{"id":326,"date":"2023-07-06T08:26:38","date_gmt":"2023-07-06T08:26:38","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/"},"modified":"2023-07-06T08:26:38","modified_gmt":"2023-07-06T08:26:38","slug":"faktorsatz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/","title":{"rendered":"Faktorsatz"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was der Faktorsatz ist. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir, wof\u00fcr der Faktorsatz verwendet wird: Teilbarkeit von Polynomen, Wurzeln finden, Polynome faktorisieren usw. Abschlie\u00dfend k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zum Faktorsatz \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-teorema-del-factor\"><\/span> Was ist der Faktorsatz? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> In der Mathematik besagt der <strong>Faktorsatz<\/strong> , dass ein Polynom P(x) genau dann durch ein anderes Polynom der Form (xa) teilbar ist, wenn P(a)=0. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-des-facteurs.jpg\" alt=\"Faktorsatz\" class=\"wp-image-2179\" width=\"247\" height=\"247\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ebenso folgt aus dem Faktorsatz, dass, wenn ein Polynom P(x) durch den Term (x\u2212a) teilbar ist, dies bedeutet, dass der Wert a eine Wurzel (oder Null) des Polynoms P(x) ist ).<\/p>\n<p> Dass ein Polynom durch ein anderes teilbar ist, bedeutet, dass der Rest (oder Rest) der Division zwischen den beiden Polynomen gleich Null ist. Falls Sie sich an dieses Konzept nicht vollst\u00e4ndig erinnern, finden Sie unter dem folgenden Link <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/division-von-polynomen-beispiele-geloste-aufgaben-division\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiele f\u00fcr die Division von Polynomen<\/span><\/strong><\/a> . Dort finden Sie auch eine Erkl\u00e4rung zur Division von Polynomen und Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-del-teorema-del-factor\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Faktors\u00e4tze<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun die mathematische Definition des Faktorsatzes kennen, schauen wir uns einige Beispiele an, um zu sehen, wie er angewendet wird.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1<\/h3>\n<p> Eine Anwendung des Faktorsatzes besteht darin, herauszufinden, ob ein gegebenes Polynom durch ein <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/binome\/\">Binomial<\/a><\/span><\/strong> teilbar ist. Sehen wir uns ein Beispiel an, wie dies mit dem Faktorsatz gemacht wird:<\/p>\n<ul>\n<li> Bestimmen Sie, ob das Polynom P(x) durch das Binomial Q(x) teilbar ist, wobei beides gilt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67a5b0b8df744da98b4d71433f73c9e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^2-4x+3 \\qquad \\qquad Q(x)=x-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Erstens ist das Teilerpolynom Q(x) ein Polynom vom Typ (xa), sodass wir den Faktorsatz zur L\u00f6sung des Problems anwenden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p> Um also zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob P(x) durch Q(x) geteilt werden kann, m\u00fcssen wir den numerischen Wert des Polynoms P(x) f\u00fcr x=1 berechnen, da 1 der unabh\u00e4ngige Term des Divisionspolynoms mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen ist :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00216efc4a2e53b0b38de1175e73a5bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(1) &amp; =1^2-4\\cdot 1+3 \\\\[2ex] &amp; = 1-4+3 \\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"100\" width=\"159\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der numerische Wert des Polynoms P(x) bei x = 1 ergibt Null, sodass P(x) gem\u00e4\u00df dem Faktorsatz durch Q(x) teilbar ist, oder mit anderen Worten, der Rest der Division durch beide ist Null.<\/p>\n<p> Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob die Teilbarkeitsbedingung erf\u00fcllt ist, indem wir die beiden Polynome durch <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/regeln-geloste-beispiele-ruffini-ubungen\/\">den Satz von Ruffini<\/a><\/span><\/strong> dividieren: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-factoriel-exercices-resolus-pdf.jpg\" alt=\"Faktorsatz gel\u00f6ste \u00dcbungen PDF online\" class=\"wp-image-2189\" width=\"172\" height=\"130\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wie Sie in diesem Beispiel sehen k\u00f6nnen, ist der Faktorsatz ein Sonderfall des Restsatzes (oder Restsatzes). Ich \u00fcberlasse Ihnen diesen Artikel, der erkl\u00e4rt, was <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-ubungen-zum-restsatz-gelost\/\">der Restsatz<\/a><\/span><\/strong> ist. Dort finden Sie auch Beispiele und damit gel\u00f6ste \u00dcbungen. Und dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie den Unterschied zwischen dem Restsatz und dem Faktorsatz erkennen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 2<\/h3>\n<p> Der Faktorsatz kann auch verwendet werden, um die Nullstellen (oder Nullstellen) eines Polynoms zu finden. Aber um diese Art von Problem zu verstehen, muss man nat\u00fcrlich wissen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/wurzeln-eines-polynoms\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">, was die Wurzeln eines Polynoms sind<\/span><\/strong><\/a> . Wenn Sie dieses Konzept immer noch nicht verstehen, k\u00f6nnen Sie einen Blick auf die verlinkte Seite werfen, die ausf\u00fchrlich erkl\u00e4rt wird.<\/p>\n<p> Sehen wir uns also anhand eines Beispiels an, wie der Faktorsatz angewendet wird, um eine Wurzel eines Polynoms zu finden:<\/p>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie anhand des Polynoms P(x), ob eine seiner Wurzeln x=2 ist:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3d4052b7ff040dd41473d225569289b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3-3x^2+5x-6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Bei Anwendung des Faktorsatzes ist der Term x=2 nur dann eine Wurzel des Polynoms P(x), wenn der numerische Wert von P(x) f\u00fcr x=2 Null ist. Wir m\u00fcssen also diesen numerischen Wert finden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82d50f0361613cb6c540051f8da4bc20_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(2) &amp; =2^3-3\\cdot 2^2+5\\cdot 2-6 \\\\[2ex] &amp; = 8-3\\cdot 4 +5\\cdot 2 -6\\\\[2ex] &amp; = 8-12+10-6 \\\\[2ex] &amp; = 0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"219\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Tats\u00e4chlich verschwindet der numerische Wert des Polynoms P(x) bei x=2, sodass wir dank des Faktorsatzes best\u00e4tigen k\u00f6nnen, dass x=2 eine Wurzel des Polynoms P(x) ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Factorizacion-de-polinomios-utilizando-el-teorema-del-factor\"><\/span> Faktorisieren von Polynomen mit dem Faktorsatz<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Eine weitere Anwendung des Faktorsatzes ist die <strong>Faktorisierung von Polynomen<\/strong> . Falls Sie nicht wissen, was es ist: Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, den Ausdruck eines Polynoms in ein Produkt von Faktoren umzuwandeln, d. h. das Faktorisieren eines Polynoms vereinfacht seinen algebraischen Ausdruck.<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffebee\"> Somit legt der Fakult\u00e4tssatz fest, dass, wenn ein Polynom P(x) P(a)=0 f\u00fcr einen gegebenen Wert a erf\u00fcllt, der Ausdruck dieses Polynoms in das Produkt P(x)=(xa)\u00b7Q( x), wobei Q(x) das Polynom ist, das sich aus der Division des Polynoms P(x) durch (xa) ergibt. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/facteur-theoreme-preuve.jpg\" alt=\"Beweis des Faktorsatzes\" class=\"wp-image-2199\" width=\"470\" height=\"157\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Als Beispiel werden wir das folgende Polynom mithilfe des Fakult\u00e4tssatzes faktorisieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e7291b669031afd3421168b7662c71c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3+2x^2+4x+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aus dem vorherigen Polynom k\u00f6nnen wir erkennen, dass x=-2 eine seiner Wurzeln ist, da der numerische Wert des Polynoms f\u00fcr x=-2 gleich Null ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d94a4657a385e672badeabd7458b376_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-2) &amp; =(-2)^3+2\\cdot (-2)^2+4\\cdot (-2)+8 \\\\[2ex] &amp; =-8+2\\cdot 4+4\\cdot (-2)+8 \\\\[2ex] &amp; = -8+8-8+8 \\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"316\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir dividieren daher mit der Ruffini-Regel das Polynom P(x) zwischen dem durch x gebildeten Binomial und dieser Wurzel mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen, also dem Faktor (x+2): <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-du-facteur-zero.jpg\" alt=\"Das besagt der Nullfaktorsatz\" class=\"wp-image-2201\" width=\"205\" height=\"130\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Der Quotient der Polynomdivision ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8787f77c00f3813ff7e93f147ae7a8d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{P(x)}{x+2} =x^2+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und schlie\u00dflich k\u00f6nnen wir aus dem Faktorsatz das Polynom P(x) in Form einer Multiplikation des Faktors (x+2) mit dem in der vorherigen Division erhaltenen Quotienten ausdr\u00fccken:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a63580effbfd7304133453960e84843_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = (x+2) \\cdot (x^2+4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"190\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit haben wir das Polynom P(x) faktorisiert, allerdings nur teilweise. Um ein Polynom vollst\u00e4ndig zu faktorisieren, muss ein l\u00e4ngeres Verfahren angewendet werden. Wir haben eine Anleitung erstellt, in der wir Schritt f\u00fcr Schritt zeigen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">, wie man Ruffini-Polynome faktorisiert<\/span><\/strong><\/a> . Dar\u00fcber hinaus haben wir in diesem Artikel alle Arten der Faktorisierung erkl\u00e4rt und Sie k\u00f6nnen mit gel\u00f6sten \u00dcbungen \u00fcben. Klicken Sie also auf den Link, um herauszufinden, wie Sie ein Polynom aus der Menge faktorisieren. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios-resueltos-del-teorema-del-factor\"><\/span> Probleme mit dem Faktorsatz gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Anschlie\u00dfend haben wir mehrere \u00dcbungen vorbereitet, die Schritt f\u00fcr Schritt zum Faktorsatz gel\u00f6st werden, damit Sie \u00fcben und so \u00fcberpr\u00fcfen k\u00f6nnen, ob Sie diesen Satz verstanden haben. Wir empfehlen Ihnen, diese selbst auszuprobieren und dann zu pr\u00fcfen, ob Sie die L\u00f6sung richtig verstehen. Vergessen Sie auch nicht, dass Sie uns Ihre Fragen unten in den Kommentaren hinterlassen k\u00f6nnen! \u2753\u2753\ud83d\udcac\ud83d\udcac<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Verwenden Sie den Fakult\u00e4tssatz, um herauszufinden, ob das Polynom P(x) durch das Binomial Q(x) teilbar ist. Wenn ja, ermitteln Sie eine Wurzel des Polynoms und faktorisieren Sie diese. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d91041d9502129f8feb71f75ec493bab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=2x^3-4x^2+x-7 \\qquad \\qquad Q(x)=x-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"372\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall ist der Polynomteiler Q(x) ein Binomial, das nur aus einem x und einem unabh\u00e4ngigen Term besteht. Um zu zeigen, dass das Polynom P(x) mit dem Fakult\u00e4tssatz durch das andere Polynom Q(x) geteilt werden kann, m\u00fcssen wir den numerischen Wert des Polynoms P(x) im unabh\u00e4ngigen Term des Divisorpolynoms mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen auswerten. das hei\u00dft bei x=3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e8ac752f8e16fae1d66386e9d2a02a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(3) &amp; =2\\cdot 3^3-4\\cdot 3^2+3-7\\\\[2ex] &amp; = 2\\cdot 27-4\\cdot 9+3-7 \\\\[2ex] &amp; = 54-36+3-7\\\\[2ex] &amp; = 14 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"219\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Zahlenwert des Polynoms P(x) bei x=3 entspricht 14, ist also von Null verschieden. Nach dem Faktorsatz ist P(x) also NICHT durch Q(x) teilbar, da der Rest der Division nicht Null ist.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Finden Sie mithilfe des Fakult\u00e4tssatzes heraus, ob das Polynom P(x) durch das Binomial Q(x) teilbar ist. Wenn ja, ermitteln Sie eine Wurzel des Polynoms P(x) und faktorisieren Sie diese. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c66c882f468d9bf67c8ae19b9629a24c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3+5x^2+3x-1 \\qquad \\qquad Q(x)=x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"371\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall ist der Polynomteiler Q(x) ein Binomial, das nur aus einem x und einem unabh\u00e4ngigen Term besteht, wir k\u00f6nnen daher den Fakult\u00e4tssatz anwenden.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob das Polynom P(x) durch das Polynom Q(x) geteilt werden kann, m\u00fcssen wir den numerischen Wert des Polynoms P(x) f\u00fcr den unabh\u00e4ngigen Term des Polynoms Q(x) mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen ermitteln dh bei x=-1:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34b63772a1b44bee2c746d94b6ca4785_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-1) &amp; =(-1)^3+5\\cdot (-1)^2+3\\cdot (-1)-1\\\\[2ex] &amp; = -1+5\\cdot 1+3\\cdot (-1)-1\\\\[2ex] &amp; = -1+5-3-1\\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"315\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Problem ist der numerische Wert des Polynoms bei x=-1 Null, sodass P(x) durch Q(x) teilbar ist.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dann k\u00f6nnen wir durch den Fakult\u00e4tssatz ableiten, dass x=-1 eine Wurzel des Polynoms P(x) ist, da der numerische Wert von P(x) bei x=-1 verschwindet.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da also x=-1 eine Wurzel des Polynoms P(x) ist, teilen Sie es zum Faktorisieren einfach durch x+1. Und dazu verwenden wir die Ruffini-Methode: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/facteur-et-reste-theoreme-2.jpg\" alt=\"Faktor- und Restsatz\" class=\"wp-image-2223\" width=\"212\" height=\"130\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das Ergebnis der Operation ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d359811cb1941ccb7181216d4eb2667_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+4x-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir k\u00f6nnen das Polynom P(x) daher wie folgt faktorisieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4793f7847d400b7df22361f6b856a0e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = (x+1) \\cdot (x^2+4x-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Finden Sie mit dem Fakult\u00e4tssatz heraus, ob das Polynom P(x) durch das Binomial Q(x) teilbar ist, und wenn ja, finden Sie auch eine Wurzel des Polynoms P(x) und faktorisieren Sie diese. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3aead584139f397504eb04454974899_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x)=x^3+5x^2+4x-6 \\qquad \\qquad Q(x)=x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"372\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__DDF5FF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#DDF5FF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall ist das Polynom, das Q(x) teilt, ein Binomial, das nur aus einem x und einem unabh\u00e4ngigen Term besteht, sodass wir den Faktorsatz verwenden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob das Polynom P(x) durch das Polynom Q(x) teilbar ist, m\u00fcssen wir den numerischen Wert des Polynoms P(x) f\u00fcr den unabh\u00e4ngigen Term des Polynoms Q(x) mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen bestimmen, d. h. d.h. bei x =-3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef8bb895fe041193d71351ffadb94f2f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(-3) &amp; =(-3)^3+5\\cdot (-3)^2+4\\cdot (-3)-6\\\\[2ex] &amp; = -27+5\\cdot 9+4\\cdot (-3)-6\\\\[2ex] &amp; = -27+45-12-6\\\\[2ex] &amp; = 0 \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"142\" width=\"316\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall ist der numerische Wert des Polynoms bei x=-3 Null, sodass P(x) tats\u00e4chlich durch Q(x) teilbar ist.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aus diesem Grund folgern wir aus dem Fakult\u00e4tssatz, dass x=-3 eine Wurzel des Polynoms P(x) ist, da P(-3) gleich Null ist.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da also x=-3 eine Wurzel des Polynoms P(x) ist, m\u00fcssen wir es zum Faktorisieren durch x+3 dividieren. Und dazu verwenden wir Ruffinis Regel: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/facteur-theoreme-factorisation-par-ruffini.jpg\" alt=\"Faktorsatz Faktor von Ruffini\" class=\"wp-image-2226\" width=\"216\" height=\"130\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das Ergebnis der Division ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-990e12f6ae2d0b9effdb52dfaea8edbe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2+2x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"88\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und deshalb k\u00f6nnen wir das Polynom P(x) wie folgt faktorisieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4929cce053644c03cdafec2fbfd77008_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = (x+3) \\cdot (x^2+2x-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Was halten Sie vom Faktorsatz? Glauben Sie, dass es in der Algebra n\u00fctzlich ist? Wir haben Sie in den Kommentaren gelesen!<br \/> \ud83d\udc40\u2b07\u2b07\u2b07\ud83d\udc40<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was der Faktorsatz ist. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir, wof\u00fcr der Faktorsatz verwendet wird: Teilbarkeit von Polynomen, Wurzeln finden, Polynome faktorisieren usw. Abschlie\u00dfend k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zum Faktorsatz \u00fcben. Was ist der Faktorsatz? In der Mathematik besagt der Faktorsatz , dass ein Polynom P(x) genau dann durch ein anderes Polynom &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Faktorsatz<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[16],"tags":[],"class_list":["post-326","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-polynome"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Faktorsatz - Mathematik<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Faktorsatz - Mathematik\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was der Faktorsatz ist. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir, wof\u00fcr der Faktorsatz verwendet wird: Teilbarkeit von Polynomen, Wurzeln finden, Polynome faktorisieren usw. Abschlie\u00dfend k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zum Faktorsatz \u00fcben. Was ist der Faktorsatz? In der Mathematik besagt der Faktorsatz , dass ein Polynom P(x) genau dann durch ein anderes Polynom &hellip; Faktorsatz Weiterlesen &raquo;\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-06T08:26:38+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-des-facteurs.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Mathority Mannschaft\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Verfasst von\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Mathority Mannschaft\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Gesch\u00e4tzte Lesezeit\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"8\u00a0Minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/\"},\"author\":{\"name\":\"Mathority Mannschaft\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be\"},\"headline\":\"Faktorsatz\",\"datePublished\":\"2023-07-06T08:26:38+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-06T08:26:38+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/\"},\"wordCount\":1506,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\"},\"articleSection\":[\"Polynome\"],\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/\",\"name\":\"Faktorsatz - Mathematik\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-06T08:26:38+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-06T08:26:38+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Faktorsatz\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\",\"name\":\"Mathority\",\"description\":\"Wo Neugierde auf Berechnung trifft!\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\",\"name\":\"Mathority\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png\",\"width\":703,\"height\":151,\"caption\":\"Mathority\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\"}},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be\",\"name\":\"Mathority Mannschaft\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Mathority Mannschaft\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/de\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Faktorsatz - Mathematik","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/","og_locale":"de_DE","og_type":"article","og_title":"Faktorsatz - Mathematik","og_description":"Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was der Faktorsatz ist. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir, wof\u00fcr der Faktorsatz verwendet wird: Teilbarkeit von Polynomen, Wurzeln finden, Polynome faktorisieren usw. Abschlie\u00dfend k\u00f6nnen Sie mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zum Faktorsatz \u00fcben. Was ist der Faktorsatz? In der Mathematik besagt der Faktorsatz , dass ein Polynom P(x) genau dann durch ein anderes Polynom &hellip; Faktorsatz Weiterlesen &raquo;","og_url":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/","article_published_time":"2023-07-06T08:26:38+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-des-facteurs.jpg"}],"author":"Mathority Mannschaft","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Verfasst von":"Mathority Mannschaft","Gesch\u00e4tzte Lesezeit":"8\u00a0Minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/"},"author":{"name":"Mathority Mannschaft","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be"},"headline":"Faktorsatz","datePublished":"2023-07-06T08:26:38+00:00","dateModified":"2023-07-06T08:26:38+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/"},"wordCount":1506,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization"},"articleSection":["Polynome"],"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/","name":"Faktorsatz - Mathematik","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#website"},"datePublished":"2023-07-06T08:26:38+00:00","dateModified":"2023-07-06T08:26:38+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/#breadcrumb"},"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/faktorsatz\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/de\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Faktorsatz"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/","name":"Mathority","description":"Wo Neugierde auf Berechnung trifft!","publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/de\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"de"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization","name":"Mathority","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png","contentUrl":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png","width":703,"height":151,"caption":"Mathority"},"image":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/"}},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be","name":"Mathority Mannschaft","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Mathority Mannschaft"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/de"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/326","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=326"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/326\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=326"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=326"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=326"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}