{"id":293,"date":"2023-07-06T18:20:29","date_gmt":"2023-07-06T18:20:29","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-homogene-polynome\/"},"modified":"2023-07-06T18:20:29","modified_gmt":"2023-07-06T18:20:29","slug":"beispiele-fur-homogene-polynome","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-homogene-polynome\/","title":{"rendered":"Homogenes polynom"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite wird erkl\u00e4rt, was homogene Polynome sind. Au\u00dferdem sehen Sie Beispiele f\u00fcr homogene Polynome und die Eigenschaften dieses Polynomtyps. Dar\u00fcber hinaus finden Sie den Unterschied zwischen homogenen Polynomen und heterogenen Polynomen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue-es-un-polinomio-homogeneo\"><\/span> Was ist ein homogenes Polynom?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die Definition eines homogenen Polynoms lautet wie folgt:<\/p>\n<p> <strong>In der Mathematik ist ein homogenes Polynom ein Polynom, bei dem alle Terme den gleichen Grad haben.<\/strong><\/p>\n<p> Ein Beispiel f\u00fcr ein homogenes Polynom w\u00e4re:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c562859bfcb9245bf750cdf62e30cc4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall handelt es sich um ein homogenes Polynom dritten Grades, da alle Monome, die Teil des Polynoms sind, dritten Grades sind.<\/p>\n<p> Wenn Sie Zweifel daran haben, wie der Grad eines Termes eines homogenen Polynoms berechnet wird, k\u00f6nnen Sie unsere Seite <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/teile-eines-monomkoeffizienten,-teilliteral-und-variabler-grad\/\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">\u201eWas sind die Teile eines Monoms\u201c<\/span><\/strong><\/a> konsultieren, wo Sie nicht nur erfahren, wie Sie den Grad eines Monoms ermitteln, sondern auch die Erkl\u00e4rung aller Teile eines Monoms und wie man sie identifiziert. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele sehen und mit Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten \u00dcbungen \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejemplos-de-polinomios-homogeneos\"><\/span> Beispiele f\u00fcr homogene Polynome<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir gesehen haben, was es bedeutet, dass ein Polynom homogen ist, schauen wir uns einige Beispiele f\u00fcr homogene Polynome an, um das Konzept besser zu verstehen:<\/p>\n<ul>\n<li> Beispiel eines homogenen Polynoms vom Grad 5:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-938803398f7974d4ff410dfb1e43f84e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"285\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Beispiel eines homogenen Polynoms vom Grad 7:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b24c1a5bf1ed25c5698108cc448bdb4c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"343\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Beispiel eines homogenen Polynoms vom Grad 13: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50fee4914e8d236a46dbc69f8d67b3d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"297\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Polinomio-homogeneo-y-polinomio-heterogeneo\"><\/span> Homogenes Polynom und heterogenes Polynom<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Es ist zu beachten, dass ein anderes Polynom, das dem homogenen Polynom sehr \u00e4hnlich ist, das heterogene Polynom ist, obwohl zwischen ihnen ein grundlegender Unterschied besteht:<\/p>\n<p> Ein <strong>heterogenes Polynom<\/strong> ist ein Polynom, bei dem nicht alle Terme den gleichen Grad haben.<\/p>\n<p> Daher ist das Polynom nur dann heterogen, wenn ein Monom des Polynoms einen anderen Grad als die \u00fcbrigen Elemente hat.<\/p>\n<p> Beispielsweise ist das folgende Polynom heterogen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8baa087cc08645b03a7879dc38522298_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Obwohl zwei der Terme im Polynom den Grad 4 haben (x <sup>4<\/sup> , 2x <sup>3<\/sup> y), handelt es sich tats\u00e4chlich um ein heterogenes Polynom, da es einen anderen Term unterschiedlichen Grades hat (8x <sup>2<\/sup> hat den Grad 2).<\/p>\n<p> Wie Sie sehen, sind homogene und heterogene Polynome einander sehr \u00e4hnlich und k\u00f6nnen leicht verwechselt werden, daher m\u00fcssen wir vorsichtig sein. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propiedades-de-los-polinomios-homogeneos\"><\/span> Eigenschaften homogener Polynome<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Homogene Polynome haben die folgenden Eigenschaften<\/p>\n<ul>\n<li> Die Anzahl verschiedener homogener Monome vom Grad M in einem Polynom aus N Variablen kann mit der folgenden Formel berechnet werden:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a50a9af76c5b398ccf1a017a08eb728c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Vielleicht ist das \u201e <strong>!<\/strong> \u201d \u00bb Es kommt Ihnen seltsam vor, dass es in der Algebra verwendet wird. Nun, Sie sollten wissen, dass es verwendet wird, um eine spezielle mathematische Operation anzugeben, die als <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/fakultatsfunktion-einer-zahl\/\">Fakult\u00e4t einer Zahl<\/a><\/span><\/strong> bezeichnet wird. Woraus dieser Vorgang besteht und wof\u00fcr er verwendet wird, k\u00f6nnen Sie im vorherigen Link sehen.<\/p>\n<ul>\n<li> Der Ausdruck f\u00fcr die Taylor-Reihe, die einem am Punkt <em>x<\/em> erweiterten homogenen Polynom entspricht, lautet wie folgt:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f4fe67ef967d0006f8ec3f8936d3f1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x+y)= \\sum_{j=0}^n {n \\choose j}  \\check{P} (\\underbrace{x,x,\\dots ,x}_{j} &amp; \\underbrace{y,y,\\dots ,y}_{n-j})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"346\" style=\"vertical-align: -30px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um diese Eigenschaft anwenden (und verstehen) zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen Sie jedoch wissen, wie der Ausdruck berechnet wird<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c062127739b922dff24815ba6bb3660_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{pmatrix} n \\\\ j \\end{pmatrix} ,\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> wird als kombinatorische Zahl bezeichnet. Wenn Sie die vorherige Eigenschaft nicht verstehen, empfehle ich Ihnen daher, sich die <strong><span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/eigenschaften-der-binomialkoeffizienten-der-kombinatorischen-zahl\/\">Formel f\u00fcr die kombinatorische Zahl<\/a><\/span><\/strong> anzusehen.<\/p>\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-176\" data-inserter-version=\"-1\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite wird erkl\u00e4rt, was homogene Polynome sind. Au\u00dferdem sehen Sie Beispiele f\u00fcr homogene Polynome und die Eigenschaften dieses Polynomtyps. Dar\u00fcber hinaus finden Sie den Unterschied zwischen homogenen Polynomen und heterogenen Polynomen. Was ist ein homogenes Polynom? 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