{"id":301,"date":"2023-07-06T16:09:27","date_gmt":"2023-07-06T16:09:27","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/diskussion-von-gleichungssystemen-nach-der-gaus-methode-mit-gelosten-aufgaben\/"},"modified":"2023-07-06T16:09:27","modified_gmt":"2023-07-06T16:09:27","slug":"diskussion-von-gleichungssystemen-nach-der-gaus-methode-mit-gelosten-aufgaben","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/diskussion-von-gleichungssystemen-nach-der-gaus-methode-mit-gelosten-aufgaben\/","title":{"rendered":"Diskussion von gleichungssystemen nach der gau\u00dfschen methode"},"content":{"rendered":"

In diesem Abschnitt erfahren Sie , wie Sie ein Gleichungssystem mit der Gau\u00df-Jordan-Methode diskutieren und l\u00f6sen<\/strong> . Das hei\u00dft, bestimmen Sie, ob es sich um ein determiniertes kompatibles System (DCS), ein unbestimmt kompatibles System (ICS) oder ein inkompatibles System handelt. Dar\u00fcber hinaus finden Sie Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen, damit Sie die Konzepte perfekt \u00fcben und verinnerlichen k\u00f6nnen.<\/p>\n

Um zu verstehen, was wir als n\u00e4chstes erkl\u00e4ren werden, ist es wichtig, dass Sie bereits wissen, wie man ein System mit der Gau\u00df-Methode<\/a> l\u00f6st. Wir empfehlen Ihnen daher, einen Blick darauf zu werfen, bevor Sie fortfahren.<\/p>\n

Kompatible Systeme, bestimmt durch die Gau\u00df-Methode<\/h2>\n

So lang wie die letzte Zeile der Gau\u00dfschen Matrix<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{(0<\/p>\n

, Sei<\/p>\n

\"n\"<\/p>\n

Und<\/p>\n

\"m\"<\/p>\n

Gibt es zwei beliebige Zahlen, ist dies ein SCD<\/strong> (System Compatible Determined). Daher verf\u00fcgt das System \u00fcber eine einzigartige L\u00f6sung<\/strong> .<\/p>\n

Bei der \u00fcberwiegenden Mehrheit der Systeme handelt es sich um SCD-Systeme.<\/p>\n

Beispiel:<\/h3>\n

Wir haben zum Beispiel dieses System:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Dessen erweiterte Matrix ist:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Um das System zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir die Zeilen der Matrix bearbeiten und alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale in 0 umwandeln. Also subtrahieren wir von der zweiten Zeile die erste Zeile und von der dritten Zeile subtrahieren wir die erste Zeile multipliziert mit 2:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Sobald alle Zahlen unterhalb der Hauptdiagonale 0 sind, kehren wir zur\u00fcck, um das System in die Gleichungsform zu \u00fcberf\u00fchren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Dieses System ist also SCD<\/strong> , da die Matrix verschoben ist und die letzte Zeile vom Typ ist<\/p>\n<\/p>\n

\"(0<\/p>\n

. Deshalb l\u00f6sen wir es wie immer: indem wir die Unbekannten von unten nach oben aus den Gleichungen eliminieren.<\/p>\n<\/p>\n

\"1z=-3\"<\/p>\n<\/p>\n

\"z<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z=-3}\"<\/p>\n<\/p>\n

Da wir nun z kennen, setzen wir seinen Wert in die zweite Gleichung ein, um den Wert von zu ermitteln<\/p>\n<\/p>\n

\"y\"<\/p>\n

: <\/p>\n<\/p>\n

\"6y+2z=0\\<\/p>\n<\/p>\n

\"6y-6=0\"<\/p>\n<\/p>\n

\"6y=6\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\cfrac{6}{6}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{y=1}\"<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich machen wir dasselbe mit der ersten Gleichung: Wir ersetzen die Werte der anderen Unbekannten und l\u00f6sen nach auf<\/p>\n<\/p>\n

\"x\"<\/p>\n

: <\/p>\n<\/p>\n

\"3x+2y-z=1<\/p>\n<\/p>\n

\"3x+2+3=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"3x=1-2-3\"<\/p>\n<\/p>\n

\"3x=-4\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-4}{3}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=<\/p>\n<\/p>\n

Die L\u00f6sung des Gleichungssystems lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=<\/p>\n<\/p>\n

Inkompatible Systeme nach der Gau\u00df-Methode<\/h2>\n

In der Gau\u00df-Matrix haben wir eine Zeile mit drei Nullen hintereinander und einer Zahl<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{(0<\/p>\n

, es ist ein IS<\/strong> (Inkompatibles System) und daher hat das System keine L\u00f6sung<\/strong> .<\/p>\n

Beispiel:<\/h3>\n

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir nach der Arbeit mit der Gau\u00dfschen Matrix eines Systems Folgendes \u00fcbrig haben:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Wie die letzte Zeile ist<\/p>\n<\/p>\n

\"(0<\/p>\n

, also drei Nullen gefolgt von einer Zahl am Ende, ist ein IF<\/strong> (Inkompatibles System) und daher hat das System keine L\u00f6sung<\/strong> .<\/p>\n

Obwohl es nicht notwendig ist, es zu wissen, werden Sie unten sehen, warum es keine L\u00f6sung gibt.<\/p>\n

Wenn wir die letzte Zeile nehmen, h\u00e4tten wir diese Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n

\"(0<\/p>\n<\/p>\n

Diese Gleichung wird niemals erf\u00fcllt werden, denn egal, welchen Wert z<\/em> annimmt, eine Multiplikation mit 0 ergibt niemals 2 (jede Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ergibt immer 0). Und da diese Gleichung niemals erf\u00fcllt sein wird, hat das System keine L\u00f6sung.<\/p>\n

Kompatible Systeme, unbestimmt durch die Gau\u00dfsche Methode<\/h2>\n

Immer wenn eine Zeile der Gau\u00dfschen Matrix mit 0 gef\u00fcllt ist<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{(0<\/p>\n

Es handelt sich um ein SCI<\/strong> (Indeterminate Compatible System) und daher hat das System unendlich viele L\u00f6sungen<\/strong> .<\/p>\n

Sehen wir uns ein Beispiel f\u00fcr die L\u00f6sung eines ICS an:<\/p>\n

Beispiel:<\/h3>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Wie immer erstellen wir zun\u00e4chst die erweiterte Matrix des Systems<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt wollen wir, dass alle Zahlen unterhalb der Hauptdiagonale 0 sind. Also addieren wir zur zweiten Zeile die erste Zeile multipliziert mit -2:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{lrrr|r}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Um 3 in 0 umzuwandeln, addieren wir in der dritten Zeile die erste Zeile multipliziert mit -3:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{lrrr|r}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Um die 1 in der letzten Zeile in 0 umzuwandeln, addieren wir in der dritten Zeile die zweite Zeile multipliziert mit -1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{lrrr|r}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Da die letzte Zeile alle 0 ist<\/strong> , k\u00f6nnen wir sie entfernen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Und da wir eine ganze Zeile mit Nullen gef\u00fcllt hatten, ist dies ein SCI.<\/strong><\/p>\n

Somit erhalten wir folgendes System:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Wenn es sich bei dem System um ein SCI handelt, muss der Wert des Parameters von einer Unbekannten \u00fcbernommen werden<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

. Und wir m\u00fcssen das System basierend auf diesem Parameter l\u00f6sen<\/strong><\/p>\n

\"\\bm{\\lambda}\"<\/p>\n

.<\/p>\n

<\/div>\n

Daher weisen wir den Wert von zu<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

zu z<\/em> :<\/p>\n<\/p>\n

\"z<\/p>\n<\/p>\n

Allerdings h\u00e4tten wir auch jede andere Unbekannte w\u00e4hlen k\u00f6nnen, um den Wert zu ermitteln<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

.<\/p>\n

Jetzt isolieren wir y<\/em> aus der zweiten Gleichung und lassen es eine Funktion von sein<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

: <\/p>\n<\/p>\n

\"y-5z=-14<\/p>\n<\/p>\n

\"y-5\\lambda=-14\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich streichen wir x<\/em> aus der ersten Gleichung und belassen es ebenfalls als Funktion von<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

: <\/p>\n<\/p>\n

\"x+y+2z=6<\/p>\n<\/p>\n

\"x-14<\/p>\n<\/p>\n

\"x=14-<\/p>\n<\/p>\n

\"x=20-<\/p>\n<\/p>\n

Die Systeml\u00f6sungen sind daher:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z<\/p>\n<\/p>\n

Wie Sie sehen k\u00f6nnen, h\u00e4ngen die L\u00f6sungen bei einem SCI-System vom Parameter ab<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

. Und denken Sie daran, dass es unendlich viele L\u00f6sungen gibt, denn je nachdem, welchen Wert es annimmt<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

, die L\u00f6sung wird die eine oder die andere sein.<\/p>\n

Bevor wir mit den gel\u00f6sten \u00dcbungen fortfahren, sollten Sie wissen, dass wir in diesem Artikel zwar die Gau\u00df-Methode verwenden, eine andere M\u00f6glichkeit, lineare Gleichungssysteme zu diskutieren und zu l\u00f6sen , der Satz von Rouche<\/a> ist. Tats\u00e4chlich wird es wahrscheinlich h\u00e4ufiger verwendet.<\/p>\n

Gel\u00f6ste Aufgaben zur Diskussion von Gleichungssystemen nach der Gau\u00df-Jordan-Methode <\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

\u00dcbung 1<\/h3>\n

Bestimmen Sie, um welche Art von System es sich handelt, und l\u00f6sen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Gau\u00df-Methode: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Als erstes m\u00fcssen wir die erweiterte Matrix des Systems erstellen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt m\u00fcssen wir alle Zahlen unterhalb des Hauptarrays auf 0 setzen.<\/p>\n

Wir f\u00fchren daher Zeilenoperationen durch, um die letzten beiden Terme der ersten Spalte zu l\u00f6schen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Wir haben eine Zeile der Matrix erhalten, die aus drei Nullen gefolgt von einer Zahl besteht. Es handelt sich also um ein IS<\/strong> (Inkompatibles System) und das System hat keine L\u00f6sung.<\/strong><\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 2<\/h3>\n

Bestimmen Sie, um welche Art von System es sich handelt, und finden Sie mithilfe der Gau\u00df-Methode die L\u00f6sung f\u00fcr das folgende Gleichungssystem: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Als erstes m\u00fcssen wir die erweiterte Matrix des Systems erstellen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt m\u00fcssen wir alle Zahlen unterhalb des Hauptarrays auf 0 setzen.<\/p>\n

Wir f\u00fchren daher Zeilenoperationen durch, um die letzten beiden Terme der ersten Spalte zu l\u00f6schen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Versuchen wir nun, das letzte Element aus der zweiten Spalte zu entfernen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir bekommen eine ganze Reihe von Nullen. Das ist also ein SCI<\/strong> und das System hat unendlich viele L\u00f6sungen.<\/strong><\/p>\n

Aber da es sich um ein ICS handelt, k\u00f6nnen wir das System basierend darauf l\u00f6sen<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

. Wir l\u00f6schen daher die 0-Zeile:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Wir dr\u00fccken die Matrix nun in Form eines Gleichungssystems mit Unbekannten aus:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Wir geben den Wert von an<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

F\u00fcr<\/p>\n

\"z<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z<\/p>\n<\/p>\n

Wir ersetzen den Wert von<\/p>\n<\/p>\n

\"z\"<\/p>\n

in der zweiten Gleichung, um den Wert von zu finden <\/p>\n

\"y<\/p>\n<\/p>\n

\"1y+5z=7<\/p>\n<\/p>\n

\"y+5\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{y=7-5\\lambda}\"<\/p>\n<\/p>\n

Und das Gleiche machen wir mit der ersten Gleichung: Wir ersetzen die Werte der anderen Unbekannten und l\u00f6schen sie <\/p>\n<\/p>\n

\"x<\/p>\n<\/p>\n

\"1x-2y+3z=1<\/p>\n<\/p>\n

\"x-14+10\\lambda+3\\lambda=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x=1+14-10\\lambda-3\\lambda\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=15-13\\lambda}\"<\/p>\n<\/p>\n

Die L\u00f6sung des Gleichungssystems lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=15-13\\lambda}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

\u00dcbung 3<\/h3>\n

Finden Sie heraus, um welche Art von System es sich handelt, und l\u00f6sen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Gau\u00df-Methode: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Als erstes m\u00fcssen wir die erweiterte Matrix des Systems erstellen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Um die Gau\u00df-Methode anzuwenden, ist es einfacher, wenn die erste Zahl in der ersten Zeile eine 1 ist. Wir werden daher die Reihenfolge der Zeilen 1 und 2 \u00e4ndern:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt m\u00fcssen wir alle Zahlen unterhalb des Hauptarrays auf 0 setzen.<\/p>\n

Wir f\u00fchren daher Zeilenoperationen durch, um die letzten beiden Terme der ersten Spalte zu l\u00f6schen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt konvertieren wir das letzte Element der zweiten Spalte auf Null:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Dieses System ist SCD<\/strong> , da es uns gelungen ist, die Matrix zu verschieben und die letzte Zeile vom Typ ist<\/p>\n<\/p>\n

\"(0<\/p>\n

. Daher wird es eine einzigartige L\u00f6sung geben.<\/strong><\/p>\n

Sobald alle Zahlen unterhalb der Hauptdiagonale 0 sind, k\u00f6nnen wir nun das Gleichungssystem l\u00f6sen. Dazu dr\u00fccken wir die Matrix noch einmal in Form eines Gleichungssystems mit Unbekannten aus:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Und wir l\u00f6sen die Unbekannten der Gleichungen von unten nach oben. Wir l\u00f6sen zun\u00e4chst die letzte Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n

\"5z=20\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z}=\\cfrac{20}{5}<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt setzen wir den Wert von z in die zweite Gleichung ein, um den Wert von y zu ermitteln: <\/p>\n<\/p>\n

\"-16y-3z=-12<\/p>\n<\/p>\n

\"-16y-12=-12\"<\/p>\n<\/p>\n

\"-16y=-12+12\"<\/p>\n<\/p>\n

\"-16y=0\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{y}=\\cfrac{0}{-16}=<\/p>\n<\/p>\n

Und das Gleiche machen wir mit der ersten Gleichung: Wir ersetzen die Werte der anderen Unbekannten und l\u00f6sen nach x auf: <\/p>\n<\/p>\n

\"x+3y+1z=2<\/p>\n<\/p>\n

\"x+0+4=2\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x=2-4\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=-2}\"<\/p>\n<\/p>\n

Die L\u00f6sung des Gleichungssystems lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=-2}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 4<\/h3>\n

Bestimmen Sie, um welche Art von System es sich handelt, und l\u00f6sen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Gau\u00df-Methode: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Als erstes m\u00fcssen wir die erweiterte Matrix des Systems erstellen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt m\u00fcssen wir alle Zahlen unterhalb des Hauptarrays auf 0 setzen.<\/p>\n

Wir f\u00fchren daher Zeilenoperationen durch, um die letzten beiden Terme der ersten Spalte zu l\u00f6schen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Versuchen wir nun, das letzte Element aus der zweiten Spalte zu entfernen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir bekommen eine ganze Reihe von Nullen. Das ist also ein SCI<\/strong> und das System hat unendlich viele L\u00f6sungen.<\/strong><\/p>\n

Aber da es sich um ein ICS handelt, k\u00f6nnen wir das System basierend darauf l\u00f6sen<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

. Wir l\u00f6schen daher die 0-Zeile:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Wir dr\u00fccken die Matrix nun in Form eines Gleichungssystems mit Unbekannten aus:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left(<\/p>\n<\/p>\n

Wir geben den Wert von an<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

F\u00fcr<\/p>\n

\"z<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{z<\/p>\n<\/p>\n

Wir ersetzen den Wert von<\/p>\n<\/p>\n

\"z\"<\/p>\n

in der zweiten Gleichung, um den Wert von zu finden <\/p>\n

\"y<\/p>\n<\/p>\n

\"-6y+15z=13<\/p>\n<\/p>\n

\"-6y+15\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

\"-6y<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{y<\/p>\n<\/p>\n

Und das Gleiche machen wir mit der ersten Gleichung: Wir ersetzen die Werte der anderen Unbekannten und l\u00f6schen sie <\/p>\n<\/p>\n

\"x<\/p>\n<\/p>\n

\"1x-1y+4z=2<\/p>\n<\/p>\n

\"x-\\cfrac{13-15\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

\"x=2+\\cfrac{13-15\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Wir haben eine Summe mit Br\u00fcchen. Daher bringen wir alle Begriffe auf einen gemeinsamen Nenner: <\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-6<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-12}{-6}+\\cfrac{13-15\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Da sie jetzt alle den gleichen Nenner haben, k\u00f6nnen wir sie zu einem einzigen Bruch zusammenfassen:<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-12+13-15\\lambda-(-24<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich operieren wir mit dem Z\u00e4hler: <\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{-12+13-15\\lambda+24<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=}\\mathbf{\\cfrac{1+9\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Die L\u00f6sung des Gleichungssystems lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{x=15-13\\lambda}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In diesem Abschnitt erfahren Sie , wie Sie ein Gleichungssystem mit der Gau\u00df-Jordan-Methode diskutieren und l\u00f6sen . Das hei\u00dft, bestimmen Sie, ob es sich um ein determiniertes kompatibles System (DCS), ein unbestimmt kompatibles System (ICS) oder ein inkompatibles System handelt. Dar\u00fcber hinaus finden Sie Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen, damit Sie die Konzepte perfekt \u00fcben und …<\/p>\n

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