{"id":305,"date":"2023-07-06T14:52:33","date_gmt":"2023-07-06T14:52:33","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/satz-von-de-rouche-frobenius-mit-beispielen-und-gelosten-ubungen\/"},"modified":"2023-07-06T14:52:33","modified_gmt":"2023-07-06T14:52:33","slug":"satz-von-de-rouche-frobenius-mit-beispielen-und-gelosten-ubungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/satz-von-de-rouche-frobenius-mit-beispielen-und-gelosten-ubungen\/","title":{"rendered":"Rouche-fr\u00e9benius-theorem"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was der <strong>Satz von Rouch\u00e9 Frobenius<\/strong> ist und wie man damit den Rang einer Matrix berechnet. Au\u00dferdem finden Sie Beispiele und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt mit dem Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem gel\u00f6st werden.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Was ist das Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem?<\/h2>\n<p> <strong>Das Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem ist eine Methode zur Klassifizierung linearer Gleichungssysteme.<\/strong> Mit anderen Worten: Der Satz von Rouch\u00e9-Frobenius wird verwendet, um herauszufinden, wie viele L\u00f6sungen ein Gleichungssystem hat, ohne es l\u00f6sen zu m\u00fcssen.<\/p>\n<p> Es gibt 3 Arten von Gleichungssystemen:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Systemkompatibel bestimmt (SCD):<\/strong> Das System verf\u00fcgt \u00fcber eine einzigartige L\u00f6sung.<\/li>\n<li> <strong>Unbestimmtes kompatibles System (ICS):<\/strong> Das System hat unendlich viele L\u00f6sungen.<\/li>\n<li> <strong>Systeminkompatibel (SI):<\/strong> Das System hat keine L\u00f6sung.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Dar\u00fcber hinaus wird uns der Satz von Rouch\u00e9-Frobenius sp\u00e4ter auch erm\u00f6glichen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/regelbeispiele-und-geloste-ubungen-von-cramer\/\">, Systeme mithilfe der Cramer-Regel zu l\u00f6sen<\/a> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Aussage des Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems<\/h2>\n<p> Das besagt das Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd767a13412c19de65e75a6826caee08_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{A}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Matrix, die durch die Koeffizienten der Unbekannten eines Gleichungssystems gebildet wird. und der Bauch<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf22ad0d457d763be692e97f3bcdf221_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{A'}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"17\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> oder <strong>erweiterte Matrix<\/strong> ist die Matrix, die aus den Koeffizienten der Unbekannten eines Gleichungssystems und den unabh\u00e4ngigen Termen gebildet wird: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><\/figure>\n<\/div>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p align=\"LEFT\" style=\"margin-bottom:20px\"> Das <strong>Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem<\/strong> erm\u00f6glicht es uns, anhand des Rangs der Matrizen A und A&#8216; zu erkennen, mit welcher Art von Gleichungssystem wir es zu tun haben:<\/p>\n<ul style=\"color:#E53935; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:20px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Wenn Rang(A) = Rang(A&#8216;) = Anzahl der Unbekannten \u27f6 Ermitteltes kompatibles System (SCD)<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:20px;\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Wenn Rang(A) = Rang(A&#8216;) &lt; Anzahl der Unbekannten \u27f6 Unbestimmtes kompatibles System (SCI)<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">wenn Bereich(A)\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be0e48d5500c7e73c450241ea2197789_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\neq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"13\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p><\/span> Bereich (A&#8216;) \u27f6 Inkompatibles System (SI)<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p> Sobald wir wissen, was der Satz von Rouch\u00e9-Frobenius sagt, werden wir sehen, wie wir die \u00dcbungen zum Satz von Rouch\u00e9-Frobenius l\u00f6sen k\u00f6nnen. Hier sind 3 Beispiele: eine \u00dcbung, die mit dem Satz jedes Gleichungssystemtyps gel\u00f6st wird.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel f\u00fcr ein ermitteltes kompatibles System (SCD)<\/h2>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6b2f93c6308c25e8df2fbb5da2af9a8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 2x+y-3z=0 \\\\[1.5ex] x+2y-z= 1 \\\\[1.5ex] 4x-2y+z = 3\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"135\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die <strong>Matrix A<\/strong> und die <strong>erweiterte Matrix A&#8216;<\/strong> des Systems sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4597f5171b586bbcf0915d8512f7b89d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 2 &amp; 1 &amp; -3  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2 &amp; -1  \\\\[1.1ex] 4 &amp; -2 &amp; 1  \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 2 &amp; 1 &amp; -3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2 &amp; -1 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 4 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 3\\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"405\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen nun den Rang der Matrix A. Dazu pr\u00fcfen wir, ob die Determinante der gesamten Matrix von 0 verschieden ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c95b7158a2e6401cd16aeb708f128ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 2 &amp; 1 &amp; -3  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2 &amp; -1  \\\\[1.1ex] 4 &amp; -2 &amp; 1  \\end{vmatrix} = 25 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"219\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da die Matrix eine von 0 verschiedene 3\u00d73-Determinante hat, <strong>hat die Matrix A Rang 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;, der mindestens Rang 3 sein wird, weil wir gerade gesehen haben, dass er eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 3 enth\u00e4lt. Au\u00dferdem kann er nicht den Rang 4 haben. da wir keine Determinante der Ordnung 4 machen k\u00f6nnen. Daher <strong>hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da also der Rang der Matrix A gleich dem Rang der Matrix A&#8216; und der Anzahl der Unbekannten des Systems (3) ist, wissen wir durch den Satz von Rouch\u00e9 Frobenius, dass es sich um ein <strong>kompatibles determiniertes System<\/strong> (SCD) handelt. :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-557185e16670c72d23eec5a3ea13b487_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel eines unbestimmten kompatiblen Systems (ICS)<\/h2>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2360b9a47257f73cf3f5dea63fb24098_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} x-y+2z=1 \\\\[1.5ex] 3x+2y+z= 5 \\\\[1.5ex] 2x+3y-z = 4\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"135\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die <strong>Matrix A<\/strong> und die <strong>erweiterte Matrix A&#8216;<\/strong> des Systems sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b281235e2702433b447e2586ae3092c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 1 &amp; -1 &amp; 2  \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; -1  \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 5  \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; -1 &amp; 4 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"405\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen nun den Rang der Matrix A. Dazu pr\u00fcfen wir, ob die Determinante der gesamten Matrix von 0 verschieden ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74cafc27ab41134696c3bf263132b98b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 1 &amp; -1 &amp; 2  \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; -1 \\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"178\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante der gesamten Matrix A ergibt 0, hat also nicht den Rang 3. Um zu sehen, ob sie den Rang 2 hat, m\u00fcssen wir in A eine Untermatrix finden, deren Determinante von 0 verschieden ist. Zum Beispiel die aus der oberen linken Ecke :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22b2487f7664a70c116593120de2743b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 1 &amp; -1  \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 \\end{vmatrix} = 5 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"123\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da die Matrix eine von 0 verschiedene 2\u00d72-Determinante hat, <strong>hat die Matrix A Rang 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;. Wir wissen bereits, dass die Determinante der ersten drei Spalten 0 ergibt, also probieren wir die anderen m\u00f6glichen 3\u00d73-Determinanten aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-17f264ad3859da88ffa6784be24e4143_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}1 &amp; -1 &amp;  1 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 5  \\\\[1.1ex] 2 &amp; 3 &amp; 4\\end{vmatrix} = 0 \\quad \\begin{vmatrix}1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 3 &amp;  1 &amp; 5  \\\\[1.1ex] 2 &amp; -1 &amp; 4\\end{vmatrix} = 0 \\quad \\begin{vmatrix} -1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 1 &amp; 5  \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 4\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"404\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Alle 3\u00d73 Determinanten der Matrix A&#8216; sind 0, daher wird die Matrix A&#8216; auch nicht den Rang 3 haben. Im Inneren gibt es jedoch Determinanten der Ordnung 2, die von 0 verschieden sind. Zum Beispiel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22b2487f7664a70c116593120de2743b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 1 &amp; -1  \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 \\end{vmatrix} = 5 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"123\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <strong>Die Matrix A&#8216; hat also den Rang 2<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Ausdehnung der Matrix A ist gleich der Ausdehnung der Matrix A&#8216;, diese sind jedoch kleiner als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3). Daher handelt es sich nach dem Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem um ein <strong>unbestimmtes kompatibles System<\/strong> (ICS):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96868a2569ea0ab5ca99d8dc606d3dc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \\ < \\ n =3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"475\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel f\u00fcr ein inkompatibles System (IS)<\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30e1084dd637eb4371f6b2218af24136_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 2x+y-2z=3 \\\\[1.5ex] 3x-2y+z= 2 \\\\[1.5ex] x+4-5z = 3 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"135\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>Die <strong>Matrix A<\/strong> und die <strong>erweiterte Matrix A&#8216;<\/strong> des Systems sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b435d86f1466af5748d91e6c9bd813e3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 2 &amp; 1 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; -5 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 2 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 1 &amp; 2  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; -5 &amp; 3 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"405\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen nun den Rang der Matrix A. Dazu pr\u00fcfen wir, ob die Determinante der gesamten Matrix von 0 verschieden ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-714538c91aa2620a6adb40581245f0e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 2 &amp; 1 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; -5 \\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"178\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Determinante der gesamten Matrix A ergibt 0, hat also nicht den Rang 3. Um zu sehen, ob sie den Rang 2 hat, m\u00fcssen wir in A eine Untermatrix finden, deren Determinante von 0 verschieden ist. Zum Beispiel die aus der oberen linken Ecke :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5a46decda8fd850d9c847922b0c896db_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 2 &amp; 1  \\\\[1.1ex] 3 &amp; -2 \\end{vmatrix} = -7 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da die Matrix eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 2 hat, <strong>hat die Matrix A den Rang 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;. Wir wissen bereits, dass die Determinante der ersten 3 Spalten 0 ergibt, also versuchen wir es jetzt beispielsweise mit der Determinante der letzten 3 Spalten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47aecdf801b92f21f2287fb96eaaa3f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 1 &amp; -2 &amp; 3 \\\\[1.1ex]  -2 &amp; 1 &amp; 2  \\\\[1.1ex]  4 &amp; -5 &amp; 3 \\end{vmatrix} = 3 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"161\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits enth\u00e4lt die Matrix A&#8216; eine Determinante, deren Ergebnis von 0 verschieden ist, daher <strong>hat die Matrix A&#8216; den Rang 3<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da der Rang der Matrix A kleiner ist als der Rang der Matrix A&#8216;, schlie\u00dfen wir aus dem Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem, dass es sich um ein <strong>inkompatibles System<\/strong> (SI) handelt <strong>:<\/strong> <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\">\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3da0513f318d25473e93ba88c51fb42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \\ \\neq \\ rg(A') = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"426\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Probleme des Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems gel\u00f6st <\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h3 class=\"estil_titol_H3 wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie den Typ des folgenden Gleichungssystems mit 3 Unbekannten mithilfe des Satzes von Rouch\u00e9-Frobenius: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-du-theoreme-de-rouche-8211-frebenius-1.webp\" alt=\"Gel\u00f6ste \u00dcbung zum Satz von Rouche \u2013 Frobenius\" class=\"wp-image-3984\" width=\"193\" height=\"122\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-951ce5c1f0c606d4f060a1de58b60303_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 2 &amp; 1 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; -1 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 &amp; 2 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 2 &amp; 1 &amp; -3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; -1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 8 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"432\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir m\u00fcssen nun den Rang der Matrix A ermitteln. Dazu pr\u00fcfen wir, ob die Determinante der Matrix von 0 verschieden ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15cddb69f7590648d1d6ae61d942471e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 2 &amp; 1 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; -1 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 &amp; 2 \\end{vmatrix} = -4+2-36+6+8-6=-30 \\bm{\\neq 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"450\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Matrix hat eine von 0 verschiedene Determinante dritter Ordnung, <strong>die Matrix A hat Rang 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;. Dies wird mindestens Rang 3 sein, da wir gerade gesehen haben, dass es eine von 0 verschiedene Determinante der Ordnung 3 enth\u00e4lt. Dar\u00fcber hinaus kann es nicht Rang 4 sein, da wir keine 4\u00d74-Determinante erstellen k\u00f6nnen. Daher <strong>hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dank des Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems wissen wir also, dass es sich um ein <strong>determiniertes kompatibles System<\/strong> (SCD) handelt, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A&#8216; und der Anzahl der Unbekannten ist. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31b495a48a75d7af1f23e38818bf4eca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Klassifizieren Sie das folgende Gleichungssystem mit 3 Unbekannten mithilfe des Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-du-theoreme-de-rouche-8211-frebenius-2.webp\" alt=\"Gel\u00f6ste \u00dcbung des Rouche-Frobenius-Theorems\" class=\"wp-image-3987\" width=\"190\" height=\"121\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir konstruieren zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45e13aabe233ece927df7c9ba0bb3ec1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc}3 &amp; -1 &amp; 2  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2 &amp; -2  \\\\[1.1ex] 1 &amp; -5 &amp; 6 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 3 &amp; -1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2 &amp; -2 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -5 &amp; 6 &amp; -9 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"419\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Berechnen wir nun den Bereich der Matrix A: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87bc95df0033834bba0398b8421faac5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 3 &amp; -1 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -5 &amp; 6 \\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"178\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9805283b75e2b89f67c7865a1263112_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 3 &amp; -1  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2 \\end{vmatrix} = 7 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"123\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Matrix A hat also Rang 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;. Wir wissen bereits, dass die Determinante der ersten drei Spalten 0 ergibt, also probieren wir die anderen m\u00f6glichen 3\u00d73-Determinanten aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6457fe3f03722b7f0d955191f318915_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}-1 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 2 &amp; -2 &amp; 5 \\\\[1.1ex] -5 &amp; 6 &amp; -9\\end{vmatrix} = 0 \\quad \\begin{vmatrix}3 &amp; 2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 6 &amp; -9\\end{vmatrix} = 0 \\quad \\begin{vmatrix} 3 &amp; -1 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 2 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -5 &amp; -9\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"446\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Alle 3\u00d73 Determinanten der Matrix A&#8216; sind 0, daher wird die Matrix A&#8216; auch nicht den Rang 3 haben. Im Inneren gibt es jedoch viele Determinanten der Ordnung 2, die sich von 0 unterscheiden. Zum Beispiel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eafa4747802fae3f0c36350357abbeb2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} -1 &amp; 2  \\\\[1.1ex] 2 &amp; -2 \\end{vmatrix} = -2 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"150\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Die Matrix A&#8216; hat also den Rang 2<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Rang der Matrix A ist gleich dem Rang der Matrix A&#8216;, aber diese beiden sind kleiner als die Anzahl der Unbekannten des Systems (3). Daher wissen wir durch das Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem, dass es sich um ein <strong>unbestimmtes kompatibles System<\/strong> (ICS) handelt: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96868a2569ea0ab5ca99d8dc606d3dc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \\ < \\ n =3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"475\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie mithilfe des Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems, um welche Art von System es sich bei dem folgenden Gleichungssystem handelt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-du-theoreme-de-rouche-8211-frebenius-3.webp\" alt=\"\u00dcbung Schritt f\u00fcr Schritt zum Rouche-Theorem gel\u00f6st - Frobenius\" class=\"wp-image-3990\" width=\"188\" height=\"122\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1820d31e4fd5c79804c9b6fa15abb469_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 1 &amp; 4 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 3  \\\\[1.1ex] 5 &amp; 7 &amp; -1 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 1 &amp; 4 &amp; -2 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 3 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 7 &amp; -1 &amp; 0 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"419\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Berechnen wir nun den Bereich der Matrix A: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f998260ee4c96673085ea6fd4ca87ba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 1 &amp; 4 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 7 &amp; -1\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"178\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-159a1c58fdcd972b4b08e4795950e064_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 1 &amp; 4  \\\\[1.1ex] 3 &amp; -1 \\end{vmatrix} = -13 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Matrix A hat also Rang 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;. Wir wissen bereits, dass die Determinante der ersten 3 Spalten 0 ergibt, die Determinante der letzten 3 Spalten jedoch nicht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c673a5bbbd41933208169fa3e08b7c62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 4 &amp; -2 &amp; 3 \\\\[1.1ex]-1 &amp; 3 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 7 &amp; -1 &amp; 0 \\end{vmatrix} = -40 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"198\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher <strong>hat die Matrix A&#8216; Rang 3<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Rang der Matrix A ist kleiner als der Rang der Matrix A&#8216;, daher k\u00f6nnen wir aus dem Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem ableiten, dass es sich um ein <strong>inkompatibles System<\/strong> (SI) handelt <strong>:<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3da0513f318d25473e93ba88c51fb42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \\ \\neq \\ rg(A') = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"426\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-119\"><\/div>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie den Typ des folgenden Gleichungssystems mit 3 Unbekannten mithilfe des Satzes von Rouch\u00e9-Frobenius: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-du-theoreme-de-rouche-8211-frobenius-3-inconnues-3-equations.webp\" alt=\"Rouche \u2013 Frobenius-Theorem gel\u00f6ste \u00dcbung mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen\" class=\"wp-image-3991\" width=\"203\" height=\"122\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f8a0454c53a64f612c689ba1dae1196b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 5 &amp; -3 &amp; -2  \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; 1  \\\\[1.1ex]-3 &amp; 2 &amp; -2  \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 5 &amp; -3 &amp; -2 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; 1 &amp; 7 \\\\[1.1ex]-3 &amp; 2 &amp; -2 &amp; 3 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"446\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir m\u00fcssen nun den Rang der Matrix A berechnen. Dazu l\u00f6sen wir die Determinante der Matrix mit der Sarrus-Regel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-420f0d1ee000f39cbfbce88bf122f413_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 5 &amp; -3 &amp; -2 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; 1 \\\\[1.1ex]-3 &amp; 2 &amp; -2 \\end{vmatrix} = -40+9-4-24-10-6=-75 \\bm{\\neq 0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"467\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Matrix hat eine von 0 verschiedene Determinante dritter Ordnung, <strong>die Matrix A hat Rang 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-842ae3b68df41813d9e409968f3ae946_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher <strong>hat die Matrix A&#8216; auch den Rang 3<\/strong> , da sie immer mindestens den Rang A hat, und sie kann nicht den Rang 4 haben, da wir keine 4\u00d74-Determinante aufl\u00f6sen k\u00f6nnen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dank der Anwendung des Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems wissen wir also, dass das System ein <strong>kompatibles determiniertes System<\/strong> (SCD) ist, da der Bereich von A gleich dem Bereich von A&#8216; und der Anzahl der Unbekannten ist. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31b495a48a75d7af1f23e38818bf4eca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 3 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3 \\end{array}} \\\\ \\\\ \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCD}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"436\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> Identifizieren Sie mithilfe des Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems, um welche Art von System es sich bei dem folgenden Gleichungssystem handelt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-du-theoreme-de-rouche-8211-frebenius.webp\" alt=\"Beispiel f\u00fcr den Satz von Rouche \u2013 Frobenius\" class=\"wp-image-3992\" width=\"205\" height=\"122\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir erstellen zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3211e276b2b040969c38bc6c69eabd52_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 4 &amp; -1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 7 &amp; 3 \\\\[1.1ex] -5 &amp; 8 &amp; 0 \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 4 &amp; -1 &amp; 3 &amp; 5 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 7 &amp; 3 &amp; -3 \\\\[1.1ex] -5 &amp; 8 &amp; 0 &amp; 9 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"419\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Berechnen wir nun den Bereich der Matrix A: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21004095a3a8ef3edfc15bed5c7853a4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 4 &amp; -1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] -1 &amp; 7 &amp; 3 \\\\[1.1ex] -5 &amp; 8 &amp; 0\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"178\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a58059046b56cf1f8d82c6c8939e44ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 4 &amp; -1  \\\\[1.1ex]  -1 &amp; 7 \\end{vmatrix} = 27 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Matrix A hat daher Rang 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;. Die Determinante der ersten drei Spalten, die wir bereits kennen, ergibt 0, aber die Determinante der letzten drei Spalten ergibt nicht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-992718d3b50aedf77c80c262fad5845f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} -1 &amp; 3 &amp; 5 \\\\[1.1ex]  7 &amp; 3 &amp; -3 \\\\[1.1ex] 8 &amp; 0 &amp; 9\\end{vmatrix} = -408 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"193\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher <strong>hat die Matrix A&#8216; Rang 3<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-150bbc9c8e363db471c2d5bc4f33e1fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich wenden wir den Bereich auf das Rouch\u00e9-Frobenius-Theorem an: Der Bereich der Matrix A ist kleiner als der Bereich der Matrix A&#8216;, es handelt sich daher um ein <strong>inkompatibles System<\/strong> (SI) <strong>:<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3da0513f318d25473e93ba88c51fb42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=3 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \\ \\neq \\ rg(A') = 3 \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"426\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 6<\/h3>\n<p> Klassifizieren Sie das folgende Gleichungssystem der Ordnung 3 mit dem Satz von Rouch\u00e9-Frobenius: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d45e8bc425b08e403a98e01693201681_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{cases} 6x-2y+4z=1 \\\\[1.5ex] -2x+4y+3z= 7 \\\\[1.5ex] 8x-6y+z = -6\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"97\" width=\"158\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir konstruieren zun\u00e4chst die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; des Systems:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e779eca9135adc44e4a3a55f368560f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  A= \\left( \\begin{array}{ccc} 6 &amp; -2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 8 &amp; -6 &amp; 1  \\end{array} \\right) \\qquad A'= \\left( \\begin{array}{ccc|c} 6 &amp; -2 &amp; 4 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 &amp; 3 &amp; 7 \\\\[1.1ex] 8 &amp; -6 &amp; 1 &amp; -6 \\end{array} \\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"419\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Berechnen wir nun den Bereich der Matrix A: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2f63f79858eae462547cf2f270fc780_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix}A \\end{vmatrix}= \\begin{vmatrix} 6 &amp; -2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 8 &amp; -6 &amp; 1 \\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"178\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e5fa293b94b8c6acfd998f1e154abf7a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 6 &amp; -2  \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 \\end{vmatrix} = 20  \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Matrix A hat also Rang 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eded270b78ab3d95ce827e3ea428efb1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A)=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir den Rang von A kennen, berechnen wir den Rang von A&#8216;. Wir wissen bereits, dass die Determinante der ersten drei Spalten 0 ergibt, also probieren wir die anderen m\u00f6glichen 3\u00d73-Determinanten aus:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98958f866454a1bf9f1ac078562065cd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} -2 &amp; 4 &amp; 1 \\\\[1.1ex]4 &amp; 3 &amp; 7 \\\\[1.1ex] -6 &amp; 1 &amp; -6\\end{vmatrix} = 0 \\quad \\begin{vmatrix}6 &amp; 4 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 3 &amp; 7 \\\\[1.1ex] 8 &amp;  1 &amp; -6\\end{vmatrix} = 0 \\quad \\begin{vmatrix} 6 &amp; -2 &amp; 1 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 &amp; 7 \\\\[1.1ex] 8 &amp; -6 &amp; -6\\end{vmatrix} = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"446\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Alle 3\u00d73 Determinanten der Matrix A&#8216; sind 0, daher wird die Matrix A&#8216; auch nicht den Rang 3 haben. Im Inneren gibt es jedoch Determinanten der Ordnung 2, die sich von 0 unterscheiden. Zum Beispiel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-58091f1a37a4ef81fdf56f01dd9531a3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{vmatrix} 6 &amp; -2 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 4 \\end{vmatrix} = 20 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"145\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <strong>Die Matrix A&#8216; hat also den Rang 2<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-80398cfd2fff647f81c0d4160f3b2f7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  rg(A')=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"81\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Schlie\u00dflich wissen wir durch die Anwendung des Rouch\u00e9-Frobenius-Theorems, dass es sich um ein <strong>unbestimmtes kompatibles System<\/strong> (ICS) handelt, da der Bereich der Matrix A gleich dem Bereich der Matrix A&#8216; ist, diese beiden jedoch kleiner sind als die Anzahl der Unbekannten im System(3): <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96868a2569ea0ab5ca99d8dc606d3dc9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{array}{c} \\begin{array}{c} \\color{black}rg(A) = 2 \\\\[1.3ex] \\color{black}rg(A')=2 \\\\[1.3ex] \\color{black}\\text{N\\'umero de inc\\'ognitas} = 3    \\end{array}} \\\\ \\\\  \\color{blue} \\boxed{ \\color{black}\\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \\ < \\ n =3  \\color{blue} \\ \\bm{\\longrightarrow} \\ \\color{black} \\bm{SCI}\\phantom{^9_9}} \\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"138\" width=\"475\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was der Satz von Rouch\u00e9 Frobenius ist und wie man damit den Rang einer Matrix berechnet. 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