{"id":275,"date":"2023-07-10T00:23:44","date_gmt":"2023-07-10T00:23:44","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/abstand-von-einer-linie-zu-einer-ebene-im-raum-formel\/"},"modified":"2023-07-10T00:23:44","modified_gmt":"2023-07-10T00:23:44","slug":"abstand-von-einer-linie-zu-einer-ebene-im-raum-formel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/abstand-von-einer-linie-zu-einer-ebene-im-raum-formel\/","title":{"rendered":"Abstand von einer linie zu einer ebene im raum"},"content":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie der Abstand einer Geraden zu einer Ebene berechnet wird und au\u00dferdem k\u00f6nnen Sie Beispiele und \u00dcbungen sehen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcual-es-la-distancia-de-una-recta-a-un-plano\"><\/span> Wie gro\u00df ist der Abstand zwischen einer Linie und einer Ebene?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> In der analytischen Geometrie h\u00e4ngt der Abstand zwischen einer Linie und einer Ebene im Raum von der relativen Position zwischen diesen beiden geometrischen Elementen ab:<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn die <strong>Linie in der Ebene enthalten ist<\/strong> oder wenn <strong>die Linie und die Ebene parallel sind<\/strong> , ist der Abstand zwischen ihnen Null.<\/li>\n<li> Wenn die <strong>Linie parallel zur Ebene verl\u00e4uft<\/strong> , wird der Abstand von der Linie zur Ebene ermittelt, indem man einen beliebigen Punkt auf der Linie nimmt und den Abstand von diesem Punkt zur Ebene berechnet. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-une-ligne-et-un-plan.webp\" alt=\"Abstand einer Linie zu einer Ebene im Raum\" class=\"wp-image-4062\" width=\"459\" height=\"252\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Um den Abstand einer Linie zu einer Ebene zu berechnen, ist es daher wichtig, dass Sie wissen, wie Sie die <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\">relative Position zwischen einer Linie und einer Ebene<\/a> bestimmen und wie Sie den <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\">Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene<\/a> berechnen. Wenn Sie also nicht ganz klar sind oder die Formeln nicht kennen, empfehlen wir Ihnen, zun\u00e4chst einen Blick auf die verlinkten Seiten zu werfen, wo Sie Schritt f\u00fcr Schritt Erkl\u00e4rungen, Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen finden. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-como-calcular-la-distancia-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Beispiel f\u00fcr die Berechnung des Abstands zwischen einer Linie und einer Ebene<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie Sie den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene im Raum (im R3) ermitteln, l\u00f6sen wir beispielhaft eine Aufgabe:<\/p>\n<ul>\n<li> Wie weit ist die Linie?\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> im Flugzeug<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26d6788550ffd50fe94542bb3e8ee615_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ?<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4785f2386b4ff9387b56cf8c5645c62d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}x=-2+t \\\\[1.7ex] y=1-3t \\\\[1.7ex] z=-1+2t\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d8872d79c59216f4a8489f75a751cdb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 4x+2y+z-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um den Abstand zwischen der Linie und der Ebene zu ermitteln, m\u00fcssen Sie zun\u00e4chst die relative Position zwischen beiden kennen.<\/p>\n<p> Einerseits wird die Linie in Form parametrischer Gleichungen definiert, ihr Richtungsvektor und ein Punkt, durch den sie verl\u00e4uft, sind also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0765b71f9eead3b644fd5de150cdf321_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r =(1,-3,2) \\\\[2ex] P(-2,1,-1) \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"154\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und andererseits ist der Vektor normal zur Ebene:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4fe9c16b8d08778c89ab62afcd8e34e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} =(4,2,1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um die relative Position zwischen der Ebene und der Linie zu bestimmen, muss daher das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Linie und dem Vektor normal zur Ebene berechnet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39d2d450c32a6fdf3182a3d16cc18116_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n} &amp; = (1,-3,2) \\cdot (4,2,1) \\\\[2ex] &amp; = 1 \\cdot 4-3 \\cdot 2 +2\\cdot 1 \\\\[2ex] &amp;= 4 -6 +2 \\\\[2ex] &amp; = 0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"140\" width=\"202\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das Ergebnis des Skalarprodukts ist Null, die Gerade kann also nur in der Ebene enthalten oder parallel zu dieser sein. Um herauszufinden, um welchen Fall es sich handelt, setzen wir die kartesischen Koordinaten des Punktes auf der Geraden in die Gleichung der Ebene ein: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4916138781ab0b14c0b827b212fdd98_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4x+2y+z-6=0 \\ \\xrightarrow{P(-2,1,-1)} \\ 4\\cdot (-2) +2\\cdot 1 -1-6= 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"460\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-15f3d9b73d0b2646f6d0173989e7b20a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-8+2-1-6 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"146\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d93d0450119c6530b10ed45266e017e5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-13 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"63\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Indem wir den Punkt der Geraden in die Gleichung der Ebene einsetzen, erhalten wir eine Ungleichung, d. h. der Punkt respektiert die Gleichung der Ebene nicht und folglich sind die Gerade und die Ebene parallel.<\/p>\n<p> Sobald wir wissen, dass die Linie und die Ebene parallel sind, k\u00f6nnen wir nun den geometrischen Abstand zwischen ihnen berechnen. Dazu nehmen wir den Punkt auf der Geraden und berechnen den Abstand von diesem Punkt zur Ebene.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4413892ee4946e8c956d69a16a8d43ed_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(-2,1,-1) \\qquad \\qquad \\pi: \\ 4x+2y+z-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"353\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir verwenden also die Formel f\u00fcr den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa5cd77905fa8723448de603b90b705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Jetzt setzen wir den Wert jeder Unbekannten in die Formel ein:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beb8f4629b0195d8ea0870d678585895_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 4\\cdot (-2)+2\\cdot 1+1\\cdot (-1)-6\\rvert}{\\sqrt{4^2+2^2+1^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und schlie\u00dflich f\u00fchren wir die Operationen durch: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-570743258f771c18a79b360b80b6a462_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -8+2-1-6\\rvert}{\\sqrt{16+4+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ea97bcf06817734423f2e6e662a1658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -13\\rvert}{\\sqrt{21}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a19bec182b20b9b1a5a08b41cd817c6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{13}{\\sqrt{21}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"112\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit der Abstand zwischen der Linie und der Ebene dem Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene entspricht, berechnet man:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82d2055df31134bca62040c367778b50_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(r,\\pi)=d(P,\\pi) = }\\cfrac{\\bm{13}}{\\bm{\\sqrt{21}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"180\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Offensichtlich muss uns die Distanz immer einen positiven Wert geben, denn Distanzen sind immer positiv. Wenn wir ein negatives Ergebnis erhalten, bedeutet das, dass wir bei einem Schritt einen Fehler gemacht haben.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie der Abstand einer Geraden zu einer Ebene berechnet wird und au\u00dferdem k\u00f6nnen Sie Beispiele und \u00dcbungen sehen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Wie gro\u00df ist der Abstand zwischen einer Linie und einer Ebene? 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