{"id":299,"date":"2023-07-06T16:17:55","date_gmt":"2023-07-06T16:17:55","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/monisches-polynom\/"},"modified":"2023-07-06T16:17:55","modified_gmt":"2023-07-06T16:17:55","slug":"monisches-polynom","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/monisches-polynom\/","title":{"rendered":"Monisches polynom"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite finden Sie, was ein monisches Polynom ist, sowie Beispiele f\u00fcr monische Polynome. Sie k\u00f6nnen auch die Eigenschaften dieses Polynomtyps sehen und sehen, wie ein Polynom monisch wird.<\/p>\n

<\/span> Was ist ein Einheitspolynom?<\/span><\/h2>\n

Die Definition des Einheitspolynoms lautet wie folgt:<\/p>\n

In der Mathematik ist ein Einheitspolynom ein Polynom mit einer einzigen Variablen, dessen f\u00fchrender Koeffizient gleich 1 ist.<\/strong><\/p>\n

Monische Polynome werden auch Unit\u00e4rpolynome oder Normpolynome genannt.<\/p>\n

Das folgende Polynom vom Grad 2 ist beispielsweise monisch, weil es ein univariables Polynom ist und seine Steigung 1 ist: <\/p>\n

\n
\"monisches<\/figure>\n<\/div>\n

Um das Konzept eines Einheitspolynoms zu verstehen, m\u00fcssen Sie nat\u00fcrlich die Steigung eines Polynoms kennen. Wenn Sie sich dar\u00fcber nicht im Klaren sind, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf die Erkl\u00e4rung aller Teile eines Polynoms<\/span><\/strong><\/a> zu werfen. Dort k\u00f6nnen Sie au\u00dferdem die anderen Teile (oder Elemente) sehen, aus denen ein Polynom besteht begleitet von Beispielen und gel\u00f6sten \u00dcbungen zum \u00dcben. <\/p>\n

<\/span> Beispiele f\u00fcr monische Polynome<\/span><\/h2>\n

Nachdem wir gesehen haben, was es bedeutet, dass ein Polynom monisch ist, schauen wir uns einige Beispiele f\u00fcr diesen Polynomtyp an:<\/p>\n

Beispiel f\u00fcr ein Einheitspolynom zweiten Grades:<\/span><\/p>\n<\/p>\n

\"P(x)=x^2-6x-4\"<\/p>\n<\/p>\n

Beispiel f\u00fcr ein Einheitspolynom dritten Grades:<\/span><\/p>\n<\/p>\n

\"P(x)=x^3+4x^2+x+10\"<\/p>\n<\/p>\n

Beispiel f\u00fcr ein Einheitspolynom vierten Grades:<\/span> <\/p>\n<\/p>\n

\"P(x)=x^4+5x+6\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Wie man ein beliebiges Polynom in eine Monische umwandelt<\/span><\/h2>\n

Nachdem wir nun die Bedeutung des monischen Polynoms kennen, werden wir sehen, wie man ein Polynom in ein monisches Polynom umwandelt, oder mit anderen Worten, wie man ein Polynom \u201emonisiert\u201c. Dieser Vorgang wird auch Normalisierung eines Polynoms genannt.<\/p>\n

Deshalb werden wir eine \u00dcbung Schritt f\u00fcr Schritt l\u00f6sen, um zu sehen, wie es geht:<\/p>\n<\/p>\n

\"P(x)=4x^5+3x^4-8x^2+2x-12\"<\/p>\n<\/p>\n

Um das Polynom zu normalisieren, m\u00fcssen wir alle Elemente, aus denen das Polynom besteht, durch den Koeffizienten des Termes h\u00f6chsten Grades im Polynom dividieren. In diesem Fall betr\u00e4gt der Koeffizient des h\u00f6chsten Grades 4, also:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Vereinfachen wir nun die Br\u00fcche des Polynoms:<\/p>\n<\/p>\n

\"1x^5+\\cfrac{3}{4}x^4-2x^2+\\cfrac{1}{2}x-3\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x^5+\\cfrac{3}{4}x^4-2x^2+\\cfrac{1}{2}x-3\"<\/p>\n<\/p>\n

Und damit haben wir das Polynom des Problems bereits in ein monisches Polynom umgewandelt. <\/p>\n

<\/span> Eigenschaften monischer Polynome<\/span><\/h2>\n

Monische Polynome haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n