{"id":328,"date":"2023-07-06T07:57:24","date_gmt":"2023-07-06T07:57:24","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/formel-fur-das-produkt-der-summe-mit-der-differenz\/"},"modified":"2023-07-06T07:57:24","modified_gmt":"2023-07-06T07:57:24","slug":"formel-fur-das-produkt-der-summe-mit-der-differenz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/formel-fur-das-produkt-der-summe-mit-der-differenz\/","title":{"rendered":"Produkt der summe durch die differenz (bemerkenswerte identit\u00e4t)"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die Formel f\u00fcr das Produkt aus Summe und Differenz. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele f\u00fcr die Anwendung der Formel dieses bemerkenswerten Identit\u00e4tstyps sehen und sogar Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-producto-de-la-suma-por-la-diferencia\"><\/span> Was ist das Produkt aus Summe und Differenz?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der Mathematik bezieht sich der Begriff <strong>\u201eProdukt der Summe mit der Differenz\u201c<\/strong> auf eine der <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/identitaten,-produkte,-bemerkenswerte-gleichheiten,-geloste-ubungen\/\">bemerkenswerten Gleichheiten<\/a><\/span><\/strong> , auch bemerkenswerte Identit\u00e4ten oder bemerkenswerte Produkte genannt.<\/p>\n<p> Genauer gesagt hat der Ausdruck f\u00fcr das Produkt der Summe mit der Differenz die Form <strong>(a+b)\u00b7(ab)<\/strong> , wobei (a+b) der Summe zweier verschiedener Terme entspricht und (ab) die Differenz ist dieser beiden Begriffe. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formula-del-producto-de-la-suma-por-la-diferencia\"><\/span> Formel f\u00fcr das Produkt aus Summe und Differenz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun die mathematische Definition des Produkts aus Summe mal Differenz kennen, sehen wir uns an, welche Formel zur L\u00f6sung dieser bemerkenswerten Art von Identit\u00e4t verwendet wird: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/produit-de-la-somme-par-la-difference.png\" alt=\"Produkt der Summe mit der Differenz\" class=\"wp-image-2278\" width=\"255\" height=\"256\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Daher <strong>ist das Produkt aus der Summe mal der Differenz zweier Terme gleich der Differenz der Quadrate dieser Terme<\/strong> . Mit anderen Worten: Das Multiplizieren der Summe zweier verschiedener Terme mit der Subtraktion dieser beiden Terme ist gleichbedeutend damit, jeden der beiden Terme zu quadrieren und zu subtrahieren.<\/p>\n<p> Dies impliziert, dass <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/differenz-oder-subtraktion-von-quadraten\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Differenzen von Quadraten<\/span><\/strong><\/a> in Produkte aus Summen multipliziert mit den Differenzen faktorisiert werden k\u00f6nnen. Obwohl es Ihnen jetzt vielleicht kompliziert erscheint, erkl\u00e4ren wir auf der verlinkten Seite einen Trick, mit dem Sie diese Art von Polynom in zwei einfachen Schritten faktorisieren k\u00f6nnen. Klicken Sie sich durch und erfahren Sie, wie es geht. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-de-productos-de-sumas-por-diferencias\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Produkte von Summen durch Differenzen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir wissen, wie die Formel f\u00fcr das Produkt aus Summe und Differenz lautet, sehen wir uns als N\u00e4chstes einige gel\u00f6ste Beispiele an, damit Sie besser verstehen k\u00f6nnen, wie diese bemerkenswerte Art von Gleichheit gel\u00f6st wird.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1<\/h3>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie durch Anwendung der Formel das folgende Produkt aus der Summe und der Differenz zweier verschiedener Terme:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4306df75f7e6d774f71a001d93d0a830_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(x+2)\\cdot (x-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr das Produkt der Summe mit der Differenz lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1868f84409086d4b0b21464e4a4f207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b) =a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Als erstes m\u00fcssen wir also die Parameterwerte identifizieren<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> der Formel. In diesem Fall<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> entsprechen der Variablen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> entsprechen Nummer 2.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87b76b09924467ba75f033336e6a18e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l} (a+b)\\cdot (a-b) \\\\[2ex] (x+2)\\cdot (x-2) \\end{array} \\color{red} \\right\\} \\quad \\color{red}\\bm{\\longrightarrow}\\quad  \\color{black} \\begin{array}{c} a=x \\\\[2ex] b=2 \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"355\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und jetzt wissen wir, welche Werte die Parameter annehmen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a521efcd0a946cd643aebe98b5b41a3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"12\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Wir k\u00f6nnen die Formel f\u00fcr das Produkt der Summe mit der Differenz anwenden:<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><\/figure>\n<\/div>\n<p>Wie Sie sehen, ergibt das Produkt einer Summe mit einer Differenz immer einen negativen Term. Dies sollte jedoch nicht mit der bemerkenswerten Identit\u00e4t des Quadrats einer Subtraktion verwechselt werden. Wenn Sie irgendwelche Zweifel haben, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf die <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/quadrat-einer-differenz-oder-subtraktion\/\">Formel f\u00fcr das Quadrat einer Differenz<\/a><\/span><\/strong> zu werfen. Dort erfahren Sie auch, was die Unterschiede zwischen diesen beiden bemerkenswerten Identit\u00e4ten sind<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 2<\/h3>\n<ul>\n<li> Finden Sie mithilfe der Formel das folgende Produkt aus der Summe und der Differenz zweier Binomiale:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-186f562faed63e636884263f5854f0e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(3x+5)\\cdot (3x-5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"138\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Formel f\u00fcr das Produkt der Summe mit der Differenz lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1868f84409086d4b0b21464e4a4f207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b) =a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher in diesem Fall<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-723d3ff64e92fa43145366202ce30f60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a=3x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b41cd8020624a683feb6c7e88b71c9ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> . Wenn wir also die Formel \u201eSumme durch Differenz\u201c anwenden, erhalten wir den folgenden algebraischen Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fffde1dd457ab276c3d53e1d1e23616d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(3x+5)\\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"330\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 3<\/h3>\n<ul>\n<li> L\u00f6sen Sie mit der Formel das folgende Produkt der Summe durch die Differenz zweier Monome:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-409155e85d07804a9333bd48429940ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(4x-2y)\\cdot (4x+2y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"156\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da die Multiplikation die kommutative Eigenschaft hat, ist die Multiplikation zuerst der Differenz und dann der Summe zweier Gr\u00f6\u00dfen gleichbedeutend mit der umgekehrten Multiplikation derselben Klammern.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-583e6cc781617efdb7061c82ae11ec0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(4x-2y)\\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\\cdot (4x-2y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"338\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Obwohl in diesem Fall das Produkt umgekehrt ist, d. h. bevor die Addition die Subtraktion ist, bleibt das Ergebnis dasselbe wie die Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1868f84409086d4b0b21464e4a4f207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b) =a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72246fd1126cb58a3fb86376fba4f0d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a-b)\\cdot (a+b) =a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Also in diesem Problem<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5231d0029f85ab0321bb3d4b9e25ec80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a=4x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"52\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3fbd7a3d02814e8c9770e23ece10400_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b=2y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> . Und wenn wir den Wert jeder Unbekannten identifiziert haben, k\u00f6nnen wir die Formel verwenden, um das bemerkenswerte Produkt zu berechnen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ff47675eb3b0a4db49ff32ebe471744_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(4x-2y)\\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"389\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Demostracion-de-la-formula-de-la-suma-por-la-diferencia\"><\/span> Demonstration der Formel \u201eSumme durch Differenz\u201c.<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Formel \u201eSumme mal Differenz\u201c, die wir gerade untersucht haben, l\u00e4sst sich leicht demonstrieren.<\/p>\n<p> Wenn wir vom Produkt einer Summe durch Subtraktion zweier beliebiger Terme ausgehen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-226e878dd6855cddf50e1bd6eeed0eab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Multiplizieren Sie einfach die erste Klammer mit der zweiten Klammer unter Verwendung der Verteilungseigenschaft:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-346d3d7ca4da1e71fad52c84a33ef4fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}(a+b)\\cdot (a-b)= \\\\[2ex] = a\\cdot a +a\\cdot (-b) +b \\cdot a +b\\cdot (-b) =\\\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"91\" width=\"276\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und indem wir \u00e4hnliche Begriffe zusammenfassen, kommen wir zu folgendem Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc83a078573a59dfd63c1a7cdad77e01_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher wird die Formel f\u00fcr das bemerkenswerte Summe-Differenz-Produkt abgeleitet: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1868f84409086d4b0b21464e4a4f207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(a+b)\\cdot (a-b) =a^2-b^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-del-producto-de-la-suma-por-diferencia\"><\/span> Gel\u00f6ste Aufgaben zum Produkt aus Summe und Differenz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Im Folgenden haben wir mehrere Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zur Addition durch Differenzen vorbereitet, damit Sie sie \u00fcben k\u00f6nnen. Die \u00dcbungen sind von der geringsten bis zur h\u00f6chsten Schwierigkeit geordnet. Wir empfehlen daher, mit 1 zu beginnen, mit 2 fortzufahren und schlie\u00dflich 3 zu machen, die am schwierigsten ist.<\/p>\n<p> \u2b07\u2b07Vergessen Sie auch nicht, dass Sie uns alle aufkommenden Fragen in den Kommentaren hinterlassen k\u00f6nnen!\u2b07\u2b07<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die folgenden Summenprodukte durch Differenzen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a101dc0bb3e2ab901e5a441cdb22369_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ (x+5)(x-5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a3cc5a2bfc3829e05fbf0cc6fd4dea9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ (2x+6)(2x-6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b3b43f8e1142337f367f44c27632578_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ (x+7)(x-7)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80db9b8cb45a16f2c4b4dd810f0ef940_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ (x-4y)(x+4y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9857bf825403b9bb0b16fe08f338ac4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\\\[2ex] =x^2-5^2=\\\\[2ex] = \\bm{x^2-25}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"167\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b16ddf395da600fb7bc3b5d62a328d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\\\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\\\[2ex] = \\bm{4x^2-36}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"184\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7109d4edfb32c8d194a747f30f23de59_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\\\[2ex] =x^2-7^2=\\\\[2ex] = \\bm{x^2-49}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"166\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ddc7c482ee40aa839c39f218036b2ac3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\\\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\\\[2ex] = \\bm{x^2-16y^2}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"130\" width=\"204\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Dr\u00fccken Sie die folgenden Multiplikationen als Differenzen von Quadraten aus: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f11abde1a676c9efe0dee6544ec7dd35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\left(x^2+10\\right)\\left(x^2-10\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"177\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" 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alt=\"\\text{D)} \\ \\left(2x^3y+x^4y^2\\right)\\left(2x^3y-x^4y^2\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"248\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-130cd5d346f482730ecc3333446e523f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{array}{l}\\left(x^2+10\\right)\\left(x^2-10\\right) = \\\\[2ex] =\\left(x^2\\right)^2-10^2=\\\\[2ex] = \\bm{x^4-100}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"93\" width=\"208\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-789437ac865d440bbd7fdc8c3dcef649_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{array}{l}\\left(4x-5\\right)\\left(4x+5\\right) = \\\\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\\\[2ex] = \\bm{16x^2-25}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"187\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95f3d6fb4f7ec97adeefac0c98b129a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{array}{l}\\left(8x^3+y^2\\right)\\left(8x^3-y^2\\right) = \\\\[2ex] =\\left(8x^3\\right)^2-\\left(y^2\\right)^2=\\\\[2ex] = \\bm{64x^6-y^4}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"224\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cd84ca693626bc77a4a19e0c45a00caf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D)} \\ \\begin{array}{l}\\left(2x^3y+x^4y^2\\right)\\left(2x^3y-x^4y^2\\right) = \\\\[2ex] =\\left(2x^3y\\right)^2-\\left(x^4y^2\\right)^2 =\\\\[2ex] = \\bm{4x^6y^2-x^8y^4}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"279\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die folgenden bemerkenswerten Identit\u00e4ten auf: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92f6afda6cffbe29df833c7579880aef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\left(9x^3+\\sqrt{5x}\\right)\\left(9x^3-\\sqrt{5x}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"23\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3bfc1a9172f021d35179b9df54d8a126_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\displaystyle \\left(\\frac{1}{2}x^2+\\frac{5}{3}x\\right)\\left(\\frac{1}{2}x^2-\\frac{5}{3}x\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2898ec593dbaadf26cda7de0359b147e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\left(6x^4+x^2+1\\right)\\left(6x^4-x^2-1\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"255\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die erste bemerkenswerte Gleichheit zu l\u00f6sen, m\u00fcssen Sie bedenken, dass eine Quadratwurzel Folgendes vereinfacht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ab1362f27fa00986005f1065ad627537_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A)} \\ \\begin{array}{l}\\left(9x^3+\\sqrt{5x}\\right)\\left(9x^3-\\sqrt{5x}\\right) = \\\\[2ex] =\\left(9x^3\\right)^2-\\left(\\sqrt{5x}\\right)^2=\\\\[2ex] = \\bm{81x^6-5x}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"94\" width=\"258\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die beiden Monome der zweiten Differenzsumme haben gebrochene Koeffizienten, daher m\u00fcssen wir diese Aufgabe mithilfe der Eigenschaften von Br\u00fcchen l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f326d1d0330f288f08c8cf6a27ba85e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B)} \\ \\begin{array}{l}\\displaystyle \\left(\\frac{1}{2}x^2+\\frac{5}{3}x\\right)\\left(\\frac{1}{2}x^2-\\frac{5}{3}x\\right) = \\\\[4ex] \\displaystyle =\\left(\\frac{1}{2}x^2\\right)^2-\\left(\\frac{5}{3}x\\right)^2=\\\\[4ex] \\displaystyle =\\frac{1^2}{2^2}x^4-\\frac{5^2}{3^2}x^2=\\\\[4ex]\\displaystyle = \\mathbf{\\frac{1}{4}}\\bm{x^4-}\\mathbf{\\frac{25}{9}}\\bm{x^2} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"228\" width=\"263\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Schlie\u00dflich ist die letzte bemerkenswerte Gleichheit etwas Besonderes, da sie ein weiteres bemerkenswertes Produkt (das Quadrat der Summe) enth\u00e4lt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba1748a8a88df231365c5134f251038a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C)} \\ \\begin{array}{l}\\left(6x^4+x^2+1\\right)\\left(6x^4-x^2-1\\right) = \\\\[2ex] = \\left(6x^4+\\left(x^2+1\\right)\\right)\\left(6x^4-\\left(x^2+1\\right)\\right)=\\\\[2ex]=\\left(6x^4\\right)^2-\\left(x^2+1\\right)^2=\\\\[2ex] =36x^8 - \\left(x^4+2x^2+1\\right)=\\\\[2ex] = \\bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"167\" width=\"338\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die Formel f\u00fcr das Produkt aus Summe und Differenz. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele f\u00fcr die Anwendung der Formel dieses bemerkenswerten Identit\u00e4tstyps sehen und sogar Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen \u00fcben. Was ist das Produkt aus Summe und Differenz? 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Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele f\u00fcr die Anwendung der Formel dieses bemerkenswerten Identit\u00e4tstyps sehen und sogar Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen \u00fcben. Was ist das Produkt aus Summe und Differenz? 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