)=1+\\text{tan}^2(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie die Tangensfunktion abgeleitet wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele f\u00fcr die Ableitung des Tangens sehen und sogar mit \u00dcbungen \u00fcben, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Abschlie\u00dfend demonstrieren wir auch die Tangensableitungsformel und zeigen Ihnen die Umkehrtangensableitungsformel. Was ist die Ableitung der Tangente? Die Ableitung des Tangens von x ist gleich &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-des-tangens\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Ableitung der tangente<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[],"class_list":["post-33","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivate"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>\u25b7 Ableitung des Tangens (Formel und gel\u00f6ste Aufgaben)<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Wir erkl\u00e4ren, wie man die Tangensfunktion (Formel) herleitet. 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