{"id":32,"date":"2023-09-17T11:02:59","date_gmt":"2023-09-17T11:02:59","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/leitet-sich-vom-kosinus-ab\/"},"modified":"2023-09-17T11:02:59","modified_gmt":"2023-09-17T11:02:59","slug":"leitet-sich-vom-kosinus-ab","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/leitet-sich-vom-kosinus-ab\/","title":{"rendered":"Kosinus-ableitung"},"content":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie Sie die Kosinusfunktion (Formel) herleiten. Sie k\u00f6nnen Beispiele f\u00fcr Ableitungen von Kosinusfunktionen sehen und mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen \u00fcben. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir Ihnen den Beweis der Formel, was die zweite Ableitung des Kosinus und sogar die Ableitung des inversen Kosinus ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcual-es-la-derivada-del-coseno\"><\/span> Was ist die Ableitung des Kosinus?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die vorzeichenmodifizierte Sinusfunktion. Mit anderen Worten, die Ableitung des Kosinus von x ist gleich minus dem Sinus von x.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72551067d650b8d3797bc37497ec609d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sen}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"389\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn das Kosinusargument eine Funktion enth\u00e4lt, ist die Ableitung des Kosinus das Produkt aus minus dem Sinus dieser Funktion und der Ableitung der Funktion.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ccc4f6fce30c027f8782a296a44b84b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sen}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"416\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die zweite Formel entspricht der ersten Formel, wendet jedoch die Kettenregel an. Zusammenfassend lautet die Formel f\u00fcr die Ableitung des Kosinus also wie folgt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/derivee-du-cosinus.webp\" alt=\"Kosinusableitung\" class=\"wp-image-1902\" width=\"428\" height=\"292\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplos-de-la-derivada-del-coseno\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Kosinusableitungen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir nun wissen, was die Kosinusformel ist, erkl\u00e4ren wir einige Beispiele dieser Art trigonometrischer Ableitungen, damit Sie keine Zweifel daran haben, wie man die Kosinusfunktion ableitet. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-1-derivada-del-coseno-de-2x\"><\/span> Beispiel 1: Ableitung des Kosinus von 2x<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87c696135df266b2d8498b353bf03c36_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Im Kosinusargument haben wir kein einzelnes x, sondern eine komplexere Funktion. Daher m\u00fcssen wir die folgende Formel verwenden, um den Kosinus abzuleiten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ccc4f6fce30c027f8782a296a44b84b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sen}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"416\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da die Ableitung von 2x 2 ist, ist die Ableitung des Kosinus von 2x minus dem Sinus von 2x multipliziert mit 2. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba75c906f1694fe3fbd16fa61e0d288e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(2x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sen}(2x)\\cdot 2=-2\\text{sen}(2x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"532\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-2-derivada-del-coseno-de-x-al-cuadrado\"><\/span> Beispiel 2: Ableitung des Kosinus von x im Quadrat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89f1a1fc3f2d5e95aafbd2a37282f88c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(x^2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie im vorherigen Beispiel haben wir im Kosinusargument eine andere Funktion als x, daher verwenden wir die Kettenregel, um den Kosinus abzuleiten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ccc4f6fce30c027f8782a296a44b84b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sen}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"416\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dann ist die Ableitung von x <sup>2<\/sup> 2x, daher ist die Ableitung des Kosinus von x hoch 2: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a410f3316194c86b97a987b0ec7e9e6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(x^2) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sen}(x^2)\\cdot 2x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"437\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-3-derivada-del-coseno-al-cubo\"><\/span> Beispiel 3: Ableitung des Kubikkosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfa2e76d23ef3aeb2ab3ff8e20e2aa07_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}^3(2x^6-5x^3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"178\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Kosinusfunktion in diesem Beispiel besteht aus einer anderen Funktion, daher m\u00fcssen wir die folgende Formel anwenden, um die Ableitung zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ccc4f6fce30c027f8782a296a44b84b8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\text{sen}(u)\\cdot u'\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"416\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Durch Anwendung der Formel gelangen wir also zur Ableitung der Funktion:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73284bcfb1d5647b2304e323e7fbaedf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}f'(x)&amp;=3\\text{cos}^2(2x^6-5x^3)\\cdot \\bigl(-\\text{sen}(2x^6-5x^3)\\bigr)\\cdot (12x^5-15x^2)\\\\[2ex]&amp;=-3\\text{cos}^2(2x^6-5x^3)\\cdot \\text{sen}(2x^6-5x^3)\\cdot (12x^5-15x^2)\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"467\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <u style=\"text-decoration-color:#ff951b;\">Um diese Funktion zu differenzieren, m\u00fcssen Sie auch die Formel f\u00fcr die<\/u> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ableitung-einer-potenzfunktion\/\">Ableitung einer Potentialfunktion<\/a><\/span> verwenden. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"segunda-derivada-del-coseno\"><\/span> Zweite Ableitung des Kosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Als n\u00e4chstes werden wir sehen, dass die zweite Ableitung des Sinus dank der Eigenschaften trigonometrischer Funktionen leicht berechnet werden kann.<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <u style=\"text-decoration-color:#ff951b;\"><strong>Hinweis:<\/strong> Um Folgendes zu verstehen, m\u00fcssen Sie<\/u> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/sinusableitung\/\">die Ableitung des Sinus<\/a><\/span> kennen.<\/p>\n<p> <strong>Die zweite Ableitung des Kosinus von x ist minus dem Kosinus von x.<\/strong> Das mag seltsam erscheinen, aber mathematisch ist es so. Tats\u00e4chlich ist die Ableitung des Sinus der Kosinus, und wenn man also den Kosinus von x zweimal differenziert, erh\u00e4lt man wieder den Kosinus, jedoch mit einem ge\u00e4nderten Vorzeichen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0d9dda8a4031c367120b1f950da4391_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=\\text{cos}(x)\\\\[1.5ex] \\quad\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\quad\\color{black} \\\\[1.5ex] f'(x)=-\\text{sen}(x)\\\\[2ex] \\quad\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\quad\\color{black} \\\\[1.5ex] f''(x)=-\\text{cos}(x)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"157\" width=\"132\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Diese Eigenschaft \u00e4ndert sich, wenn das Kosinusargument nicht x ist, da wir in diesem Fall den Term der Kettenregel ziehen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-83d86bd6508f06b0723153b3b9254c1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{c}f(x)=\\text{cos}(u)\\\\[1.5ex] \\quad\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\quad\\color{black} \\\\[1.5ex] f'(x)=-\\text{sen}(u)\\cdot u' \\\\[1.5ex] \\quad\\color{orange}\\bm{\\downarrow}\\quad\\color{black} \\\\[1.5ex] f''(x)=-\\text{cos}(u)\\cdot u'^2 -\\text{sen}(u)\\cdot u'' \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"153\" width=\"263\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"derivada-del-coseno-inverso\"><\/span> Ableitung des Umkehrkosinus<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Alle trigonometrischen Funktionen haben eine Umkehrfunktion und daher kann auch die Kosinusfunktion umgekehrt werden. Ebenso ist der Umkehrkosinus differenzierbar.<\/p>\n<p> Die <strong>Ableitung des Umkehrkosinus<\/strong> einer Funktion ist minus der Ableitung der Funktion dividiert durch die Quadratwurzel aus eins minus dem Quadrat dieser Funktion.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-307f91156ee9c404e9c1a1c0de56b102_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}^{-1}(u) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\cfrac{u'}{\\sqrt{1-u^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"425\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Denken Sie daran, dass der Umkehrkosinus auch Arkuskosinus genannt wird.<\/p>\n<p> Die Ableitung des Umkehrkosinus von 3x lautet beispielsweise: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7ce426dcd95d21e43b182ef593520c16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=\\text{cos}^{-1}(3x) \\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black} f'(x)=-\\cfrac{3}{\\sqrt{1-(3x)^2}}=-\\cfrac{3}{\\sqrt{1-9x^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"571\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-derivada-del-coseno\"><\/span> Aufgaben zur Ableitung des Kosinus gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Kosinusfunktionen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1caebbb3b9acfa8cd25721299f9a22e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) } f(x)=\\text{cos}(4x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"140\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a89d6e415addae7423aa75362416686b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) } f(x)=\\text{cos}(2x^3-5x+1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad34285ad7ac07f34ef408c65cbb96c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) } \\displaystyle f(x)=9\\text{cos}\\left(\\frac{x}{3}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-752bff297c20cdf69d6fcb45290be935_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) } f(x)=\\text{cos}^5(x^2+3x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-939dee8bcafba3f55812c5a13f27a309_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) } f(x)=\\text{cos}\\left(e^{5x}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"148\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f6c7c3c5786d010b99f4e65b692dfe1d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{F) } \\displaystyle f(x)=9\\text{cos}\\left(\\frac{e^x}{5x}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"164\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong> <\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a3e1b1b2fe486d1c432a075c0028b62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{A) } f'(x)=-\\text{sen}(4x)\\cdot 4 =-4\\text{sen}(4x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bc2f2e1676bb5f0d4ca231bd35b2b12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{B) } f'(x)=-\\text{sen}(2x^3-5x+1)\\cdot (6x^2-5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"321\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc5cf86d30b34d4cd1a794a4d2ee6a5e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{C) } \\displaystyle f'(x)=-9\\text{sen}\\left(\\frac{x}{3}\\right)\\cdot \\frac{1}{3} =-3\\text{sen}\\left(\\frac{x}{3}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"306\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f168f2e897b18c662f567a25ff09e881_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{D) } f'(x)=-5\\text{cos}^4(x^2+3x)\\cdot \\text{sen}(x^2+3x)\\cdot (2x+3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"401\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe49736d7a1ce1736679e8c25bc4a66b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{E) } f'(x)=-\\text{sen}\\left(e^{5x}\\right)\\cdot e^{5x}\\cdot 5=-5\\text{sen}\\left(e^{5x}\\right)\\cdot e^{5x}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"377\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f4645fb77435daec6f696cffbd54884_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\text{F) }\\displaystyle f'(x)&amp;=-9\\text{sen}\\left(\\frac{e^x}{5x}\\right)\\cdot \\frac{e^x\\cdot 5x-e^x\\cdot 5}{(5x)^2}\\\\[2ex]&amp;=-9\\text{sen}\\left(\\frac{e^x}{5x}\\right)\\cdot \\frac{5e^x(x-1)}{25x^2}\\\\[2ex]&amp;=-9\\text{sen}\\left(\\frac{e^x}{5x}\\right)\\cdot \\frac{e^x(x-1)}{5x^2}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"172\" width=\"310\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"demostracion-de-la-derivada-del-coseno\"><\/span> Beweis der Kosinusableitung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Abschlie\u00dfend werden wir die Formel f\u00fcr die Ableitung des Kosinus von x mathematisch demonstrieren. Dazu verwenden wir die Definition der Ableitung, die der folgenden Grenze entspricht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc1699622d128f888c1f20599aeccf60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"219\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir werden den Kosinus beweisen, also ist die Funktion cos(x):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a00c11698e4b4f5caf0f227e18be8656_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\text{cos}(x+h)-\\text{cos}(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"245\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir k\u00f6nnen diese Grenze nicht durch Substitution aufl\u00f6sen, da wir sonst in der Unbestimmtheit enden w\u00fcrden. Wir k\u00f6nnen den Kosinus einer Summe jedoch auch auf andere Weise ausdr\u00fccken, indem wir die folgende trigonometrische Identit\u00e4t anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e06f1728cce31fb5650ba149b8e5b9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{cos}(a+b)=\\text{cos}(a)\\text{cos}(b)-\\text{sen}(a)\\text{sen}(b)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"307\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-db64449e24b11a613417ebce4c7c7a85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\text{cos}(x)\\text{cos}(h)-\\text{sen}(x)\\text{sen}(h)-\\text{cos}(x)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"380\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der n\u00e4chste Schritt besteht darin, den Bruch in zwei Br\u00fcche aufzuteilen und den gemeinsamen Faktor des Kosinus zu bilden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7c1cd89cf290b01d7d72fc8084f6529_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\left[\\frac{\\text{cos}(x)\\bigl(\\text{cos}(h)-1\\bigr)}{h}-\\frac{\\text{sen}(x)\\text{sen}(h)}{h}\\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"380\" style=\"vertical-align: -23px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Grenzwert einer Subtraktion ist gleich der Subtraktion der Grenzwerte, daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-739fc9a2280c7da1bf2ea830ee5ec88c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\text{cos}(x)\\bigl(\\text{cos}(h)-1\\bigr)}{h}-\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\text{sen}(x)\\text{sen}(h)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"393\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Kosinus von x und der Sinus von x h\u00e4ngen nicht von h ab, daher k\u00f6nnen wir sie au\u00dferhalb der Grenzen extrahieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfbc83e5a84d91a0f6d98418a4f0041c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\text{cos}(x)\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\text{cos}(h)-1}{h}-\\text{sen}(x)\\lim_{h \\to 0}\\frac{\\text{sen}(h)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Mithilfe der Berechnung von Grenzwerten anhand von Infinitesimal\u00e4quivalenten kommen wir zu dem Schluss, dass der erste Grenzwert 0 und der zweite Grenzwert 1 ist. Daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0c2ed1188b80356d05d6188fab5ca47_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=\\text{cos}(x)\\cdot 0-\\text{sen}(x)\\cdot 1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9f33ae6c9b18e01ba654772f22cab6d7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f'(x)=-\\text{sen}(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und wir sind bereits bei der Formel f\u00fcr die Ableitung der Kosinusfunktion angelangt, die Gleichheit ist also bewiesen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie Sie die Kosinusfunktion (Formel) herleiten. Sie k\u00f6nnen Beispiele f\u00fcr Ableitungen von Kosinusfunktionen sehen und mit Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen \u00fcben. Dar\u00fcber hinaus zeigen wir Ihnen den Beweis der Formel, was die zweite Ableitung des Kosinus und sogar die Ableitung des inversen Kosinus ist. Was ist die Ableitung des Kosinus? 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