Diese Seite ist sicherlich die umfassendste Erkl\u00e4rung der Hessischen Matrix, die es gibt. Hier wird das Konzept der Hesse-Matrix erkl\u00e4rt, wie man sie anhand von Beispielen berechnet und es gibt sogar mehrere gel\u00f6ste \u00dcbungen zum \u00dcben. Dar\u00fcber hinaus erfahren Sie, wie die Maximal- und Minimalwerte einer multivariablen Funktion berechnet werden und ob es sich um eine konkave oder konvexe Funktion handelt. Und schlie\u00dflich finden Sie dort auch die Dienstprogramme und Anwendungen der hessischen Matrix.<\/p>\n
Was ist die Hessische Matrix?<\/h2>\n
Die Definition der hessischen (oder hessischen) Matrix lautet wie folgt:<\/p>\n
Die Hesse-Matrix<\/strong> ist eine quadratische Matrix der Dimension n \u00d7 n, die aus den partiellen zweiten Ableitungen einer Funktion von n Variablen besteht.<\/p>\n
Diese Matrix ist auch als Hessische Matrix bekannt, oder in einigen Mathematikb\u00fcchern wird sie sogar als Diskriminante bezeichnet. Die gebr\u00e4uchlichste Bezeichnung daf\u00fcr ist jedoch die Hesse-Matrix.<\/p>\n
Die Formel f\u00fcr die Hesse-Matrix lautet daher wie folgt: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Daher ist die Hesse-Matrix immer eine quadratische Matrix, deren Dimension gleich der Anzahl der Variablen in der Funktion ist. Wenn die Funktion beispielsweise drei Variablen hat, hat die Hesse-Matrix die Dimension 3\u00d73.<\/p>\n
Dar\u00fcber hinaus besagt der Satz von Schwarz<\/strong> (oder der Satz von Clairaut), dass die Reihenfolge der Differenzierung keine Rolle spielt, dh teilweise zuerst in Bezug auf die Variable ableiten<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
dann in Bezug auf die Variable<\/p>\n
<\/p>\n
kommt einer teilweisen Differenzierung in Bezug auf gleich<\/p>\n
<\/p>\n
dann Respekt<\/p>\n
<\/p>\n
.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Daher ist die Hesse-Matrix eine symmetrische<\/strong> Matrix, oder mit anderen Worten, sie hat eine Symmetrie, deren Achse ihre Hauptdiagonale ist.<\/p>\n
Kurioserweise ist die Hessische Matrix nach Ludwig Otto Hesse benannt, einem deutschen Mathematiker des 19. Jahrhunderts, der sehr wichtige Beitr\u00e4ge auf dem Gebiet der linearen Algebra leistete.<\/p>\n
Beispiel f\u00fcr die Berechnung der Hessischen Matrix<\/h2>\n
Sehen wir uns ein Beispiel an, wie man eine Hesse-Matrix mit der Dimension 2 \u00d7 2 findet:<\/p>\n
\n
Berechnen Sie die Hesse-Matrix am Punkt (1,0) der folgenden Funktion:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Zuerst m\u00fcssen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung berechnen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir die ersten Ableitungen bereits kennen, berechnen wir alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Daher k\u00f6nnen wir nun die Hesse-Matrix aus der Formel f\u00fcr 2 \u00d7 2-Matrizen ermitteln:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Somit lautet die am Punkt (1,0) ausgewertete Hesse-Matrix: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Probleme mit hessischen Matrizen gel\u00f6st<\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
Berechnen Sie die Hesse-Matrix der folgenden Funktion mit 2 Variablen am Punkt (1,1): <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Zuerst m\u00fcssen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion finden: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Nachdem wir bereits die ersten Ableitungen berechnet haben, fahren wir mit der L\u00f6sung aller partiellen Ableitungen zweiter Ordnung fort: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Somit ist die Hesse-Matrix wie folgt definiert: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Abschlie\u00dfend bleibt nur noch die Auswertung der Hesse-Matrix bei Punkt (1,1): <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 2<\/h3>\n
Berechnen Sie den Hesse-Wert am Punkt (1,1) der folgenden Funktion in zwei Variablen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Zuerst m\u00fcssen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion berechnen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir die ersten Ableitungen haben, berechnen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Somit ist die Hesse-Matrix der Funktion eine quadratische Matrix der Dimension 2\u00d72: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Abschlie\u00dfend bleibt nur noch die Auswertung der Hesse-Matrix bei Punkt (1,1): <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 3<\/h3>\n
Finden Sie die Hesse-Matrix an diesem Punkt<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
der folgenden Funktion mit 3 Variablen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Zuerst berechnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir die ersten Ableitungen haben, berechnen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Damit ist die Hesse-Matrix der Funktion eine quadratische Matrix der Dimension 3\u00d73: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Abschlie\u00dfend ersetzen wir die Variablen durch ihre jeweiligen Werte an der Stelle <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 4<\/h3>\n
Bestimmen Sie die Hesse-Matrix am Punkt (2,-1,1,-1) der folgenden Funktion mit 4 Variablen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Der erste Schritt besteht darin, die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion zu finden: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Nun l\u00f6sen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Somit ist der Ausdruck der 4\u00d74-Hesse-Matrix, die durch L\u00f6sen aller partiellen Ableitungen erhalten wird, der folgende: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Schlie\u00dflich ersetzen wir die Unbekannten durch ihre jeweiligen Punktwerte (2,-1,1,-1) und f\u00fchren die Berechnungen durch: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/div>\n
<\/div>\n
Woher wissen Sie, wann die Hesse-Matrix positiv, negativ oder unbestimmt ist?<\/h2>\n
Wie wir sp\u00e4ter sehen werden, ist es sehr n\u00fctzlich zu wissen, ob die Hessische Matrix eine positiv semidefinite, positiv definite, negative semidefinite, negativ definite oder unbestimmte Matrix ist. Mal sehen, wie wir das herausfinden k\u00f6nnen:<\/p>\n
Kriterium der Eigenwerte (oder Eigenwerte)<\/h3>\n
Eine M\u00f6glichkeit herauszufinden, um welche Art von Matrix es sich handelt, besteht darin, die Eigenwerte (oder Eigenwerte) der Hesse-Matrix durchzugehen:<\/p>\n
\n
Die Hesse-Matrix ist positiv semidefinit,<\/strong><\/span> wenn sie Eigenwerte (oder Eigenwerte) gleich und gr\u00f6\u00dfer als Null aufweist. Das hei\u00dft, es hat positive Eigenwerte und mindestens einen gleich 0:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Die Hesse-Matrix ist positiv definit<\/strong><\/span> , wenn alle ihre Eigenwerte (oder Eigenwerte) ausschlie\u00dflich gr\u00f6\u00dfer als 0 (positiv) sind:<\/li>\n<\/ul>\n
0″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“14″ width=“43″ style=“vertical-align: -2px;“><\/p>\n<\/p>\n
\n
Die Hesse-Matrix ist negativ semidefinit,<\/strong><\/span> wenn sie Eigenwerte (oder Eigenwerte) gleich und kleiner als Null hat. Das hei\u00dft, es hat negative Eigenwerte und mindestens einen gleich 0:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Die Hesse-Matrix ist negativ definit<\/strong><\/span> , wenn alle ihre Eigenwerte (oder Eigenwerte) kleiner als 0 (negativ) sind:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Die Hesse-Matrix ist undefiniert<\/strong><\/span> , wenn sie positive und negative Eigenwerte (oder Eigenwerte) hat:<\/li>\n<\/ul>\n
Eine andere M\u00f6glichkeit herauszufinden, um welchen Typ es sich bei der Hessischen Matrix handelt, ist die Verwendung des Sylvester-Kriteriums. Dieser Satz l\u00e4sst uns jedoch nur wissen, ob sie positiv definit, negativ definit oder unbestimmt ist. Aber manchmal kann die Verwendung viel schneller sein, da die Berechnungen im Allgemeinen einfacher sind. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Somit lautet das Sylvester-Kriterium<\/strong> wie folgt:<\/p>\n
\n
Wenn alle Hauptminorwerte der Hesse-Matrix gr\u00f6\u00dfer als 0 sind, handelt es sich um eine positiv definite<\/strong><\/span> Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n
\n
Wenn die Hauptminorwerte der Hesse-Matrix mit geradem Index gr\u00f6\u00dfer als 0 und diejenigen mit ungeradem Index kleiner als 0 sind, handelt es sich um eine negativ definite<\/strong><\/span> Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n
\n
Wenn alle Hauptminorwerte der hessischen Matrix ungleich 0 sind und keine der beiden vorherigen Bedingungen erf\u00fcllt ist, handelt es sich um eine unbestimmte<\/strong><\/span> Matrix. <\/li>\n<\/ul>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Offensichtlich f\u00e4llt das maximale Haupt-Moll der Hesse-Matrix immer mit seiner Determinante zusammen. Nur zu Informationszwecken wird die Determinante der Hesse-Matrix auch \u201edie Hesse-Matrix\u201c genannt, obwohl wir dies hier nicht tun, um Verwirrung zu vermeiden.<\/p>\n
So berechnen Sie ein Maximum oder Minimum einer Funktion mit der Hesse-Matrix<\/h2>\n
Sobald Sie wissen, wie man die Hesse-Matrix berechnet, fragen Sie sich wahrscheinlich: Und wof\u00fcr wird diese Matrix verwendet?<\/p>\n
Nun, eine der Anwendungen der Hessischen Matrix besteht darin, das Maximum oder Minimum einer Funktion mit mehr als einer Variablen zu finden. Hier finden Sie eine Schritt-f\u00fcr-Schritt-Erkl\u00e4rung zur Berechnung von Maxima und Minima:<\/p>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f422cf8ac57ec69b69af091986d534da_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"Das](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/concavite-et-convexite-d-une-fonction-avec-la-matrice-hessienne.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"a\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" "\\"Rendered")
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