{"id":279,"date":"2023-07-06T23:03:43","date_gmt":"2023-07-06T23:03:43","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-transponierte-oder-transponierte-matrix-und-geloste-ubungen\/"},"modified":"2023-07-06T23:03:43","modified_gmt":"2023-07-06T23:03:43","slug":"beispiele-fur-transponierte-oder-transponierte-matrix-und-geloste-ubungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-transponierte-oder-transponierte-matrix-und-geloste-ubungen\/","title":{"rendered":"Matrix transponieren (oder transponieren)"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie die <strong>Transpositionsmatrix (oder Transpositionsmatrix)<\/strong> berechnen. Sie sehen auch gel\u00f6ste \u00dcbungen, sodass Sie keine Zweifel haben, wie eine Matrix transponiert wird.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Wie berechnet man die transponierte Matrix (oder Transposition)?<\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#dff6ff\"> Die <strong>Transponierungsmatrix<\/strong> , auch Transponierungsmatrix genannt, ist die Matrix, die durch <strong>die Umwandlung von Zeilen in Spalten<\/strong> erhalten wird. Die transponierte Matrix wird dargestellt, indem oben rechts in der Matrix ein \u201et\u201c eingef\u00fcgt wird (A <sup>t<\/sup> ).<\/p>\n<p> Transponieren wir zum <strong>Beispiel<\/strong> die folgende Matrix:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8613db3e71f21d9ee2c4dc003600e32a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix} 2 &amp; 3 &amp; 1 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 5 &amp; 0   \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"120\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die Matrix A zu transponieren, <strong>\u00e4ndern Sie einfach die Zeilen durch die Spalten<\/strong> . Mit anderen Worten: Die erste Zeile der Matrix wird zur ersten Spalte der Matrix und die zweite Zeile der Matrix wird zur zweiten Spalte der Matrix:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7cf9e274915aef7e44582556d188197_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^t= \\begin{pmatrix} 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 5 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 0   \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"103\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Hier sind einige Beispiele, wie man die transponierte Matrix findet:<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Beispiele f\u00fcr transponierte Matrizen<\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 1 <\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e3a8e6d458b2d60aabcedfe33c0297a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B= \\begin{pmatrix} 1 &amp; 5\\\\[1.1ex] 7 &amp; 2  \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"96\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-321fc68b5d5d3c546461c29b80102a82_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B^t= \\begin{pmatrix} 1 &amp; 7\\\\[1.1ex] 5 &amp; 2  \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"102\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Beispiel 2 <\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8295b1417a32fc9378584f87c67abc05_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C= \\begin{pmatrix} -1 &amp; 4 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 3 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 6 &amp; 0 &amp; 9  \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5274e4fc9bdc5939e3a5a08e6a8e41b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C^t= \\begin{pmatrix} -1 &amp; 5 &amp; 6 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 3 &amp; 0 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 9  \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"143\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel 3 <\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e2d2268ed4a7fee24a06a7a7f7cd76b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle D= \\begin{pmatrix} 2 &amp; 6 &amp; -1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f1c2184833ec63a43162fde532f6e593_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle D^t= \\begin{pmatrix}2 \\\\[1.1ex] 6 \\\\[1.1ex] -1 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"94\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Beispiel 4 <\/h3>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d83760eb84d950a0d31727e522d88f5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle E= \\begin{pmatrix} 9 &amp; 0  \\\\[1.1ex] 2 &amp; -1 \\\\[1.1ex] 5 &amp; 3   \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"112\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E3F2FD boto_ver_solucion\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E3F2FD\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c01a100ebae58a267a286f88010a796_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle E^t= \\begin{pmatrix} 9 &amp; 2 &amp; 5  \\\\[1.1ex] 0 &amp; -1 &amp; 3 \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"140\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Eine Verwendung der Matrixtransponierung besteht darin <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/inverse-matrix\/\">, die inverse Matrix mit der beigef\u00fcgten Matrixformel oder anhand von Determinanten zu berechnen<\/a> . Um diese Methode anwenden zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen Sie zwar auch wissen, wie man Determinanten l\u00f6st, auf der verlinkten Seite finden Sie jedoch eine Erkl\u00e4rung des gesamten Verfahrens und k\u00f6nnen sich auch Beispiele und \u00dcbungen ansehen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Eigenschaften der transponierten Matrix<\/h2>\n<p> Die transponierte Matrix weist folgende Eigenschaften auf:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong><span style=\"color:#1976d2;\">Involutionelle Eigenschaft:<\/span><\/strong> Die Transponierte einer transponierten Matrix ist gleich der Originalmatrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a776188cca22c35019064e846b61b4b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(A^t\\right)^t = A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -7px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong><span style=\"color:#1976d2;\">Verteilungseigenschaft:<\/span><\/strong> Das Hinzuf\u00fcgen zweier Matrizen und das anschlie\u00dfende Transponieren des Ergebnisses l\u00e4uft darauf hinaus, zun\u00e4chst jede Matrix zu transponieren und sie dann zu addieren: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aff76a8cf7355ea147e7a885b034b462_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(A+B\\right)^t = A^t+B^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> <strong><span style=\"color:#1976d2;\">Lineare Eigenschaft (Produkt von Matrizen):<\/span><\/strong> Das Multiplizieren zweier Matrizen und das anschlie\u00dfende Transponieren des Ergebnisses ist gleichbedeutend damit, zun\u00e4chst jede Matrix zu transponieren und sie dann zu multiplizieren, wobei jedoch die Reihenfolge der Multiplikation ge\u00e4ndert wird:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32a851b103c6805a1bf495dbdc04ddc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(A\\cdot B\\right)^t = B^t\\cdot A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"134\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong><span style=\"color:#1976d2;\">Lineare (konstante) Eigenschaft:<\/span><\/strong> Das Transponieren des Ergebnisses des Produkts einer Matrix durch eine Konstante entspricht der Multiplikation der bereits mit der Konstanten transponierten Matrix.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-802c2bde61d7e419e73a5d5424661aec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(c\\cdot A\\right)^t = c\\cdot A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"114\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong><span style=\"color:#1976d2;\">Symmetrische Matrix:<\/span><\/strong> Wenn die Transponierte einer Matrix gleich der Matrix ohne Transponierte ist, sagen wir, dass es sich um eine <strong>symmetrische Matrix handelt:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d15c8f7ea597b852f92fdb47dbdb8c80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{pmatrix} 7 &amp; 1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 5  \\end{pmatrix} \\right.^t = \\begin{pmatrix} 7 &amp; 1 &amp; 3 \\\\[1.1ex] 1 &amp; 4 &amp; 2 \\\\[1.1ex] 3 &amp; 2 &amp; 5  \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"202\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong><span style=\"color:#1976d2;\">Antisymmetrische Eigenschaft:<\/span><\/strong> Wenn wir beim Transponieren einer mathematischen Matrix dieselbe Matrix erhalten, jedoch mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen aller Elemente, handelt es sich um eine <strong>antisymmetrische Matrix:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fcd7cfe60e5570bb668945b81540254_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{pmatrix} 0 &amp; 2 &amp; 4 \\\\[1.1ex] -2 &amp; 0 &amp; 6 \\\\[1.1ex] -4 &amp; -6 &amp; 0  \\end{pmatrix}\\right.^t = \\begin{pmatrix} 0 &amp; -2 &amp; -4 \\\\[1.1ex] 2 &amp; 0 &amp; -6 \\\\[1.1ex] 4 &amp; 6 &amp; 0  \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"89\" width=\"257\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie die Transpositionsmatrix (oder Transpositionsmatrix) berechnen. 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