{"id":28,"date":"2023-09-17T11:04:43","date_gmt":"2023-09-17T11:04:43","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/durchschnittliche-und-momentane-anderungsrate\/"},"modified":"2023-09-17T11:04:43","modified_gmt":"2023-09-17T11:04:43","slug":"durchschnittliche-und-momentane-anderungsrate","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/durchschnittliche-und-momentane-anderungsrate\/","title":{"rendered":"Durchschnittliche und momentane \u00e4nderungsrate"},"content":{"rendered":"<p>Hier erkl\u00e4ren wir, was \u00c4nderungsrate, durchschnittliche \u00c4nderungsrate und momentane \u00c4nderungsrate sind. Sie k\u00f6nnen sich mehrere Beispiele zur Berechnung der \u00c4nderungsrate ansehen und zus\u00e4tzlich mit gel\u00f6sten Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zur \u00c4nderungsrate \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-tasa-de-variacion\"><\/span> Wie hoch ist die \u00c4nderungsrate?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>In der Mathematik ist die \u00c4nderungsrate (TV) einer Funktion die Differenz der Werte einer Funktion an zwei verschiedenen Punkten.<\/strong> Um die \u00c4nderungsrate zwischen zwei Punkten zu berechnen, m\u00fcssen daher die Werte der Funktion an diesen beiden Punkten subtrahiert werden.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c33fec724dd0a5bf45bfec5a911f5bcb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TV}[a,b]=f(b)-f(a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn beispielsweise zwei Bilder einer Funktion f(2)=1 und f(5)=7 sind, betr\u00e4gt ihre \u00c4nderungsrate:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8696c8ddc5db28bea4a9b14bc6dc0b9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TV}[2,5]=f(5)-f(2)=7-1=6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"269\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir haben gerade die mathematische Bedeutung der \u00c4nderungsrate gesehen, aber in der \u00d6konomie bedeutet das Konzept der \u00c4nderungsrate Folgendes:<\/p>\n<p> In der \u00d6konomie ist die \u00c4nderungsrate zwischen zwei Werten die prozentuale Differenz zwischen ihnen, d. h. die \u00c4nderungsrate einer Variablen zwischen verschiedenen Zeitr\u00e4umen ist ihre relative \u00c4nderung. Um die \u00c4nderungsrate zu berechnen, werden daher die Werte der beiden unterschiedlichen Perioden subtrahiert und das erhaltene Ergebnis durch den Wert der Anfangsperiode dividiert.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a6392a6712643e5eeddbf7226523e42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TV}[t,t+n]=\\cfrac{Y_{t+n}-Y_t}{Y_t}\\cdot 100\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -15px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn beispielsweise der Wert bestimmter Aktien in einem Monat von 35 \u20ac auf 50 \u20ac gestiegen ist, betr\u00e4gt die \u00c4nderungsrate:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-17a18b6b77c1e1b21cad5d1ffab56aca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TV}[t,t+1]=\\cfrac{50-35}{35}\\cdot 100=42,86 \\ \\%\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"296\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In Anbetracht der beiden m\u00f6glichen Bedeutungen der \u00c4nderungsrate konzentrieren wir uns in diesem Artikel auf das Verst\u00e4ndnis der mathematischen Definition der \u00c4nderungsrate. Es k\u00f6nnen zwei Arten von \u00c4nderungsraten unterschieden werden: die durchschnittliche \u00c4nderungsrate und die momentane \u00c4nderungsrate. Unten finden Sie die Erkl\u00e4rung jedes Typs.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tasa-de-variacion-media\"><\/span> Durchschnittliche \u00c4nderungsrate<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die durchschnittliche \u00c4nderungsrate (TVM) einer Funktion in einem Intervall ist die Anzahl der Einheiten, um die die Funktion f\u00fcr jede Einheit zunimmt (oder abnimmt), um die ihre unabh\u00e4ngige Variable zunimmt.<\/strong> Daher wird die durchschnittliche \u00c4nderungsrate einer Funktion berechnet, indem das Wachstum der Funktion in einem Intervall durch die Amplitude dieses Intervalls dividiert wird.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a08373207642a78dec20dd28a9dafc4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM}[a,b]=\\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie die durchschnittliche \u00c4nderungsrate berechnet wird, haben wir im Folgenden ein Beispiel Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-calculo-de-la-tasa-de-variacion-media-de-una-funcion\"><\/span> Beispiel f\u00fcr die Berechnung der durchschnittlichen \u00c4nderungsrate einer Funktion<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie die durchschnittliche \u00c4nderungsrate im Intervall [2,5] der folgenden Funktion:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e583988ce73cdf54a12306a64c97cc42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = x^2-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zuerst berechnen wir den Wert der Funktion bei x=2 und x=5:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57a8756268ece6ee3543392da3aa5ee3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(5)= 5^2-1=25-1=24\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7163ad8fbbfd700e474e6d40164c8cb9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2)=2^2-1=4-1=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und dann berechnen wir die durchschnittliche \u00c4nderungsrate der Funktion im Intervall, indem wir einfach die Formel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aca6688a94500231cb464ce5ca91685c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM} [a,b] = \\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dba3fad93a4b7e04a5d6f1517eb6dc1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM} [2,5]=\\cfrac{f(5)-f(2)}{5-2} = \\cfrac{24 - 3}{5-2} = \\cfrac{21}{3} = \\bm{7}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"341\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da das Ergebnis von TVM[2,5] positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion im Intervall [2,5] w\u00e4chst. W\u00e4re das Ergebnis hingegen negativ gewesen, w\u00fcrde dies bedeuten, dass die Funktion in diesem Intervall abnimmt. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-geometrica-de-la-tasa-de-variacion-media\"><\/span> Geometrische Interpretation der durchschnittlichen \u00c4nderungsrate<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Geometrisch gesehen stellt die durchschnittliche \u00c4nderungsrate einer Funktion in einem Intervall die Steigung der Linie dar, die die Extrempunkte des Intervalls verbindet. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/taux-de-variation-moyen.webp\" alt=\"durchschnittliche \u00c4nderungsrate\" class=\"wp-image-1678\" width=\"337\" height=\"378\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tasa-de-variacion-instantanea\"><\/span>Momentane \u00c4nderungsrate<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die momentane \u00c4nderungsrate (TVI) einer Funktion an einem Punkt ist die infinitesimale Grenze des relativen Anstiegs der Funktion \u00fcber ein Intervall.<\/strong> Daher wird die momentane \u00c4nderungsrate berechnet, indem der Grenzwert des Quotienten von <em>f(a+h)-f(a)<\/em> gel\u00f6st wird, <em>indem<\/em> <em>h<\/em> gegen Null geht.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-605387fef74bd8fe7f7e8a3e75686a7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{TVI}(a)=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Wert der momentanen \u00c4nderungsrate kann positiv, negativ oder Null sein und bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt zunimmt, abnimmt oder gleich bleibt. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-calculo-de-la-tasa-de-variacion-instantanea-de-una-funcion\"><\/span> Beispiel f\u00fcr die Berechnung der momentanen \u00c4nderungsrate einer Funktion<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie die momentane \u00c4nderungsrate am Punkt x=2 der folgenden Funktion:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0f6973d1b2b1b370cb20764d5a954a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die momentane \u00c4nderungsrate zu berechnen, m\u00fcssen wir die Formel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef687e3c0bab81c2a8eaa578fcc41b9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI} (a) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd6499ec6074ceea794309155c7d788d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI} (2) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(2+h)-f(2)}{h} =  \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{(2+h)^2-2^2}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"390\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir l\u00f6sen die bemerkenswerte Identit\u00e4t auf:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21ea1067eb0c47009dd7f9c214a16e4a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0}  \\cfrac{2^2+h^2+2\\cdot 2 \\cdot h -2^2}{h} = \\lim\\limits_{h \\to 0}  \\cfrac{4+h^2+4h -4}{h} = \\lim\\limits_{h \\to 0}  \\cfrac{h^2+4h}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"496\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#FF9B28;\">\u27a4<\/span> Wenn Sie sich nicht mehr an die <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">Formeln f\u00fcr bemerkenswerte Identit\u00e4ten<\/u> erinnern, finden Sie alle Formeln auf unserer auf Polynome spezialisierten Website: <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">www.polinomios.org<\/u><\/p>\n<p> Versuchen wir nun, das Limit zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b380a5546aa95d74c4da1a81e0e4665b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0}  \\cfrac{h^2+4h}{h} = \\cfrac{0^2+4\\cdot 0}{0} =\\cfrac{0}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"221\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir finden jedoch keine Unbestimmtheit zwischen Null, daher:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae32dac146777b5395b505ebf658af5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0}  \\cfrac{h^2+4h}{h}= \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{\\cancel{h}(h+4)}{\\cancel{h}} = \\lim\\limits_{h \\to 0} (h+4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"320\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/null-zwischen-null-0-0-unbestimmtheit\/\">So l\u00f6sen Sie einen Grenzwert mit Nullunbestimmtheit zwischen Null<\/a><\/span><\/p>\n<p> Und schlie\u00dflich l\u00f6sen wir das Limit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b124f5a6537497e232294814f1d49b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0} (h+4) = 0 +4 = \\bm{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9504f8df3dcdd1c6954399b5a6aa0ef4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbf{TVI} \\bm{(2) = 4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Da das Ergebnis von TVI(2) positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion bei x=2 zunimmt. W\u00e4re das Ergebnis hingegen negativ gewesen, w\u00fcrde dies bedeuten, dass die Funktion in diesem Stadium abnimmt. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"interpretacion-geometrica-de-la-tasa-de-variacion-instantanea\"><\/span> Geometrische Interpretation der momentanen \u00c4nderungsrate<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Geometrisch gesehen stellt die momentane \u00c4nderungsrate einer Funktion an einem Punkt die Steigung der Tangente an die Funktion an diesem Punkt dar. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/taux-de-changement-instantane.webp\" alt=\"momentane \u00c4nderungsrate\" class=\"wp-image-1682\" width=\"336\" height=\"355\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wenn man genau hinschaut, entspricht die Bedeutung der momentanen \u00c4nderungsrate dem <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/derivate\/\">Konzept einer Ableitung einer Funktion<\/a><\/span> . Daher wird die momentane \u00c4nderungsrate auch zur Berechnung des Wertes der Ableitung einer Funktion an einem Punkt verwendet. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-tasa-de-variacion\"><\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zur \u00c4nderungsrate<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Berechnen Sie den Wert der \u00c4nderungsrate der folgenden Funktion im Intervall [1,3]. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-52242e9edb560029e6861be262dc3418_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2-5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zuerst bestimmen wir den Wert der Funktion an den Enden des Intervalls: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a68e7a97d5a6f45ee1d01481fe687da1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(1)=1^2-5=1-5=-4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0d6343387ae4a98c94387008c73c791_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(3)=3^2-5=9-5=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und jetzt wenden wir die Formel f\u00fcr die \u00c4nderungsrate an: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c33fec724dd0a5bf45bfec5a911f5bcb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TV}[a,b]=f(b)-f(a)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ab143c57ef36bb306946cbe760653ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TV}[1,3]=f(3)-f(1)=4-(-4)=4+4=\\bm{8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"360\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die durchschnittliche \u00c4nderungsrate (TVM) der folgenden Funktion \u00fcber das Intervall [1,4]: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b43717721aa2afd3fbc6d587213bbdef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=2x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen zun\u00e4chst die Bilder der Funktion bei x=1 und x=4. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0877ab6ef765a3944e138081718775cc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(4)=2\\cdot4+1=9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2e61642cf8070ce3ae09b2eb3335c4a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(1)=2\\cdot 1+1=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"151\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir wenden die Formel f\u00fcr die durchschnittliche \u00c4nderungsrate an: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aca6688a94500231cb464ce5ca91685c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM} [a,b] = \\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55ff356ed3f6444ca49c49e39dd46072_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM} [1,4] = \\cfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \\cfrac{9-3}{4-1}=\\cfrac{6}{3} = \\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Ermitteln Sie die durchschnittliche \u00c4nderungsrate der folgenden Funktion im Intervall [-1,3]: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a04612aafb771e8771b2810a18e18475_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=(x+1)^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die durchschnittliche \u00c4nderungsrate zu bestimmen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst f(-1) und f(3) berechnen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3da577fe4ac481741007375057aa116e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(3)=(3+1)^2=(4)^2=16\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"213\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b7269aaa1c01fb9a5e218a0a627483b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(-1)=((-1)+1)^2=(0)^2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"246\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir verwenden nun die Formel f\u00fcr die durchschnittliche \u00c4nderungsrate: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aca6688a94500231cb464ce5ca91685c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM} [a,b] = \\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-080aef07d76e5d8823128118052fb808_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM} [-1,3] = \\cfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)} = \\cfrac{16-0}{3+1}=\\cfrac{16}{4} = \\bm{4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"369\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die durchschnittliche \u00c4nderungsrate im Intervall [2,4] der in der folgenden Grafik gezeigten Funktion: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-d-une-fonction-quadratique-ou-parabole.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-137\" width=\"290\" height=\"328\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir wenden die Formel f\u00fcr die durchschnittliche \u00c4nderungsrate an: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aca6688a94500231cb464ce5ca91685c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM} [a,b] = \\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"191\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-436fb10e74beb8c2ede9c9ac586d96c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM} [2,4]=\\cfrac{f(4)-f(2)}{4-2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"192\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wie wir in der Formel sehen, m\u00fcssen wir den Wert von f(4) und f(2) ermitteln. Und das l\u00e4sst sich ganz einfach anhand der grafischen Darstellung der Funktion bewerkstelligen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fad0fc656e95d7bc9517693b55a15540_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(4)=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e7d13ebd46205da0aa8ff41e5133ba3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2)=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und da wir nun die Werte der Funktion kennen, setzen wir sie in die Formel ein: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a84929c02a38e91b072239affa6d9f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVM}[2,4]=\\cfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\\cfrac{5-1}{4-2}=\\cfrac{4}{2}=\\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"323\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> Berechnen Sie die momentane \u00c4nderungsrate der folgenden Funktion am Punkt x=2: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9de7457ac9ec3e1599c6f986c5ba57ee_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=3x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die momentane \u00c4nderungsrate der Funktion am Punkt x=2 zu bestimmen, wenden wir die entsprechende Formel an: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a66c321e96cb1e871b9c7debfee1f4bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI}(a)=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73ee822823f921f75014cb9b50e47f51_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\text{TVI}(2)=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\\\\[4ex]=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{3(2+h)-3\\cdot 2}{h} =\\\\[4ex]=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{6+3h-6}{h}= \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{3h}{h} =\\\\[4ex]=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{3\\cancel{h}}{\\cancel{h}}=\\lim\\limits_{h \\to 0} 3 = \\bm{3}\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"239\" width=\"250\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 6<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie die momentane \u00c4nderungsrate (TVI) der folgenden Funktion am Punkt x=1: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a64e895ef4284c9ac73729d092f47767_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir wenden die Formel f\u00fcr die momentane \u00c4nderungsrate an: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef687e3c0bab81c2a8eaa578fcc41b9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI} (a) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9aae03d6907f804a3015daa4ecca1e9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI} (1) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Dann berechnen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-59ab22db5134b4e8bc6bbed7ab09bd5f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(1+h)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Und <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32045357853caad8774629c95963835d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(1):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bcec545e7bbd1d55ba069ac58c7862ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(1+h) = (1+h)^2+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5f418d9c95675368ebe7525ad0354ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(1)=1^2+1=1+1=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir ersetzen die im Grenzwert gefundenen Werte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89bedae84e1ece0933ddf522e449e005_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI} (1) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(1+h)-f(1)}{h}= \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{(1+h)^2+1-2}{h} =\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{(1+h)^2-1}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"563\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir l\u00f6sen das bemerkenswerte Produkt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef36f072cd7bee2d30936dc5a18bdf7a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{1^2+h^2+2\\cdot 1 \\cdot h-1}{h}=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{1+h^2+2h-1}{h}=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{h^2+2h}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"488\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Versuchen wir nun, das Limit zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eada4220b55e8f3f27f6e565244fa430_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{h^2+2h}{h}=\\cfrac{0^2+2\\cdot 0}{0} = \\cfrac{0}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"221\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aber wir finden die unbestimmte Form Null dividiert durch Null, also faktorisieren wir das Polynom des Z\u00e4hlers des Bruchs und vereinfachen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89248fe68bc38749f3ad45e65d902840_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{h^2+2h}{h}=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{h(h+2)}{h} = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{\\cancel{h}(h+2)}{\\cancel{h}}= \\lim\\limits_{h \\to 0}(h+2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"442\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> <span style=\"color:#FF9B28;\">\u27a4<\/span> Wenn Sie nicht wissen <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">, wie Sie die Nullunbestimmtheit zwischen Null l\u00f6sen k\u00f6nnen<\/u> , finden Sie im obigen Link die vollst\u00e4ndige Erkl\u00e4rung <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">zum L\u00f6sen eines Grenzwerts mit Nullunbestimmtheit zwischen Null.<\/u><\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich l\u00f6sen wir das Limit auf:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5467af069ca6192116dee3e32de90ea7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0}(h+2) = 0+2 =\\bm{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"178\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zusammenfassend ist die momentane \u00c4nderungsrate der Funktion am Punkt x=1 gleich 2. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbcab0fecbbbe2fbefd80027e8748bda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbf{TVI} \\bm{(1) = 2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"92\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 7<\/h3>\n<p> Ermitteln Sie die momentane \u00c4nderungsrate der folgenden Funktion am Punkt x=2: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b3e71aa0e6f65532f0324d35e827180_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=4x^2-x+3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir verwenden zun\u00e4chst die Formel f\u00fcr die momentane \u00c4nderungsrate: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef687e3c0bab81c2a8eaa578fcc41b9b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI} (a) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6a7c9ceda50eea0255d09898ff47cbb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI} (2) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"233\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd34e7bfca2688fc7047d0cbe546068d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2+h)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"64\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Und <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f026e401162db03299777455b748b308_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-79281afbca1e53d72c77a132af8593a1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2+h) = 4(2+h)^2-(2+h)+3=4(2+h)^2-h+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"423\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9260dd17b5ceca44c7ff2d860f0354c3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2) =4\\cdot 2^2-2+3=4\\cdot 4-2+3 =17\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"313\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und wir ersetzen die im Grenzwert gefundenen Werte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ad59f5f751af139656a471bf2a41801_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{TVI} (2) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\\\\[4ex]=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{4(2+h)^2-h+1-17}{h}=\\\\[4ex]= \\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{4(2+h)^2-h-16}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"190\" width=\"286\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen die bemerkenswerte Gleichheit:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e358be77d34e9ec7c27433743001162c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{4(2^2+h^2+2\\cdot 2 \\cdot h)-h-16}{h}=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{4(4+h^2+4h)-h-16}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"500\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir operieren mit dem Z\u00e4hler:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7c2b63592b070fa6046376f878d45bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{16+4h^2+16h-h-16}{h}=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{4h^2+15h}{h}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"355\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Versuchen wir nun, das Limit zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9dda4d5e5c5eab8c018f1b46a3da45e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{4h^2+15h}{h}=\\cfrac{4\\cdot0^2+15\\cdot 0}{0} = \\cfrac{0}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"269\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aber wir erhalten die Unbestimmtheit Null dividiert durch Null, also faktorisieren wir die Polynome und vereinfachen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0d1213a45968f3137f0c39272cd70dc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{4h^2+15h}{h}=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{h(4h+15)}{h}=\\lim\\limits_{h \\to 0} \\cfrac{\\cancel{h}(4h+15)}{\\cancel{h}}= \\lim\\limits_{h \\to 0}(4h+15)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"513\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und schlie\u00dflich l\u00f6sen wir das Limit auf:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5eb4579d04c151866059162480d4c816_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lim\\limits_{h \\to 0}(4h+15)=4\\cdot 0+15 =\\bm{15}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"235\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Noch: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9181cbd259448ba47e80eb081625ee2f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbf{TVI} \\bm{(2) = 15}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier 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