{"id":322,"date":"2023-07-06T09:24:32","date_gmt":"2023-07-06T09:24:32","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/hermitesche-oder-hermitesche-matrix\/"},"modified":"2023-07-06T09:24:32","modified_gmt":"2023-07-06T09:24:32","slug":"hermitesche-oder-hermitesche-matrix","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/hermitesche-oder-hermitesche-matrix\/","title":{"rendered":"Hermitesche (oder hermitesche) matrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was eine Hermitesche Matrix, auch Hermitesche Matrix genannt, ist. Sie finden Beispiele f\u00fcr hermitesche Matrizen, alle ihre Eigenschaften und die Form, die diese Matrizentypen haben, um sie perfekt zu verstehen. Abschlie\u00dfend erkl\u00e4ren wir auch, wie man eine komplexe Matrix in die Summe einer hermiteschen Matrix plus einer antihermiteschen Matrix zerlegt.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist eine hermitesche oder hermitesche Matrix? <\/h2>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Eine <strong>hermitesche Matrix<\/strong> , oder auch hermitesche Matrix genannt, ist eine quadratische Matrix mit komplexen Zahlen, die die Eigenschaft hat, gleich ihrer <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/komplexes-matrixkonjugat-und-transponiertes-konjugat\/\">konjugierten Transponierten<\/a> zu sein.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30b1f42fa0ce4bd6ccc8246e80f5ac19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d4c81a666954cf4d9d7889c69274641_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die konjugierte Transponierungsmatrix von<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<\/div>\n<p> Aus Neugier wurde dieser Matrixtyp zu Ehren von Charles Hermite benannt, einem franz\u00f6sischen Mathematiker des 19. Jahrhunderts, der wichtige mathematische Forschungen durchf\u00fchrte, insbesondere auf dem Gebiet der linearen Algebra.<\/p>\n<p> Der Grund f\u00fcr die Benennung dieser Matrix war, dass sie zeigte, dass die Eigenwerte (oder Eigenwerte) dieser bestimmten Matrizen immer reelle Zahlen sind, aber wir werden dies in Eigenschaften hermitescher Matrizen ausf\u00fchrlicher erkl\u00e4ren.<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich kann diese Matrix manchmal auch als selbstadjungierte Matrix bezeichnet werden, obwohl dies sehr selten vorkommt.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiele f\u00fcr hermitesche Matrizen<\/h2>\n<p> Nachdem wir die Definition der hermiteschen Matrix (oder Hermiteschen Matrix) gesehen haben, sehen wir uns einige Beispiele f\u00fcr hermitesche Matrizen unterschiedlicher Dimensionen an:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer hermiteschen Matrix der Ordnung 2\u00d72<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"Hermitesche oder hermitesche Matrix der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-2263\" width=\"154\" height=\"68\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer hermiteschen Matrix der Dimension 3 \u00d7 3<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-32153-1.webp\" alt=\"Hermitesche oder hermitesche Matrix der Dimension 3x3\" class=\"wp-image-2264\" width=\"211\" height=\"102\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Beispiel einer hermiteschen Matrix der Gr\u00f6\u00dfe 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-42154-1.webp\" alt=\"Hermitesche oder hermitesche Matrix der Dimension 4x4\" class=\"wp-image-2265\" width=\"292\" height=\"140\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Alle diese Matrizen sind hermitesch, da die konjugierte Transponierungsmatrix jeder Matrize gleich der Matrix selbst ist.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Struktur einer hermiteschen Matrix<\/h2>\n<p> Hermitesche Matrizen haben eine sehr leicht zu merkende Struktur: Sie bestehen aus reellen Zahlen auf der Hauptdiagonale, und das komplexe Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte muss das Konjugat des Elements in der j-ten Zeile und sein die i-te Spalte.<\/p>\n<p> Hier sind einige Beispiele f\u00fcr hermitesche Matrixstrukturen. <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-11\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>2&#215;2 Hermitesche Struktur<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7c3eb7e683eabc86f70d307886a25f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b\\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; c \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>3\u00d73 Hermitesche Struktur<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f7d10b69e2e0edf09a8dd5eca195c00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b &amp; c \\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; d &amp; e \\\\[1.1ex] \\overline{c} &amp; \\overline{e} &amp; f\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"83\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>4\u00d74 Hermitesche Struktur<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d2a67c9e5748a431c83128df2b720df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b &amp; c &amp; d \\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; e &amp; f &amp; g \\\\[1.1ex] \\overline{c} &amp; \\overline{f} &amp; h &amp; i \\\\[1.1ex] \\overline{d} &amp; \\overline{g} &amp; \\overline{i} &amp; j \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"117\" width=\"110\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschaften der hermiteschen Matrix<\/h2>\n<p> Wir werden nun sehen, welche Eigenschaften diese Art von quadratischer komplexer Matrix hat:<\/p>\n<ul>\n<li> Jede hermitesche Matrix ist eine <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/normale-matrix\/\">Normalmatrix<\/a> . Obwohl nicht alle normalen Matrizen hermitesche Matrizen sind.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Jede hermitesche Matrix ist diagonalisierbar. Dar\u00fcber hinaus enth\u00e4lt die resultierende Diagonalmatrix nur reelle Elemente.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Daher sind die Eigenwerte (oder Eigenwerte) einer hermiteschen Matrix immer reelle Zahlen. Diese Eigenschaft wurde von Charles Hermite entdeckt und aus diesem Grund hatte er die Ehre, diese ganz besondere Matrix Hermitian zu nennen.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ebenso sind die Eigenr\u00e4ume einer hermiteschen Matrix zwei mal zwei orthogonal: Es gibt eine Orthonormalbasis von\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc61a7b2bce8192ab9946341daf2177a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbb{C}^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> bestehend aus Eigenvektoren (Eigenvektoren) der Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Eine Matrix reeller Zahlen, das hei\u00dft, dass kein Element einen Imagin\u00e4rteil hat, ist genau dann hermitesch, wenn es sich um eine symmetrische Matrix handelt. Wie zum Beispiel die <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\">2\u00d72-Identit\u00e4tsmatrix<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Eine hermitesche Matrix kann als Summe einer realen symmetrischen Matrix und einer imagin\u00e4ren <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-antisymmetrischer-matrizen\/\">antisymmetrischen Matrix<\/a> ausgedr\u00fcckt werden. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6665f14b3ae5de02e85e92f2a15ba1d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A =B+Ci\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<ul>\n<li> Die Summe (oder Subtraktion) zweier hermitescher Matrizen ist gleich einer anderen hermiteschen Matrix, weil:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ce5d6e5007ded4d8c7c740a9a1a63d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A\\pm B)^* = A^*\\pm B^* = A \\pm B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das Ergebnis des Produkts einer hermiteschen Matrix mit einem Skalar ist eine weitere hermitesche Matrix, wenn der Skalar eine reelle Zahl ist.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4244f2ea9895585bd55fd0f9732034b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(k \\cdot A)^* = \\overline{k}\\cdot A^* = k \\cdot A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das Produkt zweier hermitescher Matrizen ist im Allgemeinen nicht mehr hermitesch. Das Produkt ist jedoch hermitesch, wenn die beiden Matrizen vertauschbar sind, d Matrizen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebe46eaf703e2b0c322383991dcfd10d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A \\cdot B)^* = B^*\\cdot A^* = B \\cdot A = A \\cdot B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"268\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn eine hermitesche Matrix invertierbar ist, erweist sich auch ihre Umkehrung als hermitesche Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49f97d0c351dcca3d6dd325c016d8f48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = A^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Determinante einer hermiteschen Matrix ist immer \u00e4quivalent zu einer reellen Zahl. Hier ist der Beweis dieser Eigenschaft:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2131a8de361ad2b31e22f5a61333347c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A) = det(A^t) \\ \\longrightarrow \\ det(A^*) = \\overline{det(A)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"315\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Durstig<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-671e0d35eb1b321fb9eb2c728815e8f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A = A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b726da4490306c53066a62df96765c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A) = \\overline{det(A)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit diese Bedingung erf\u00fcllt ist, muss die Determinante einer hermiteschen Matrix unbedingt eine reelle Zahl sein. Auf diese Weise ist das Konjugat des Ergebnisses gleich dem Ergebnis selbst.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Zerlegung einer komplexen Matrix in eine hermitesche Matrix und eine antihermitesche Matrix<\/h2>\n<p> Jede Matrix mit komplexen Elementen kann <strong>in die Summe einer hermiteschen Matrix und einer weiteren <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/antihermitesche-oder-antihermitesche-matrix\/\">antihermiteschen Matrix<\/a> zerlegt<\/strong> werden. Dazu m\u00fcssen Sie jedoch die folgenden Besonderheiten dieser Matrizentypen kennen:<\/p>\n<ul>\n<li> Die Summe einer quadratischen komplexen Matrix plus ihrer transponierten Konjugierten ergibt eine hermitesche Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57572ba6df31f7ad03d06358f2dcf50c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C + C^* = \\text{Matriz Hermitiana}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Der Unterschied zwischen einer quadratischen komplexen Matrix und ihrem transponierten Konjugat ergibt eine antihermitesche (oder antihermitesche) Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70585e93ed3cecd58925a5a0c33ab14a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C - C^* = \\text{Matriz Antihermitiana}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"258\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Daher k\u00f6nnen alle komplexen Matrizen in die Summe einer hermiteschen Matrix und einer antihermiteschen Matrix zerlegt werden. Dieser Satz ist als <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>Teoplitz-Zerlegung<\/strong><\/span> bekannt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74e1d9a0d55d77dd927109e42986c200_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = A + B \\\\[2ex] A =  \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^*) \\qquad B = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^*)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"299\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dabei ist C die komplexe Matrix, die wir zerlegen m\u00f6chten, C* ihr transponiertes Konjugat und schlie\u00dflich sind A und B die hermitesche bzw. antihermitesche Matrize, in die die Matrix C zerlegt wird.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was eine Hermitesche Matrix, auch Hermitesche Matrix genannt, ist. 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