{"id":303,"date":"2023-07-06T15:29:16","date_gmt":"2023-07-06T15:29:16","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/involutionsmatrix\/"},"modified":"2023-07-06T15:29:16","modified_gmt":"2023-07-06T15:29:16","slug":"involutionsmatrix","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/involutionsmatrix\/","title":{"rendered":"Involutionsmatrix"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite erfahren Sie, was eine involutierende Matrix ist. Wir zeigen Ihnen auch Beispiele f\u00fcr involutive Matrizen der Dimensionen 2\u00d72, 3\u00d73 und 4\u00d74. Und schlie\u00dflich finden Sie die Formel f\u00fcr eine Involutionsmatrix.<\/p>\n

Was ist eine Involutionsmatrix?<\/h2>\n

Die Bedeutung der Involutionsmatrix ist wie folgt: <\/p>\n

\n

Definition einer involutiven Matrix<\/strong> : Eine invertierbare quadratische Matrix, deren inverse Matrix die Matrix selbst ist.<\/p>\n<\/p>\n

\"A^{-1}<\/p>\n<\/p>\n

Gold<\/p>\n<\/p>\n

\"A\"<\/p>\n

ist eine beliebige Matrix und<\/p>\n

\"A^{-1}\"<\/p>\n

stellt seine Umkehrung dar.<\/p>\n<\/div>\n

Eine Involutionsmatrix ist also offensichtlich ein Beispiel f\u00fcr eine regul\u00e4re oder nicht entartete Matrix<\/a> .<\/p>\n

Wenn Sie nicht wissen, was die Inverse einer Matrix ist, k\u00f6nnen Sie hier sehen, wie Sie die 3×3-Inverse-Matrix<\/a> berechnen. Es ist wichtig zu wissen, wie man eine Matrix invertiert. Dazu m\u00fcssen Sie jedoch auch wissen, wie der Adjungierte einer Matrix<\/a> berechnet wird.<\/p>\n

Aber zur\u00fcck zum Thema: Wenn eine Matrix involutiv ist, ergibt die Multiplikation der Matrix mit der Matrix selbst die Identit\u00e4tsmatrix. Schauen Sie sich die Demo an:<\/p>\n

Jede mit ihrer Umkehrung multiplizierte Matrix ergibt die Identit\u00e4ts- (oder Einheits-)Matrix. ALSO:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Und da die Umkehrung einer Involutionsmatrix die Matrix selbst ist:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Folglich ergibt eine quadratische Involutionsmatrix die Identit\u00e4tsmatrix: <\/p>\n

\n
\"Was<\/figure>\n<\/div>\n

Beispiele f\u00fcr Involutionsmatrizen<\/h2>\n

Beispiel einer 2\u00d72-Evolventenmatrix: <\/h3>\n
\n
\"Beispiel<\/figure>\n<\/div>\n

Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um eine Involutionsmatrix handelt, indem wir die zweite Potenz der Matrix berechnen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Da die quadratische Matrix A die Identit\u00e4tsmatrix ist, ist Matrix A eine 2\u00d72-Involutionsmatrix.<\/p>\n

Beispiel einer 3\u00d73-Evolventenmatrix: <\/h3>\n
\n
\"Beispiel<\/figure>\n<\/div>\n

Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um eine Involutionsmatrix handelt, indem wir das Produkt der Matrix selbst l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Da die quadratische Matrix B die Identit\u00e4tsmatrix ist, ist Matrix B eine 3\u00d73-Involutionsmatrix.<\/p>\n

Beispiel einer 4\u00d74-Evolventenmatrix:<\/h3>\n

Die Identit\u00e4ts- (oder Einheits-)Matrix ist, unabh\u00e4ngig von ihrer Dimension, per Definition eine Involutionsmatrix.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wir k\u00f6nnen \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um eine Involutionsmatrix handelt, indem wir die Matrix auf 2 erh\u00f6hen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Da die quadratische Identit\u00e4tsmatrix die Identit\u00e4tsmatrix ist, ist die Identit\u00e4tsmatrix eine 4 \u00d7 4-Involutionsmatrix.<\/p>\n

Offensichtlich kann die Identit\u00e4tsmatrix jede Dimension haben, da es sich einfach um eine Diagonalmatrix handelt, bei der alle Einsen auf der Hauptdiagonale liegen und der Rest 0 ist. Die Identit\u00e4tsmatrix wird also immer eine Involutionsmatrix sein, unabh\u00e4ngig von ihrer Reihenfolge.<\/p>\n

Involvierende Matrixformel<\/h2>\n

Eine der Eigenschaften der Involutionsmatrix besteht darin, dass ihre Formel bekannt sein kann. Aber der Beweis der Formel f\u00fcr eine Involutionsmatrix zweiter Ordnung ist ziemlich m\u00fchsam, deshalb \u00fcberlassen wir es gleich dem Ergebnis, darauf kommt es wirklich an. Wenn Sie sich mehr f\u00fcr die Demo interessieren, k\u00f6nnen Sie sie unten in den Kommentaren Schritt f\u00fcr Schritt erkl\u00e4rt sehen.<\/p>\n

Die Formel f\u00fcr eine Involutivmatrix<\/strong> der Dimension 2 \u00d7 2 lautet wie folgt: <\/p>\n

\n
\"Rolling-Matrix-Formel\"<\/figure>\n<\/div>\n

Daher ist jede Matrix, deren Hauptdiagonalwerte entgegengesetzt sind und deren Determinante -1 ist, eine Involutionsmatrix.<\/p>\n

Zus\u00e4tzlich zu den durch diese Formel beschriebenen Matrizen muss jedoch ber\u00fccksichtigt werden, dass die Identit\u00e4tsmatrix und ihr Gegenteil auch Involutionsmatrizen der Ordnung 2 sind<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Eigenschaften einer involvierenden Matrix<\/h2>\n

Involutionsmatrizen haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n