{"id":317,"date":"2023-07-06T10:46:31","date_gmt":"2023-07-06T10:46:31","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/normale-matrix\/"},"modified":"2023-07-06T10:46:31","modified_gmt":"2023-07-06T10:46:31","slug":"normale-matrix","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/normale-matrix\/","title":{"rendered":"Regelm\u00e4\u00dfige matrix"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite sehen Sie, was eine Normalmatrix ist, sowie Beispiele f\u00fcr Normalmatrizen. Dar\u00fcber hinaus finden Sie die Eigenschaften dieser Art von Matrizen und \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist eine Normalmatrix?<\/h2>\n<p> Die normale Array-Definition lautet: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p align=\"LEFT\"> Eine <strong>normale Matrix<\/strong> ist eine komplexe Matrix, die multipliziert mit ihrer <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/komplexes-matrixkonjugat-und-transponiertes-konjugat\/\">konjugierten Transponiertenmatrix<\/a> gleich dem Produkt der konjugierten Transponierten mit sich selbst ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-196deb39b1de9764cb4013ded78fe671_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cdot A^*=A^*\\cdot A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"118\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p align=\"LEFT\"> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d4c81a666954cf4d9d7889c69274641_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die konjugierte Transponierungsmatrix von<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<\/div>\n<p> Wenn es sich jedoch um <strong>reelle Zahlenmatrizen<\/strong> handelt, l\u00e4uft die vorherige Bedingung darauf hinaus, dass eine Matrix mit ihrer Transponierten kommutiert, das hei\u00dft:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f808080cda647c3e7cbf2cac2129539_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\\cdot A^t=A^t\\cdot A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"114\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Denn offensichtlich ist die konjugierte Transpositionsmatrix einer realen Matrix einfach die Transpositionsmatrix (oder Transpositionsmatrix).<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiele f\u00fcr Normalmatrizen<\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel mit komplexen Zahlen<\/h3>\n<p> Die folgende komplexe quadratische Matrix der Dimension 2\u00d72 ist normal: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-matrice-normale-complexe-22152-1.webp\" alt=\"Beispiel einer normalen Matrix mit komplexen Zahlen der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-2041\" width=\"125\" height=\"65\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Die Demonstration seiner Normalit\u00e4t ist unten beigef\u00fcgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f44b98cec879a8332c462d2393fbfbba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^* = \\begin{pmatrix} i &amp; i \\\\[1.1ex] i &amp; -i \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -i &amp; -i \\\\[1.1ex] -i &amp; i \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"319\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fddc406493ac1c81c86edf1ad6e58d0b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^*\\cdot A = \\begin{pmatrix} -i &amp; -i \\\\[1.1ex] -i &amp; i \\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} i &amp; i \\\\[1.1ex] i &amp; -i \\end{pmatrix}  = \\begin{pmatrix} 2 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 2 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"319\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel mit reellen Zahlen<\/h3>\n<p> Die folgende quadratische Matrix mit reellen Zahlen der Ordnung 2 ist ebenfalls normal: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/example-real-normal-matrix-22152-1.webp\" alt=\"Beispiel einer normalen Matrix mit reellen Zahlen der Dimension 2x2\" class=\"wp-image-2042\" width=\"130\" height=\"68\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Da es in diesem Fall nur reelle Zahlen gibt, reicht es zum Beweis, dass es normal ist, zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob die Matrix mit ihrer Transponierten vertauschbar ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a320a8e300315c6a48bb8095266408ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B\\cdot B^t = \\begin{pmatrix} 2 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 2 \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 8 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 8 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"317\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6ad5bd62deeb5bcbf561a2ee6b29741_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B^t\\cdot B =\\begin{pmatrix} 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 2 \\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} 2 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 2 \\end{pmatrix} =\\begin{pmatrix} 8 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 0 &amp; 8 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"317\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschaften normaler Matrizen<\/h2>\n<p> Normale Matrizen haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> Alle Normalmatrizen sind diagonalisierbare Matrizen.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Jede <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/einheitsmatrix\/\">Einheitsmatrix<\/a> ist auch eine Normalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ebenso ist eine <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/hermitesche-oder-hermitesche-matrix\/\">hermitesche Matrix<\/a> eine Normalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ebenso ist eine antihermitesche Matrix eine Normalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Wenn A eine Normalmatrix ist, sind die Eigenwerte (oder Eigenwerte) der konjugierten transponierten Matrix A* die konjugierten Eigenwerte von A.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a91ee46b5f8dda0d51ecb57474f5b816_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix}2i&amp;-1+i\\\\[1.1ex] 1+i&amp;i\\end{pmatrix} \\longrightarrow \\ \\lambda_{A,1} = 0 \\ ; \\ \\lambda_{A,2} = +3i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"382\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48c80a017a9afd8b4cf3923757f4e945_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^*=\\begin{pmatrix}-2i&amp;1-i\\\\[1.1ex] -1-i&amp;-i\\end{pmatrix} \\longrightarrow \\ \\lambda_{A^*,1} = 0 \\ ; \\ \\lambda_{A^*,2} = -3i\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"403\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> In normalen Matrizen sind die den verschiedenen Eigenwerten zugeordneten Eigenvektoren (oder Eigenvektoren) orthogonal.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Besteht eine Matrix nur aus reellen Zahlen und ist <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-symmetrischer-matrizen\/\">symmetrisch<\/a> , handelt es sich gleichzeitig um eine Normalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Ebenso ist eine <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-und-eigenschaften-antisymmetrischer-matrizen\/\">antisymmetrische reelle Matrix<\/a> auch eine Normalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Schlie\u00dflich ist jede aus reellen Zahlen gebildete orthogonale Matrix auch eine Normalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Gel\u00f6ste \u00dcbungen f\u00fcr normale Matrizen<\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Stellen Sie sicher, dass die folgende komplexe Matrix der Dimension 2 \u00d7 2 normal ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff27d19373c5a4dc8e95472ec295c657_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix}1&amp;2+3i\\\\[1.1ex] 2+3i&amp;1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"168\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um zu zeigen, dass die Matrix normal ist, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst ihre konjugierte Transponierte berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-17c96c654ce5b978f90a905b973d5ae7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^*=\\begin{pmatrix}1&amp;2-3i\\\\[1.1ex] 2-3i&amp;1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"176\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und jetzt f\u00fchren wir die Verifizierung durch, indem wir die Matrix A mit der Matrix A* in beide m\u00f6glichen Richtungen multiplizieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36212e1d12cf35ea5dd27bd91d77ee56_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^* = \\begin{pmatrix}1&amp;2+3i\\\\[1.1ex] 2+3i&amp;1\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}1&amp;2-3i\\\\[1.1ex] 2-3i&amp;1\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}14&amp;4\\\\[1.1ex] 4&amp;14\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"453\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3db0fc8fdc948037452b4c6275896686_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^*\\cdot A =\\begin{pmatrix}1&amp;2-3i\\\\[1.1ex] 2-3i&amp;1\\end{pmatrix}\\cdot  \\begin{pmatrix}1&amp;2+3i\\\\[1.1ex] 2+3i&amp;1\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}14&amp;4\\\\[1.1ex] 4&amp;14\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"453\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das Ergebnis beider Multiplikationen ist das gleiche, daher <strong>ist Matrix A normal.<\/strong><\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Zeigen Sie, dass die folgende reelle Matrix der Gr\u00f6\u00dfe 2 \u00d7 2 normal ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-854e13859be417985691b5ed6d2a050f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix}3&amp;5\\\\[1.1ex] -5&amp;3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da es sich in diesem Fall um eine Umgebung mit ausschlie\u00dflich reellen Zahlen handelt, gen\u00fcgt es zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob das Matrixprodukt zwischen der Matrix A und ihrer Transponierten unabh\u00e4ngig von der Richtung der Multiplikation das gleiche Ergebnis liefert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1b6314188f394b3053d3dac0613cf5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t = \\begin{pmatrix}3&amp;5\\\\[1.1ex] -5&amp;3\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}3&amp;-5\\\\[1.1ex] 5&amp;3\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}34&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;34\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"332\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2b33f892cd29c0ee232b88eaa4946cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^t\\cdot A = \\begin{pmatrix}3&amp;-5\\\\[1.1ex] 5&amp;3\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}3&amp;5\\\\[1.1ex] -5&amp;3\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}34&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;34\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"332\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das Ergebnis beider Produkte ist das gleiche, daher <strong>ist Matrix A normal.<\/strong><\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie, ob die folgende Matrix komplexer Zahlen der Ordnung 2 normal ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00075db37b045e08349f7d5b3f679570_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix}4i&amp;-1+i\\\\[1.1ex] 1-i&amp;4i\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"164\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob die Matrix normal ist, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst ihre konjugierte Transponierte berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0b39733376eb2aef269012eb1d6c24be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^*=\\begin{pmatrix}-4i&amp;1+i\\\\[1.1ex] -1-i&amp;-4i\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"172\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und jetzt pr\u00fcfen wir, ob die Matrix A und ihre konjugierte Transponierte umschaltbar sind: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c207cb9842dacbaf9bc59d4aaff00473_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^* = \\begin{pmatrix}4i&amp;-1+i\\\\[1.1ex] 1-i&amp;4i\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}-4i&amp;1+i\\\\[1.1ex] -1-i&amp;-4i\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}18&amp;8i\\\\[1.1ex] -8i&amp;18\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"456\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bcf52f3da81fd7c56b090604c2b6f368_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^*\\cdot A =\\begin{pmatrix}-4i&amp;1+i\\\\[1.1ex] -1-i&amp;-4i\\end{pmatrix}\\cdot  \\begin{pmatrix}4i&amp;-1+i\\\\[1.1ex] 1-i&amp;4i\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}18&amp;8i\\\\[1.1ex] -8i&amp;18\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"456\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das Ergebnis beider Multiplikationen ist das gleiche, daher <strong>ist Matrix A normal.<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Stellen Sie sicher, dass die folgende reelle Matrix der Dimension 3\u00d73 normal ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92ee07759c3e6e88af5a68479b5833ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix} -1&amp;1&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;-1&amp;1\\\\[1.1ex] 1&amp;0&amp;-1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"164\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da die Matrix vollst\u00e4ndig aus reellen Elementen besteht, gen\u00fcgt es zu \u00fcberpr\u00fcfen, dass das Matrixprodukt zwischen der Matrix A und ihrer Transponierten unabh\u00e4ngig von der Richtung der Multiplikation ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc7ee02c75239b430c7fc2418f43e343_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A\\cdot A^t = \\begin{pmatrix} -1&amp;1&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;-1&amp;1\\\\[1.1ex] 1&amp;0&amp;-1\\end{pmatrix} \\cdot\\begin{pmatrix}-1&amp;0&amp;1\\\\[1.1ex] 1&amp;-1&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;1&amp;-1\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}2&amp;-1&amp;-1\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\\\[1.1ex] -1&amp;-1&amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"495\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e661b877ee225983c797584e2b61d429_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^t\\cdot A =\\begin{pmatrix}-1&amp;0&amp;1\\\\[1.1ex] 1&amp;-1&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;1&amp;-1\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} -1&amp;1&amp;0\\\\[1.1ex] 0&amp;-1&amp;1\\\\[1.1ex] 1&amp;0&amp;-1\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}2&amp;-1&amp;-1\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\\\[1.1ex] -1&amp;-1&amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"495\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Das Ergebnis beider Produkte ist das gleiche, daher <strong>ist Matrix A normal.<\/strong><\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 5<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie, ob die folgende komplexe Matrix der Ordnung 3\u00d73 normal ist: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81ca0ac1da07c151a62dcfb06b4be877_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\begin{pmatrix}4&amp;3-2i &amp; 5i \\\\[1.1ex] 3+2i &amp; 0 &amp; -1-3i \\\\[1.1ex] -5i &amp; -1+3i &amp; 1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"260\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zuerst berechnen wir die konjugierte Transponierte der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd0a2dfe1b8bfe18020ab68c1eb3bda6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^*=\\begin{pmatrix}4&amp;3-2i &amp; 5i \\\\[1.1ex] 3+2i &amp; 0 &amp; -1-3i \\\\[1.1ex] -5i &amp; -1+3i &amp; 1\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"268\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Jetzt m\u00fcssen wir die Matrixmultiplikationen zwischen der Matrix A und ihrer konjugierten Transponierten in beide m\u00f6glichen Richtungen durchf\u00fchren. Allerdings ist die konjugierte Transponierungsmatrix von A gleich der Matrix A selbst, es handelt sich also um eine hermitesche Matrix. <strong>Aus den Eigenschaften normaler Matrizen folgt daher, dass A eine normale Matrix ist<\/strong> , da jede hermitesche Matrix eine normale Matrix ist.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite sehen Sie, was eine Normalmatrix ist, sowie Beispiele f\u00fcr Normalmatrizen. Dar\u00fcber hinaus finden Sie die Eigenschaften dieser Art von Matrizen und \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st. Was ist eine Normalmatrix? 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