Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was eine quadratische Matrix ist und Sie finden Beispiele f\u00fcr quadratische Matrizen. Dar\u00fcber hinaus erfahren Sie, welche Eigenschaften quadratische Matrizen haben, welche Operationen mit ihnen durchgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen und welche verschiedenen Typen es gibt.<\/p>\n
Was ist eine quadratische Matrix?<\/h2>\n
Eine quadratische Matrix<\/strong> ist a <\/strong>Matrix, die die gleiche Anzahl an Zeilen wie Spalten hat.<\/p>\n
Beispiele f\u00fcr quadratische Matrizen <\/h2>\n
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quadratische Matrix der Ordnung 2<\/span> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n
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quadratische Matrix der Ordnung 3<\/span> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n
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quadratische Matrix der Ordnung 4<\/span> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
Wie Sie sehen, werden quadratische Matrizen normalerweise nach ihrer Ordnung benannt, d. h. eine quadratische Matrix der Ordnung 2 bedeutet, dass es sich um eine Matrix der Dimension 2\u00d72 (2 Zeilen und 2 Spalten) handelt, oder wir sprechen von einer quadratischen Matrix der Ordnung 3 was darauf hinweist, dass es eine Gr\u00f6\u00dfe von 3\u00d73 (3 Zeilen und 3 Spalten) hat.<\/p>\n
Diagonalen einer quadratischen Matrix<\/h2>\n
Die Diagonalen quadratischer Matrizen haben bestimmte Namen, es gibt die Hauptdiagonale und die Nebendiagonale:<\/p>\n
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Die Hauptdiagonale<\/span><\/strong> einer quadratischen Matrix besteht aus den Elementen, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke verlaufen: <\/li>\n<\/ul>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
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Die sekund\u00e4re Diagonale<\/span><\/strong> einer quadratischen Matrix entspricht den Elementen, die von der unteren linken Ecke zur oberen rechten Ecke verlaufen: <\/li>\n<\/ul>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Eigenschaften einer quadratischen Matrix<\/h2>\n
Quadratische Matrizen werden in der linearen Algebra h\u00e4ufig verwendet und sind daher so wichtig. Sehen wir uns also an, welche Merkmale diese Matrizenklasse so relevant machen:<\/p>\n
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Jede quadratische Matrix kann in eine Summe aus einer symmetrischen Matrix<\/span><\/strong> und einer antisymmetrischen Matrix<\/span> zerlegt werden.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
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Wenn zwei quadratische Matrizen die gleiche Ordnung haben, k\u00f6nnen sie voneinander addiert oder subtrahiert<\/strong><\/span> werden: <\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
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Zwei quadratische Matrizen k\u00f6nnen in beide m\u00f6glichen Richtungen multipliziert werden<\/strong><\/span> . Allerdings ist das Produkt quadratischer Matrizen nicht kommutativ, d. h. das Ergebnis der Multiplikation \u00e4ndert sich je nachdem, mit welcher Seite es multipliziert wird. Beachten Sie im folgenden Beispiel, wie das Ergebnis von den Positionen der Matrizen abh\u00e4ngt:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
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Quadratische Matrizen sind die einzigen, die die Determinante berechnen k\u00f6nnen. Daher kann eine Determinante nur gel\u00f6st werden,<\/strong><\/span> wenn es sich um eine quadratische Matrix handelt. Um beispielsweise die Determinante einer quadratischen 3\u00d73-Matrix zu ermitteln, m\u00fcssen Sie die Regel von Sarrus anwenden:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Denken Sie auch daran, dass, wenn die Determinante der Matrix von 0 verschieden ist, dies bedeutet, dass es sich um eine regul\u00e4re Matrix<\/strong> handelt, das hei\u00dft, sie ist invertierbar. Wenn andererseits die Determinante Null ist, handelt es sich um eine singul\u00e4re Matrix<\/strong> (die keine Umkehrung hat).<\/p>\n
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Schlie\u00dflich k\u00f6nnen quadratische Matrizen diagonalisiert werden<\/strong><\/span> . Somit kann ein Basiswechsel durchgef\u00fchrt werden, um die Eigenwerte (oder Eigenwerte) und die Eigenvektoren (oder Eigenvektoren) einer quadratischen Matrix zu berechnen.<\/li>\n<\/ul>\n
Operationen mit quadratischen Matrizen<\/h2>\n
Wie wir gesehen haben, kann die Determinante einer Matrix nur berechnet werden, wenn die Matrix quadratisch ist. Ebenso gibt es bestimmte Operationen, die nur ausgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen, wenn die Matrix eine quadratische Dimension hat:<\/p>\n
Spur einer Matrix<\/h3>\n
Die Spur einer Matrix<\/strong> ist die Summe der Elemente, die die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix bilden. <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Die Spur der Matrix aus der obigen \u00dcbung w\u00e4re beispielsweise: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
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<\/div>\n<\/div>\n
Arten von quadratischen Matrizen<\/h2>\n
Dann haben Sie die wichtigsten Arten quadratischer Matrizen, die es gibt. Klicken Sie auf den Matrizentyp, um herauszufinden, was ihn besonders macht. <\/p>\n
![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-carree-ordre-2.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-carree-ordre-3.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/example-of-square-matrix-order-4.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"Hauptdiagonale](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-diagonale-principale-c.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"Sekund\u00e4rdiagonale](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/matrice-diagonale-secondaire-c.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\begin{pmatrix}5&2&-3\\\\[1.1ex]](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cec5286f22acdb6c84e876264157a89_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{pmatrix}3&-1\\\\[1.1ex]](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6bdc76d296851b4ea7aa79124a026a01_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle\\begin{aligned}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6da09d0b791b047beec0aa2f3da1825_l3.png\" "\\"Rendered")
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