{"id":307,"date":"2023-07-06T14:13:39","date_gmt":"2023-07-06T14:13:39","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/regelbeispiele-und-geloste-ubungen-von-cramer\/"},"modified":"2023-07-06T14:13:39","modified_gmt":"2023-07-06T14:13:39","slug":"regelbeispiele-und-geloste-ubungen-von-cramer","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/regelbeispiele-und-geloste-ubungen-von-cramer\/","title":{"rendered":"Cramers regel"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was die Cramer-Regel ist und au\u00dferdem finden Sie Beispiele und \u00dcbungen zur L\u00f6sung von Gleichungssystemen nach der Cramer-Regel.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist Cramers Regel?<\/h2>\n<p> <strong>Die Cramer-Regel<\/strong> ist eine Methode zur L\u00f6sung von Gleichungssystemen nach Determinanten. Mal sehen, wie es verwendet wird:<\/p>\n<p> Betrachten Sie ein Gleichungssystem:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0141f3451719f665ef28e4061489551_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} ax+by+cz= \\color{red}\\bm{j} \\\\[1.5ex] dx+ey+fz=\\color{red}\\bm{k} \\\\[1.5ex] gx+hy+iz = \\color{red}\\bm{l} \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"171\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d628a13ec7de4b3ba7a301c0a5d8ac6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} a &amp; b &amp; c  \\\\[1.1ex] d &amp; e &amp; f  \\\\[1.1ex] g &amp; h &amp; i  \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} a &amp; b &amp; c &amp;  \\color{red}\\bm{j}  \\\\[1.1ex] d &amp; e &amp; f &amp; \\color{red}\\bm{k} \\\\[1.1ex] g &amp; h &amp; i &amp; \\color{red}\\bm{l} \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"384\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Die Cramer-Regel<\/span><\/strong> besagt, dass die L\u00f6sung eines Gleichungssystems ist: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/quelle-est-la-regle-de-cramer.webp\" alt=\"Was ist die Cramer-Regel? Erkl\u00e4rung der Cramer-Regel\" class=\"wp-image-1062\" width=\"677\" height=\"385\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Beachten Sie, dass die Determinanten der Z\u00e4hler wie die Determinanten der Matrix A sind, jedoch die Spalte jedes Unbekannten in die Spalte unabh\u00e4ngiger Terme ge\u00e4ndert wird.<\/p>\n<p> Daher wird die Cramer-Regel zur L\u00f6sung linearer Gleichungssysteme verwendet. Aber wie Sie bereits wissen, gibt es viele M\u00f6glichkeiten, ein Gleichungssystem zu l\u00f6sen, zum Beispiel ist <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/jordan-gau\u00df-methode-mit-beispielen-und-gelosten-ubungen\/\">die Methode von Gau\u00df Jordan<\/a> bekannt.<\/p>\n<p> Nachfolgend finden Sie Beispiele f\u00fcr die L\u00f6sung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Regel, manchmal auch als Kramer-Regel geschrieben.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1: Kompatibles System ermittelt (SCD)<\/h2>\n<ul>\n<li> L\u00f6sen Sie das folgende System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten mithilfe der Cramer-Regel:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6013b7e73c89c24fe388f1a5d018f32b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 2x+y+3z= 1 \\\\[1.5ex] 3x-2y-z=0 \\\\[1.5ex] x+3y+2z = 5\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"135\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c710ed86223f47f39b5a25720b5ca19d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 2 &amp; 1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; 2\\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 2 &amp; 1 &amp; 3 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; 2 &amp; 5 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"405\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen nun den Rang der beiden Matrizen, um zu sehen, um welche Art von System es sich handelt. Um den Rang von A zu berechnen, berechnen wir die 3\u00d73-Determinante der gesamten Matrix (unter Verwendung der Sarrus-Regel) und pr\u00fcfen, ob sie 0 ergibt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae4a3bb88d113494463df8e670c326c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 2 &amp; 1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; 2\\end{vmatrix} =-8-1+27+6+6-6 = 24 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"427\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante von A ist von 0 verschieden, daher <strong>hat die Matrix A den Rang 3.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Die Matrix A&#8216; hat also auch den Rang 3<\/strong> , da sie nicht den Rang 4 haben kann und mindestens den gleichen Rang wie die Matrix A haben muss.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ausdehnung der Matrix A ist gleich der Ausdehnung der Matrix A&#8216; und der Anzahl der Unbekannten des Systems (3). Daher wissen wir aufgrund des <strong>Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems<\/strong> , dass es sich um ein <strong>determiniertes kompatibles System<\/strong> (SCD) handelt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-557185e16670c72d23eec5a3ea13b487_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, wenden wir <strong>die Cramer-Regel<\/strong> an, um es zu l\u00f6sen. Denken Sie dazu daran, dass die Matrix A, ihre Determinante und die Matrix A&#8216; sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31b2b3e5865c2264c360fb887d37a5f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 2 &amp; 1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; 2\\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 2 &amp; 1 &amp; 3 &amp; \\color{red}\\bm{1} \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -1 &amp; \\color{red}\\bm{0} \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; 2 &amp; \\color{red}\\bm{5} \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"431\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a604d8f5a3927a47a264d28f7a007b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 2 &amp; 1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; 2\\end{vmatrix} =24\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"187\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-757d0eed520b26d08cc3b8b397d0f980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1fa494ffb5e452d59c4d2dad40f925a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} \\color{red}\\bm{1} &amp; 1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] \\color{red}\\bm{0} &amp; -2 &amp; -1 \\\\[1.1ex] \\color{red}\\bm{5} &amp; 3 &amp; 2 \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{24}{24} = \\bm{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"238\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fb4fb8b1addff607711094fd1ed326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08e3dabe2f33434eb96658491f67c0b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 2 &amp; \\color{red}\\bm{1} &amp; 3 \\\\[1.1ex] 3 &amp;  \\color{red}\\bm{0} &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; \\color{red}\\bm{5} &amp; 2\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{48}{24} = \\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"223\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Berechnung<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23aa090e6102a41de5ad5515112e4d03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die dritte Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96e76cb8867224755e9c19254678abd4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{z} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 2 &amp; 1 &amp; \\color{red}\\bm{1} \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp;  \\color{red}\\bm{0} \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp;  \\color{red}\\bm{5}\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{-24}{24} = \\bm{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"259\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die L\u00f6sung des Gleichungssystems lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be5a19fed42dcb59880c2d0eee8e51f4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x = 1 \\qquad y=2 \\qquad z = -1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"210\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 2: Unbestimmtes kompatibles System (ICS)<\/h2>\n<ul>\n<li> L\u00f6sen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Cramer-Regel:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-781530aac4d8507fd6c7cbd77c3b4651_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\\\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \\\\[1.5ex] x+5y+3z = 1 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"149\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a64800a78bf8e2e2f547be907e6863cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 3 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 5 &amp; 3 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 3 &amp; 2 &amp; 4 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 5 &amp; 3 &amp; 1 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"405\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nun berechnen wir die Reichweite der beiden Matrizen und k\u00f6nnen so erkennen, um welche Art von System es sich handelt. Um den Rang von A zu berechnen, berechnen wir die Determinante der gesamten Matrix (unter Verwendung der Sarrus-Regel) und pr\u00fcfen, ob sie 0 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-581c58cbe0fdd9952e7e25b919ecc33b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 3 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 5 &amp; 3\\end{vmatrix} = 27-2-40-12+15+12= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"407\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante ergibt 0, daher hat die Matrix A nicht den Rang 3. Sie hat aber eine von 0 verschiedene 2\u00d72-Determinante:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5d1acad8bc31240f80d8cfbf3605997_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 3 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 \\end{vmatrix} =9-(-4)=13\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"222\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Matrix A hat also Rang 2<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald wir die Ausdehnung der Matrix A kennen, berechnen wir die der Matrix A&#8216;. Die Determinante der ersten 3 Spalten ergibt 0, also probieren wir die anderen m\u00f6glichen 3\u00d73 Determinanten in der Matrix A&#8216; aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-686e7ca635ecee685005f6013c2e64ad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 2 &amp; 4 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 3 &amp; 1 \\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix} 3 &amp; 4 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -2 &amp; -1 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 3 &amp; 1 \\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix} 3 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 5 &amp; 1 \\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"440\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Alle Determinanten der Ordnung 3 ergeben 0. Aber offensichtlich hat die Matrix A&#8216; die gleiche 2\u00d72-Determinante ungleich 0 wie die Matrix A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5d1acad8bc31240f80d8cfbf3605997_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 3 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 \\end{vmatrix} =9-(-4)=13\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"222\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher <strong>hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 2<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da also der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix A&#8216; ist, diese beiden jedoch kleiner sind als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3), wissen wir durch den <strong>Satz von Rouch\u00e9-Frobenius<\/strong> , dass es sich um ein <strong>unbestimmt kompatibles System<\/strong> handelt (ICS):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96868a2569ea0ab5ca99d8dc606d3dc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \\ < \\ n =3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"475\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> Wenn wir ein kompatibles unbestimmtes System (SCI) l\u00f6sen wollen, m\u00fcssen wir <strong>das System transformieren<\/strong> : Zuerst eliminieren wir eine Gleichung, dann konvertieren wir eine Variable in \u03bb (normalerweise die Variable z) und schlie\u00dflich setzen wir die Terme mit \u03bb zusammen die unabh\u00e4ngigen Begriffe.<\/p>\n<p> Sobald wir das System transformiert haben, wenden wir die Cramer-Regel an und erhalten die L\u00f6sung des Systems als Funktion von \u03bb.<\/p>\n<p> In diesem Fall <strong>streichen wir die letzte Gleichung<\/strong> aus dem System:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0511fecc9c2af695b6b8eccae6b0661_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\\\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \\\\[1.5ex]\\cancel{x+5y+3z = 1} \\end{cases} \\longrightarrow \\quad \\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\\\[1.5ex] -2x+3y-z=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"377\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Nun wandeln wir die Variable z in \u03bb um:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2d6142d2be611954fd849a032a97245a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\\\[1.5ex] -2x+3y-z=0  \\end{cases} \\xrightarrow{z \\ = \\ \\lambda}\\quad \\begin{cases} 3x+2y+4\\lambda=1 \\\\[1.5ex] -2x+3y-\\lambda=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"398\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und wir setzen <strong>die Terme mit \u03bb mit den unabh\u00e4ngigen Termen zusammen:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-00214205f2334f1c9bc10810c1c1df83_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 3x+2y=1-4\\lambda \\\\[1.5ex] -2x+3y=\\lambda \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p> Daher bleiben die Matrix A und die Matrix A&#8216; des Systems bestehen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c4b47303973b823a1c5628f5448ca79_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 3 &amp; 2  \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{cc|c} 3 &amp; 2 &amp; 1 -4\\lambda \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 &amp; \\lambda \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"363\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald wir das System transformiert haben, <strong>wenden wir schlie\u00dflich die Cramer-Regel an<\/strong> . Wir l\u00f6sen daher die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1b79f52dc82f5cfc311867273e78c06_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 3 &amp; 2  \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3\\end{vmatrix} = 13\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"148\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-757d0eed520b26d08cc3b8b397d0f980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0ff917eaea976c65bd18e0476078d3cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 1 -4\\lambda &amp; 2  \\\\[1.1ex] \\lambda &amp; 3 \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{3(1-4\\lambda) -2\\lambda}{13} = \\cfrac{\\bm{3-14\\lambda} }{\\bm{13}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"349\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fb4fb8b1addff607711094fd1ed326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-155ca520739bbf7e040a6cdc632f7c27_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 3 &amp; 1 -4\\lambda  \\\\[1.1ex]-2&amp;  \\lambda  \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{3\\lambda -\\bigl(-2(1-4\\lambda)\\bigr)}{13}= \\cfrac{3\\lambda -\\bigl(-2+8\\lambda\\bigr)}{13} = \\cfrac{\\bm{2-5\\lambda} }{\\bm{13}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"529\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> W\u00e4hrend die L\u00f6sung des Gleichungssystems eine Funktion von \u03bb ist, da es ein SCI ist und daher unendlich viele L\u00f6sungen hat:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c9866e045041eb2d8fe103db2309f229_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x =} \\cfrac{\\bm{3-14\\lambda} }{\\bm{13}} \\qquad \\bm{y=}\\cfrac{\\bm{2-5\\lambda} }{\\bm{13}} \\qquad \\bm{z = \\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Cramers Regel l\u00f6ste Probleme <\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Wenden Sie die Cramer-Regel an, um das folgende System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu l\u00f6sen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-pas-a-pas-de-la-regle-de-cramer-22.webp\" alt=\"\u00dcbung Schritt f\u00fcr Schritt mit der 2x2-Regel von Cramer gel\u00f6st\" class=\"wp-image-3999\" width=\"137\" height=\"83\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Als erstes m\u00fcssen die Matrix A und die erweiterte Matrix A\u2018 des Systems erstellt werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a001db9cf56846150730fee7126dacd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{cc} 2 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{cc|c} 2 &amp; 5 &amp; 8 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; 7 \\end{array}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"294\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir m\u00fcssen nun den Rang der Matrix A ermitteln. Dazu pr\u00fcfen wir, ob die Determinante der gesamten Matrix von 0 verschieden ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0c75c1c344c286016bea83237f1f418e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 2 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 \\end{vmatrix} = 8-5=3 \\bm{\\neq 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"216\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da die Matrix eine von 0 verschiedene 2\u00d72-Determinante hat, <strong>hat die Matrix A Rang 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;. Dies wird mindestens Rang 2 sein, da wir gerade gesehen haben, dass es eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 2 enth\u00e4lt. Dar\u00fcber hinaus kann es nicht Rang 3 sein, da wir keine 3\u00d73-Determinante erstellen k\u00f6nnen. Daher <strong>hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher wissen wir durch die Anwendung des <strong>Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems,<\/strong> dass es sich um ein <strong>kompatibles Determinantensystem<\/strong> (SCD) handelt, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A&#8216; und der Anzahl der Unbekannten ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbd67b16bb6d52a0696e70a77833cd3b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 2 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 2 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, wenden wir <strong>die Cramer-Regel<\/strong> an, um es zu l\u00f6sen.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-757d0eed520b26d08cc3b8b397d0f980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b0adeda8f2ce557661466996038b1148_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 8 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 7 &amp; 4\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{-3}{3} = \\bm{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"186\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fb4fb8b1addff607711094fd1ed326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59790a66cc31fac07be1d5a7bb556d9e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix}2 &amp; 8 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 7\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{6}{3} = \\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"150\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die L\u00f6sung des Gleichungssystems lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26fa7c9ed2d05ca07ff62a968ba7ab11_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x = -1 \\qquad y=2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Finden Sie die L\u00f6sung des folgenden Systems aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten mithilfe der Cramer-Regel: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-du-systeme-de-regles-de-cramer-des-equations-3-3.webp\" alt=\"\u00dcbung der Cramer-Regel eines 3x3-Gleichungssystems gel\u00f6st\" class=\"wp-image-4002\" width=\"181\" height=\"124\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eea75fbf6d86ebc3d0b9e236cd2160f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 1 &amp; 3 &amp; 2\\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 &amp; -1\\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 4 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 3 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 &amp; -1 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 4 &amp; 0 \\end{array}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"432\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir ermitteln nun den Rang der Matrix A, indem wir die Determinante der 3\u00d73-Matrix mit der Sarrus-Regel berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73f751f3b5c527c16b5de1b10bf07a4e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 1 &amp; 3 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 &amp; -1\\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 4 \\end{vmatrix} = 20-9+2-30-1+12=-6 \\bm{\\neq 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"445\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Matrix hat eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 3, <strong>die Matrix A hat den Rang 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> folglich hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 3:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Mithilfe des <strong>Satzes von Rouch\u00e9-Frobenius wissen wir daher,<\/strong> dass es sich um ein <strong>kompatibles Determinantensystem<\/strong> (SCD) handelt, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A&#8216; und der Anzahl der Unbekannten ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31b495a48a75d7af1f23e38818bf4eca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, m\u00fcssen wir die <strong>Cramer-Regel<\/strong> anwenden, um das System zu l\u00f6sen.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-757d0eed520b26d08cc3b8b397d0f980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc574297f609b68e4fb48466ec6c8077_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 2 &amp; 3 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 5 &amp; -1\\\\[1.1ex]0 &amp; -1 &amp; 4\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{-18}{-6} = \\bm{3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"235\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fb4fb8b1addff607711094fd1ed326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2544601137d62e217ff1866f278203d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix}1 &amp; 2 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 4 &amp; -1\\\\[1.1ex] 3 &amp; 0 &amp; 4\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{-6}{-6} = \\bm{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"224\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Berechnung<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23aa090e6102a41de5ad5515112e4d03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die dritte Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42d7d4adcfc48954185ca14b56b8e128_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{z} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 1 &amp; 3 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 0\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{12}{-6} = \\bm{-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"230\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die L\u00f6sung des Gleichungssystems lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-685195d3a299f30f6421bb387f7f00e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x =3 \\qquad y=1 \\qquad z=-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"210\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die L\u00f6sung des folgenden Systems aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten mithilfe der Cramer-Regel: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-regle-de-cramer.webp\" alt=\"Beispiel f\u00fcr die Cramer-Regel\" class=\"wp-image-4003\" width=\"183\" height=\"123\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd359275e5ebaaf3229504c47a5815f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 1 &amp; 2 &amp; 5\\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 4 &amp; -7 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 2 &amp; 5 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 4 &amp; -7 &amp; 9 \\end{array}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"377\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen den Umfang der Matrix A: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47ddf17a2b3eed5a680d685900a79b31_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 5\\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 4 &amp; -7 \\end{vmatrix} =-21-6+40-45+4+28=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"398\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdd4380c7c76418bd3ec12c94359f886_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3  \\end{vmatrix} = 3-4 = -1 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"186\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir die Ausdehnung der Matrix A kennen, berechnen wir die der Matrix A&#8216;. Die Determinante der ersten 3 Spalten ergibt 0, also probieren wir die anderen m\u00f6glichen 3\u00d73 Determinanten in der Matrix A&#8216; aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1addc62130e0462075b3bade26a7e35e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 2 &amp; 5 &amp; 1 \\\\[1.1ex]  3 &amp; -1 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 4 &amp; -7 &amp; 9 \\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix} 1 &amp; 5 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; -1 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -7 &amp; 9\\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 4 &amp; 9 \\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"412\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Alle Determinanten der Ordnung 3 ergeben 0. Die Matrix A&#8216; hat jedoch die gleiche 2\u00d72 Nicht-0-Determinante wie die Matrix A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7de377466bd5afd03f58f9b532324e75_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 \\end{vmatrix} = 3-4 = -1 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"186\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix A&#8216; ist, diese beiden jedoch kleiner sind als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3), wissen wir anhand des <strong>Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems<\/strong> , dass es sich um ein <strong>unbestimmt kompatibles System<\/strong> (ICS) handelt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96868a2569ea0ab5ca99d8dc606d3dc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \\ < \\ n =3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"475\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da wir ein ICS-System sind, m\u00fcssen wir eine Gleichung beseitigen. In diesem Fall <strong>streichen wir die letzte Gleichung<\/strong> aus dem System:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a1d067e155540f4345cf56e5c1567d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} x+2y+5z=1 \\\\[1.5ex] 2x+3y-z=5 \\\\[1.5ex]\\cancel{3x+4y-7z = 9} \\end{cases} \\longrightarrow \\quad \\begin{cases} x+2y+5z=1 \\\\[1.5ex] 2x+3y-z=5\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"357\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Nun wandeln wir die Variable z in \u03bb um:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b5fa91777a722d3783b2f887aab44152_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} x+2y+5z=1 \\\\[1.5ex] 2x+3y-z=5  \\end{cases} \\xrightarrow{z \\ = \\ \\lambda}\\quad \\begin{cases} x+2y+5\\lambda=1 \\\\[1.5ex] 2x+3y-\\lambda=5\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"369\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir setzen die Terme mit \u03bb mit den unabh\u00e4ngigen Termen zusammen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76ff21181be050b01c247981298986a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} x+2y=1-5\\lambda\\\\[1.5ex] 2x+3y=5+\\lambda \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> So dass die Matrix A und die Matrix A&#8216; des Systems bestehen bleiben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-230e5b28dd467127e63f4f9756cf90da_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 1 &amp; 2  \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{cc|c} 1 &amp; 2 &amp; 1 -5\\lambda \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp;5+\\lambda \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"335\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir das System transformiert haben, <strong>wenden wir schlie\u00dflich die Cramer-Regel an<\/strong> . Wir l\u00f6sen daher die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f127efbd217e2bca8852ec792610732f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3\\end{vmatrix} =-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"138\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-757d0eed520b26d08cc3b8b397d0f980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42652a14362b42e606841b6bb3e77cc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 1-5\\lambda &amp; 2 \\\\[1.1ex] 5+\\lambda &amp; 3 \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{3-15\\lambda -(10+2\\lambda)}{-1} = \\cfrac{-7-17\\lambda}{-1} = \\bm{7+17\\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"491\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fb4fb8b1addff607711094fd1ed326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b95c5870f1762a2d82c9ebcccbca7408_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 1 &amp; 1-5\\lambda \\\\[1.1ex] 2 &amp; 5+\\lambda \\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{5+\\lambda -(2-10\\lambda)}{-1}= \\cfrac{3+11\\lambda}{-1} = \\bm{-3-11\\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"465\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> W\u00e4hrend die L\u00f6sung des Gleichungssystems eine Funktion von \u03bb ist, da es ein SCI ist und daher unendlich viele L\u00f6sungen hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5483357f081aca551b07fe7c8f9ebf5d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x =7+17\\lambda} \\qquad \\bm{y=-3-11\\lambda} \\qquad \\bm{z = \\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"311\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-119\"><\/div>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 4<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie das folgende Problem eines Systems aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten, indem Sie die Cramer-Regel anwenden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61e1c3458f33b863db10750b9e51d09e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} -2x+5y+z=8 \\\\[1.5ex] 6x+2y+4z=4 \\\\[1.5ex] 3x-2y+z = -2 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"149\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zuerst konstruieren wir die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-743a40010cb4a610e8a3fc6ae5d313b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc}-2 &amp; 5 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 6 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 1\\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} -2 &amp; 5 &amp; 1 &amp; 8 \\\\[1.1ex] 6 &amp; 2 &amp; 4 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 1 &amp; -2 \\end{array}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"419\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Berechnen wir nun den Rang der Matrix A, indem wir die Determinante der 3&#215;3-Matrix mithilfe der Sarrus-Regel berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-713c634fbc3e1b1cb228e3891c9bff1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} -2 &amp; 5 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 6 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 1 \\end{vmatrix} = -4+60-12-6-16-30=-8 \\bm{\\neq 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"453\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Matrix hat eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 3, <strong>die Matrix A hat den Rang 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Folglich hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 3, da sie mindestens den gleichen Rang wie die Matrix A haben muss, und sie kann nicht den Rang 4 haben, da es sich um eine Matrix der Dimension 3\u00d74 handelt.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher folgern wir mithilfe des <strong>Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems,<\/strong> dass es sich um ein <strong>determiniertes kompatibles System<\/strong> (SCD) handelt, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A&#8216; und der Anzahl der Unbekannten ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31b495a48a75d7af1f23e38818bf4eca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir wissen, dass das System ein SCD ist, m\u00fcssen wir die <strong>Cramer-Regel<\/strong> anwenden, um das System zu l\u00f6sen.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-757d0eed520b26d08cc3b8b397d0f980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8a290479c69ff806f19dcf29f96e1228_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 8 &amp; 5 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -2 &amp; -2 &amp; 1\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{16}{-8} = \\bm{-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"231\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fb4fb8b1addff607711094fd1ed326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bba0765fbcbcebf0585520af25b4a30_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix}-2 &amp; 8 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 6 &amp; 4 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 1\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{0}{-6} = \\bm{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"217\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Berechnung<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23aa090e6102a41de5ad5515112e4d03_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die dritte Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bc157a8c4dfe8ee4651affac68ef878_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{z} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} -2 &amp; 5 &amp; 8 \\\\[1.1ex] 6 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; -2\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{-32}{-8} = \\bm{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"113\" width=\"247\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die L\u00f6sung des linearen Gleichungssystems lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c004c5c466235d2d1a784707145d952_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x =-2 \\qquad y=0 \\qquad z=4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Cramer-Regel: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-comment-resoudre-un-systeme-dequations-avec-la-regle-de-cramer.webp\" alt=\"Beispiel f\u00fcr die L\u00f6sung eines Gleichungssystems mit der Cramer-Regel\" class=\"wp-image-4008\" width=\"215\" height=\"127\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5153b5951b768cc3cafa2bb2567ba92_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 3 &amp; -2 &amp; -3 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 1 &amp; -2 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 3 &amp; -2 &amp; -3 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 &amp; 4 &amp; -10 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 1 &amp; -2 &amp; -2 \\end{array}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"455\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen den Umfang der Matrix A: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3778c9499e2a44ea3834dfed1523163_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 3 &amp; -2 &amp; -3 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 1 &amp; -2 \\end{vmatrix} =-30-40+3+75-12+4=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"426\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03d70742b14ced92f33963df0c86e92f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 3 &amp; -2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5  \\end{vmatrix} = 15- (2)= 13 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"231\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir die Ausdehnung der Matrix A kennen, berechnen wir die der Matrix A&#8216;. Die Determinante der ersten 3 Spalten ergibt 0, also probieren wir die anderen m\u00f6glichen 3\u00d73 Determinanten in der Matrix A&#8216; aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5bed93d532ae4ccd4649a73662f55f0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} -2 &amp; -3 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 4 &amp; -10 \\\\[1.1ex]  1 &amp; -2 &amp; -2 \\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix}3 &amp; -3 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 4 &amp; -10 \\\\[1.1ex] 5 &amp; -2 &amp; -2\\end{vmatrix} = 0 \\qquad \\begin{vmatrix} 3 &amp; -2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 &amp; -10 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 1 &amp;-2\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"535\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Alle Determinanten der Ordnung 3 ergeben 0. Aber offensichtlich hat die Matrix A&#8216; die gleiche Determinante der Ordnung 2 au\u00dfer 0 wie die Matrix A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-858d95d7d252b16706b66c0e6aba09c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 3 &amp; -2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 \\end{vmatrix} = 13 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 2:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Rang der Matrix A ist gleich dem Rang der Matrix A&#8216;, aber diese beiden sind kleiner als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3), sodass wir anhand des <strong>Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems<\/strong> wissen, dass es sich um ein <strong>unbestimmtes kompatibles System<\/strong> (SCI) handelt. :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96868a2569ea0ab5ca99d8dc606d3dc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \\ < \\ n =3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"475\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Da es sich um ein ICS-System handelt, m\u00fcssen wir eine Gleichung eliminieren. In diesem Fall <strong>streichen wir die letzte Gleichung<\/strong> aus dem System:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e10bd826663dff41c4272610cbc07b1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\\\[1.5ex] -x+5y+4z=-10 \\\\[1.5ex]\\cancel{5x+y-2z = -2} \\end{cases} \\longrightarrow \\quad \\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\\\[1.5ex] -x+5y+4z=-10\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"423\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Nun wandeln wir die Variable z in \u03bb um:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2502be450040b38761c08e5d6beaf379_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\\\[1.5ex] -x+5y+4z=-10  \\end{cases} \\xrightarrow{z \\ = \\ \\lambda}\\quad \\begin{cases} 3x-2y-3\\lambda=4 \\\\[1.5ex] -x+5y+4\\lambda=-10\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"444\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir setzen die Terme mit \u03bb mit den unabh\u00e4ngigen Termen zusammen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80a43d98e6be30965d554e8a89aa5d89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 3x-2y=4+3\\lambda \\\\[1.5ex] -x+5y=-10-4\\lambda\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"172\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> So dass die Matrix A und die Matrix A&#8216; des Systems bestehen bleiben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3451ce571163983cf41794d4998283d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 3 &amp; -2  \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{cc|c} 3 &amp; -2 &amp; 4+3\\lambda \\\\[1.1ex] 1 &amp; 5 &amp;-10-4\\lambda \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"399\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir das System transformiert haben, <strong>wenden wir schlie\u00dflich die Cramer-Regel an<\/strong> . Wir l\u00f6sen daher die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e7a7d6208ea5e762f5c74a44e6838cf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix}3&amp; -2 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 5\\end{vmatrix} =13\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"162\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-757d0eed520b26d08cc3b8b397d0f980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die erste Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c30fcc0526c2d4112eb4f60a3d8847f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 4+3\\lambda &amp; -2 \\\\[1.1ex]-10-4\\lambda &amp; 5\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{20+15\\lambda -(20+8\\lambda)}{13} = \\cfrac{\\bm{7\\lambda}}{\\bm{13}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"394\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Unbekannte zu berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fb4fb8b1addff607711094fd1ed326e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Mit der Cramer-Regel \u00e4ndern wir die zweite Spalte der Determinante von A durch die Spalte der unabh\u00e4ngigen Terme und dividieren sie durch die Determinante von A:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdb22a54274e019c811c9051502c474a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{y} = \\cfrac{\\begin{vmatrix} 3 &amp; 4+3\\lambda \\\\[1.1ex] -1 &amp; -10-4\\lambda\\end{vmatrix}}{\\begin{vmatrix} A \\end{vmatrix}} = \\cfrac{-30-12\\lambda -(-4-3\\lambda)}{13}= \\cfrac{\\bm{-26-9\\lambda}}{\\bm{13}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"81\" width=\"473\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Somit ist die L\u00f6sung des Gleichungssystems eine Funktion von \u03bb, da es ein SCI ist und das System daher unendlich viele L\u00f6sungen hat:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0e525b9aca6bd683491ab7950f039e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\bm{x=} \\cfrac{\\bm{7\\lambda}}{\\bm{13}} \\qquad \\bm{y=} \\cfrac{\\bm{-26-9\\lambda}}{\\bm{13}} \\qquad \\bm{z = \\lambda}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was die Cramer-Regel ist und au\u00dferdem finden Sie Beispiele und \u00dcbungen zur L\u00f6sung von Gleichungssystemen nach der Cramer-Regel. 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