{"id":323,"date":"2023-07-06T09:09:37","date_gmt":"2023-07-06T09:09:37","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/antihermitesche-oder-antihermitesche-matrix\/"},"modified":"2023-07-06T09:09:37","modified_gmt":"2023-07-06T09:09:37","slug":"antihermitesche-oder-antihermitesche-matrix","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/antihermitesche-oder-antihermitesche-matrix\/","title":{"rendered":"Antihermitesche (oder antihermitesche) matrix"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite sehen Sie, was eine antihermitesche Matrix, auch antihermitesche Matrix genannt, ist. Sie finden Beispiele f\u00fcr antihermitesche Matrizen, alle ihre Eigenschaften und die Form dieser Art komplexer quadratischer Matrizen. Abschlie\u00dfend finden Sie eine Erkl\u00e4rung, wie Sie eine komplexe Matrix in die Summe einer antihermiteschen Matrix und einer weiteren hermiteschen Matrix zerlegen.<\/p>\n

Was ist eine antihermitesche oder antihermitesche Matrix? <\/h2>\n
\n

Eine antihermitesche Matrix<\/strong> , oder auch antihermitesche Matrix genannt, ist eine quadratische Matrix mit komplexen Zahlen, deren konjugierte Transponierte gleich der gleichen Matrix, aber unterschiedlichem Vorzeichen ist.<\/p>\n<\/p>\n

\"A^*=-A\"<\/p>\n<\/p>\n

Gold<\/p>\n<\/p>\n

\"A^*\"<\/p>\n

ist die transponierte konjugierte Matrix<\/a> von<\/p>\n

\"A\"<\/p>\n

.<\/p>\n<\/div>\n

Aus Neugier wird dieser Matrixtyp so genannt, weil er die entgegengesetzte Bedingung der hermiteschen Matrix<\/a> erf\u00fcllt, deren Name von dem bedeutenden franz\u00f6sischen Mathematiker Charles Hermite stammt, einem Mathematikprofessor und Forscher des 19. Jahrhunderts, der wichtige Studien unter anderem in durchgef\u00fchrt hat das Gebiet der linearen Algebra.<\/p>\n

Beispiele f\u00fcr antihermitesche Matrizen<\/h2>\n

Sobald wir die Definition der antihermiteschen Matrix (oder antihermiteschen Matrix) gesehen haben, werden wir einige Beispiele f\u00fcr antihermitesche Matrizen unterschiedlicher Dimensionen sehen:<\/p>\n

Beispiel einer antihermiteschen Matrix der Ordnung 2\u00d72<\/span> <\/p>\n

\n
\"antihermitesche<\/figure>\n<\/div>\n

Beispiel einer antihermiteschen Matrix der Dimension 3\u00d73<\/span> <\/p>\n

\n
\"antihermitesche<\/figure>\n<\/div>\n

Beispiel einer antihermiteschen Matrix der Gr\u00f6\u00dfe 4\u00d74<\/span> <\/p>\n

\n
\"antihermitesche<\/figure>\n<\/div>\n

Wie Sie sehen k\u00f6nnen, sind die Matrizen A, B und C antihermitesch, da die konjugierte Transponierungsmatrix jeder Matrize gleich der Matrix selbst ist, jedoch alle Elemente ein ge\u00e4ndertes Vorzeichen haben.<\/p>\n

Struktur einer antihermiteschen Matrix<\/h2>\n

Wenn Sie sich die vorherigen Beispiele bereits angesehen haben, haben antihermitesche Matrizen immer die gleiche Struktur: Sie bestehen aus imagin\u00e4ren Zahlen (ohne Realteil) auf der Hauptdiagonale und dem komplexen Element, das auf der i-ten Linie und der j-ten Linie liegt Linie. Die Spalte muss denselben Imagin\u00e4rteil und denselben Realteil, aber ge\u00e4ndertes Vorzeichen haben wie das Element der j-ten Zeile und der i-ten Spalte.<\/p>\n

Obwohl dies etwas kompliziert erscheinen mag, l\u00e4sst es sich anhand des folgenden Beispiels sicherlich besser verstehen:<\/p>\n

Struktur einer antihermiteschen Matrix der Dimension 2\u00d72<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wie Sie sehen k\u00f6nnen, sind die Elemente der Hauptdiagonale einer antihermiteschen Matrix vollst\u00e4ndig imagin\u00e4r und die Elemente der Nebendiagonale haben den gleichen Imagin\u00e4rteil und der Realteil hat das Vorzeichen ge\u00e4ndert.<\/p>\n

Daher muss der Realteil einer antihermiteschen Matrix antisymmetrisch und der Imagin\u00e4rteil symmetrisch sein.<\/p>\n

Eigenschaften der antihermitischen Matrix<\/h2>\n

Wir werden nun sehen, welche Eigenschaften diese Art von quadratischer komplexer Matrix hat:<\/p>\n