{"id":304,"date":"2023-07-06T15:21:06","date_gmt":"2023-07-06T15:21:06","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/grad-eines-polynoms\/"},"modified":"2023-07-06T15:21:06","modified_gmt":"2023-07-06T15:21:06","slug":"grad-eines-polynoms","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/grad-eines-polynoms\/","title":{"rendered":"Grad eines polynoms"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was der Grad eines Polynoms ist (absoluter Grad und relativer Grad) und wie man den Grad eines Polynoms erkennt. Au\u00dferdem k\u00f6nnen Sie einige Beispiele sehen, wie der Grad eines Polynoms bestimmt wird, und au\u00dferdem erfahren Sie, wie Polynome nach ihrem Grad klassifiziert werden. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-el-grado-de-un-polinomio\"><\/span> Welchen Grad hat ein Polynom?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Definition des Grades eines Polynoms lautet wie folgt:<\/p>\n<p> <strong>In der Mathematik ist der Grad eines Polynoms der gr\u00f6\u00dfte Exponent, auf den die Polynomvariable angehoben wird.<\/strong><\/p>\n<p> Das folgende Polynom hat beispielsweise den Grad 5, da der Maximalwert der Exponenten seiner Terme 5 betr\u00e4gt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7fcca51a02c5abdfd8a12ef79c2785f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Obwohl es ein sehr einfaches Konzept zu sein scheint, ist es wichtig zu wissen, wie man den Grad eines Polynoms ermittelt, um Polynome korrekt addieren und subtrahieren zu k\u00f6nnen. Warum es so wichtig ist, erfahren Sie in den<a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/summe-von-polynomen-beispiele-geloste-aufgaben-addition\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Beispielen zur Addition von Polynomen<\/span><\/strong><\/a> und <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/subtraktion-von-polynomen-beispiele-geloste-aufgaben-subtraktion\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Beispielen zur Subtraktion von Polynomen<\/span><\/strong><\/a> . Au\u00dferdem k\u00f6nnen Sie diese beiden Arten von Operationen mit Polynomen anhand gel\u00f6ster \u00dcbungen \u00fcben.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-de-grados-de-polinomios\"><\/span> Beispiele f\u00fcr Polynomgrade<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sobald wir wissen, wie man den Grad eines Polynoms ermittelt, schauen wir uns andere Beispiele an, um seine Bedeutung zu verstehen: <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.superprof.es\/clases\/matematicas\/espana\/?_src=9&amp;aff=1812\" target=\"_blank\"><\/a><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.superprof.es\/clases\/matematicas\/espana\/?_src=9&amp;aff=1812\" target=\"_blank\"><\/a><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.superprof.es\/clases\/matematicas\/espana\/?_src=9&amp;aff=1812\" target=\"_blank\"><\/a><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.superprof.es\/clases\/matematicas\/espana\/?_src=9&amp;aff=1812\" target=\"_blank\"><\/a><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.superprof.es\/clases\/matematicas\/espana\/?_src=9&amp;aff=1812\" target=\"_blank\"><\/a><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.superprof.es\/clases\/matematicas\/espana\/?_src=9&amp;aff=1812\" target=\"_blank\"><\/a><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.superprof.es\/clases\/matematicas\/espana\/?_src=9&amp;aff=1812\" target=\"_blank\"><\/a><a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/www.superprof.es\/clases\/matematicas\/espana\/?_src=9&amp;aff=1812\" target=\"_blank\"><\/a><\/p>\n<ul>\n<li> Beispiel f\u00fcr ein Polynom vom Grad Null:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1f126168687c7e08f5e42d8a5ff9c4a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Beispiel f\u00fcr ein Polynom ersten Grades:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-946d2d190b314e9a1e6e11c6351981b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = 3x+2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Beispiel f\u00fcr ein Polynom zweiten Grades:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-859b10f44ce6d4268e09824490d20b5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^2+7x-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Beispiel f\u00fcr ein Polynom dritten Grades:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fcb451c07206eb39124c0ace7e889841_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = 2x^3+5x^2-9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Beispiel f\u00fcr ein Polynom vierten Grades: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d67bd26fe754b92f9197dae15dbe49e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFComo-saber-el-grado-de-un-polinomio-con-dos-o-mas-variables\"><\/span> Wie erkennt man den Grad eines Polynoms mit zwei oder mehr Variablen?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir haben gerade gesehen, wie der Grad eines univariablen Polynoms, also mit einer einzigen Variablen, bestimmt wird. Aber welchen Grad hat ein multivariables Polynom?<\/p>\n<p> In der Algebra gibt es zwei Arten von Polynomgraden, wenn sie mehr als eine Variable haben:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Absoluter Grad<\/strong> : Der absolute Grad entspricht dem maximalen Grad der Monome, die das Polynom bilden<\/li>\n<li> <strong>Relativer Grad<\/strong> : Der relative Grad in Bezug auf eine bestimmte Variable entspricht dem gr\u00f6\u00dften Exponenten dieser Variablen.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Um den absoluten Grad eines Polynoms zu bestimmen, m\u00fcssen Sie nat\u00fcrlich wissen, wie der Grad eines Monoms mit zwei oder mehr Variablen berechnet wird. Wenn Sie sich also nicht erinnern, wie das gemacht wurde, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf unsere Seite zu den <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/teile-eines-monomkoeffizienten,-teilliteral-und-variabler-grad\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">Teilen<\/span><\/strong><\/a> zu werfen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/teile-eines-monomkoeffizienten,-teilliteral-und-variabler-grad\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">eines Monoms<\/span><\/strong><\/a> . Auf dieser Seite finden Sie eine Erkl\u00e4rung aller Teile eines Monoms und insbesondere, <span style=\"text-decoration: underline;\">wie Sie den Grad eines multivariablen Monoms bestimmen<\/span> .<\/p>\n<p> Als Beispiel finden wir die absoluten und relativen Grade des folgenden Polynoms mit 3 Variablen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14c23a38a656a0b7793fce158e93c71d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Was den absoluten Grad des Polynoms betrifft, so hat sein erstes Monom den Grad 9, der zweite Term des Polynoms den Grad 6 und schlie\u00dflich das dritte Element des Polynoms den Grad 8. Daher betr\u00e4gt der absolute Grad des Polynoms von das Problem ist 9, da es der maximale Grad seiner Monome ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51f924b29a856b49d94b6e4161ee5168_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"253\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der relative Grad hingegen bezieht sich auf jede Variable einzeln und besteht aus dem maximalen Exponenten dieser Variablen. Somit betr\u00e4gt der maximale Grad der Variablen <em>x<\/em> 5, der relative Grad der Variablen <em>y<\/em> betr\u00e4gt 6 und schlie\u00dflich betr\u00e4gt der Grad in Bezug auf den Buchstaben <em>z<\/em> 2.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e44a1c4820d800947fdfad9e2e4a018e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Grado relativo de } x = 5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fdd90aecb2bae99ce30a9354f23812e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Grado relativo de } y = 6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b493f8f4a6e6090450c496652a5e166f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Grado relativo de } z = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Tipos-de-polinomios-segun-el-grado-de-sus-monomios\"><\/span> Arten von Polynomen nach dem Grad ihrer Monome<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Bestimmte bestimmte Polynome k\u00f6nnen nach dem Grad ihrer Terme klassifiziert werden:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Geordnetes Polynom<\/strong> : Ein Polynom ist geordnet, wenn seine Monome vom h\u00f6chsten zum niedrigsten Grad geschrieben werden.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-815dd6636e1955ea61e9ac8b27a426be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das vorherige Polynom ist geordnet, da seine Monome nach ihrem Grad in absteigender Reihenfolge geordnet sind.<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Vollst\u00e4ndiges Polynom<\/strong> : das Polynom, das alle Terme aller Grade vom Monom h\u00f6chsten Grades bis zum unabh\u00e4ngigen Term enth\u00e4lt.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-278c4d4d2adf7e784c19c7760b0d9e3f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"287\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Logischerweise ist die Anzahl der Terme in jedem vollst\u00e4ndigen Polynom gleich dem Grad des Polynoms plus 1.<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Unvollst\u00e4ndiges Polynom<\/strong> : Polynom, bei dem ein Term eines bestimmten Grades zwischen dem Monom h\u00f6heren Grades und dem unabh\u00e4ngigen Term fehlt.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b6f18ecc498f892ea306c3bc154fb7f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^5+4x^3-7x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Homogenes Polynom<\/strong> : Ein Polynom ist homogen, wenn alle seine Elemente den gleichen Grad haben. Das folgende Polynom ist beispielsweise homogen, weil alle seine Monome vom Grad 7 sind.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38210759b3d11648975eae20ac89fdde_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x,y) =  6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"245\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Heterogenes Polynom<\/strong> : Ein Polynom ist heterogen, wenn mindestens einer seiner Terme einen anderen Grad hat als alle anderen Terme, aus denen das Polynom besteht.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0167d44da47b6687db1471857dc0a7a7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x,y) =  4x^3+11x^5-6y^5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das Polynom aus der vorherigen \u00dcbung hat zwei Monome gleichen Grades (11x <sup>5<\/sup> und -6y <sup>5<\/sup> ), aber da 4x <sup>3<\/sup> einen unterschiedlichen Grad hat, ist es ein heterogenes Polynom.<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Identische Polynome<\/strong> \u2013 Zwei Polynome sind identisch, wenn die Koeffizienten von Termen gleichen Grades \u00e4quivalent sind.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-021f7dbd07b9ebc159a23f1644e524f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x,y) = x^6+3x^4-5x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-193b357b4614e16c10180d44ce0095e8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x,y) = x^6+3x^4-5x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"193\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Gegenpolynom<\/strong> : Zwei Polynome sind entgegengesetzt, wenn ihre Monome genau gleich sind, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d061069071e226e08110b2dfe676067a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x) = x^4+4x^2-3x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-81e91902303e7ba06c7e0881e29db6c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Q(x) = -x^4-4x^2+3x-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"212\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was der Grad eines Polynoms ist (absoluter Grad und relativer Grad) und wie man den Grad eines Polynoms erkennt. 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