{"id":274,"date":"2023-07-10T00:32:54","date_gmt":"2023-07-10T00:32:54","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/"},"modified":"2023-07-10T00:32:54","modified_gmt":"2023-07-10T00:32:54","slug":"relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/","title":{"rendered":"Relative positionen einer linie und einer ebene"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die relativen Positionen einer Linie und einer Ebene. Wir erkl\u00e4ren Ihnen, wie die relative Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnet wird (2 Methoden) und k\u00f6nnen zus\u00e4tzlich Beispiele und \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st sehen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcuales-son-las-posiciones-relativas-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Was sind die relativen Positionen zwischen einer Linie und einer Ebene?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Bevor wir uns alle m\u00f6glichen relativen Positionen zwischen einer Linie und einer Ebene ansehen, m\u00fcssen wir nat\u00fcrlich wissen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/definition-von-linieneigenschaften,-typen,-beispiele,-gerade-linie\/\">, was Linien<\/a> und <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ebene-geometrie\/\">was eine Ebene sind<\/a> . Wenn Ihnen diese beiden Konzepte also immer noch nicht ganz klar sind, empfehlen wir Ihnen, zun\u00e4chst einen Blick auf die verlinkten Seiten zu werfen, auf denen sie ausf\u00fchrlich erkl\u00e4rt werden.<\/p>\n<p> Daher gibt es in der analytischen Geometrie nur drei relative Positionen im Raum zwischen einer Linie und einer Ebene:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>In der Ebene enthaltene Linie<\/strong> : Wenn die Linie in der Ebene enthalten ist, bedeutet dies, dass sie unendlich viele gemeinsame Punkte haben.<\/li>\n<li> <strong>Parallele Linie und Ebene<\/strong> : Eine Linie und eine Ebene sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.<\/li>\n<li> <strong>Schnittlinie und Ebene<\/strong> : Eine Linie und eine Ebene schneiden sich, wenn die Linie die Ebene in einem Punkt schneidet. Sie haben also nur eines gemeinsam. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-dune-droite-et-dun-plan.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-4014\" width=\"651\" height=\"400\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wenn die Linie hingegen in der Ebene liegt oder parallel zueinander ist, betr\u00e4gt der Winkel, den sie bilden, 0\u00b0. Wenn sich hingegen die Linie und die Ebene schneiden, kann der Winkel zwischen den beiden geometrischen Elementen zwischen 0\u00b0 (nicht eingeschlossen) und 90\u00b0 (einschlie\u00dflich) liegen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-calcular-la-posicion-relativa-de-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Wie berechnet man die relative Position einer Linie und einer Ebene?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Es gibt haupts\u00e4chlich zwei Methoden, um die relative Position zwischen einer Linie und einer Ebene im Raum zu ermitteln: <strong>anhand von Bereichen<\/strong> oder <strong>anhand von Vektoren<\/strong> .<\/p>\n<p> Wenn die Gerade als implizite (oder allgemeine) Gleichung ausgedr\u00fcckt wird, ist es einfacher, die Rangmethode zu verwenden. Wenn die Gerade hingegen durch einen anderen Gleichungstyp angegeben wird, beispielsweise wenn sie in Form eines Vektors, einer parametrischen oder kontinuierlichen Gleichung vorliegt, ist es schneller, die Vektormethode zu verwenden.<\/p>\n<p> Wenn Sie sich nicht erinnern, wie die Gleichungen der Linie aussehen, hinterlassen wir Ihnen eine Seite, auf der Sie <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/liniengleichungen,-alle-formeln,-beispiele,-geloste-ubungen\/\">alle Gleichungen der Linie<\/a> einsehen k\u00f6nnen. Hier finden Sie alle Gleichungen der Geraden, eine Formel zum schnellen Finden der Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte, Beispiele und Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen.<\/p>\n<p> Daher ist es praktischer, je nach Problem die eine oder andere Methode zu verwenden. Aus diesem Grund empfehlen wir Ihnen, zu wissen, wie beide Verfahren durchgef\u00fchrt werden. Nachfolgend finden Sie die Erl\u00e4uterung beider Methoden anhand von Beispielen. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"cuando-la-recta-esta-en-forma-de-ecuacion-implicita-o-general\"><\/span> Wenn die Gerade die Form einer impliziten (oder allgemeinen) Gleichung hat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Eine M\u00f6glichkeit, die relative Position zwischen einer Linie und einer Ebene zu bestimmen, besteht darin, den Rang zweier Matrizen zu berechnen.<\/p>\n<p> Wenn die Gerade durch ihre impliziten (oder allgemeinen) Gleichungen definiert ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90fc7032d2804ef53ac3136f01ee9d86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\\\[2ex] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"256\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und der Plan wird auch in Form einer allgemeinen Gleichung ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3bdc521630479fe27eb3873cd5b21b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir nennen A die Matrix, die aus den Koeffizienten A, B und C der Gleichungen der Ebene und der Geraden besteht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e697e27706489cb97d773b722c84ad37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A =\\begin{pmatrix} A_1&amp;B_1&amp;C_1\\\\[1.1ex] A_2&amp;B_2&amp;C_2\\\\[1.1ex] A_3&amp;B_3&amp;C_3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"158\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und die Matrix A&#8216; ist die erweiterte Matrix mit allen Koeffizienten der beiden Gleichungen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c87c6559e077c5bedb08d62e386f0bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A' =\\begin{pmatrix} A_1&amp;B_1&amp;C_1&amp;D_1\\\\[1.1ex] A_2&amp;B_2&amp;C_2&amp;D_2\\\\[1.1ex] A_3&amp;B_3&amp;C_3&amp;D_3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"201\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dann wird die relative Position zwischen der Linie und der Ebene durch den Wert der Ausdehnung der beiden vorherigen Matrizen gem\u00e4\u00df der folgenden Tabelle bestimmt: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/position-relative-entre-une-ligne-et-un-plan-par-intervalles.webp\" alt=\"Untersuchen Sie die relative Position zwischen einer Linie und einer Ebene im Raum anhand von Bereichen\" class=\"wp-image-4019\" width=\"623\" height=\"194\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Dass die relativen Positionen von den R\u00e4ngen dieser beiden Matrizen abh\u00e4ngen, kann anhand des Rouche-Frobenius-Toerems (ein Satz zur L\u00f6sung linearer Gleichungssysteme) gezeigt werden. Auf dieser Seite werden wir die Demonstration jedoch nicht durchf\u00fchren, da es nicht erforderlich ist, sie zu kennen, und sie auch nicht viel bringt.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel daf\u00fcr, wie man die relative Position einer Linie und einer Ebene anhand von Bereichen ermittelt<\/h4>\n<p> Damit Sie genau sehen k\u00f6nnen, wie das geht, l\u00f6sen wir beispielhaft eine \u00dcbung:<\/p>\n<ul>\n<li> Untersuchen Sie die relative Position zwischen der folgenden Linie und der folgenden Ebene:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-794d91d1740ca80c422936e5e06abefd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}2x+y+z+3=0 \\\\[2ex] 4x-y+5z+2=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"198\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14576ddb5ea954ab6ac03ddfa4719d21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 2x+2y-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Linie wird durch zwei sich schneidende Ebenen definiert, das hei\u00dft, sie wird als implizite Gleichung ausgedr\u00fcckt. Daher verwenden wir die Rangmethode, um die relative Position zwischen der Linie und der Ebene zu untersuchen.<\/p>\n<p> Als erstes m\u00fcssen Sie die Matrix A und die erweiterte Matrix A&#8216; mit den Koeffizienten der Gleichungen konstruieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-819af000774ddbc89e11df809bcb2a28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A =\\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0\\end{pmatrix} \\qquad \\qquad A' =\\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1&amp;3\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5&amp;2\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0&amp;-6\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"394\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und jetzt m\u00fcssen wir den Rang jeder Matrix berechnen. Wir ermitteln zun\u00e4chst den Umfang der Matrix A anhand von Determinanten: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5db59e1c8bbf94b95483870d47cea1b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-997e4d9c9bd1522795a581d0fb62cfdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0\\end{vmatrix} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"115\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-169fab3e064b8bb744ef9cc546bfe201_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1\\end{vmatrix} =-6 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef18656c1a261aa20598fc8f6a587323_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>Die Determinante der Matrix A ist Null, sie enth\u00e4lt jedoch eine 2\u00d72-Untermatrix, deren Determinante von Null verschieden ist, es handelt sich also um eine Matrix vom Rang 2.<\/p>\n<p> Andererseits ist es auch notwendig, den Rang der Matrix A&#8216; zu berechnen. Und der Bereich der erweiterten Matrix A&#8216; wird immer mindestens derselbe sein wie der der Matrix A, wir m\u00fcssen also nur pr\u00fcfen, ob sie den Rang 3 oder 2 hat: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8e886877bcaa4124dd444188a5cc66a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A') = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae375c2cd910e2e52f242facef2aecec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;3\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;2\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;-6\\end{vmatrix} =62 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"170\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f38f92bcbb2288e43932ccd835e99d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A') = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits hat die erweiterte Matrix A&#8216; eine von 0 verschiedene 3\u00d73-Unterdeterminante, sie hat daher den Rang 3.<\/p>\n<p> Da also Matrix A den Rang 2 und Matrix A&#8216; den Rang 3 hat, <strong>sind die Linie und die Ebene parallel<\/strong> . <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"cuando-la-recta-esta-en-forma-de-otro-tipo-de-ecuacion\"><\/span> Wenn die Gerade die Form einer anderen Art von Gleichung hat<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Wenn die Linie durch eine andere als die implizite Gleichung ausgedr\u00fcckt wird, sei es eine Vektor-, eine parametrische oder eine kontinuierliche Gleichung, ist es vorzuziehen, die unten erl\u00e4uterte Methode zu verwenden.<\/p>\n<p> Wenn die Gerade also in Form einer Vektorgleichung, parametrischer Gleichungen oder einer kontinuierlichen Gleichung vorliegt, bedeutet das, dass wir einen Punkt kennen, der zur Geraden geh\u00f6rt, und auch seinen Richtungsvektor.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5a0fe0918b9eb196b470ffde6dffb81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r \\\\[2ex] P\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"60\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits wissen wir auch, wie der Normalvektor (oder Senkrechtvektor) zur Ebene lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-123a18c0a20e53d6401b932e47192df0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} \\perp \\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Aus den beiden Vektoren und dem Punkt der Geraden l\u00e4sst sich dann die relative Lage zwischen der Geraden und der Ebene wie folgt berechnen:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff6f00; font-weight: bold;list-style-type:disc\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Wenn das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor zur Ebene ungleich Null ist, bedeutet dies, dass die Gerade eine Sekante zur Ebene ist.<\/span>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29625866e04f656f7067ec4fe6139bd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} \\neq 0 \\ \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black} \\ \\text{recta y plano secantes}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"388\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Wenn aber das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Linie und dem Normalenvektor zur Ebene gleich Null ist, gibt es zwei M\u00f6glichkeiten: Die Linie liegt in der Ebene oder sie sind parallel. Und um zu wissen, um welchen Fall es sich handelt, m\u00fcssen wir die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden in die Gleichung der Ebene einsetzen.<\/span>\n<ul style=\"list-style-type:circle\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Wenn der Punkt die Gleichung der Ebene erf\u00fcllt, ist die Linie in der Ebene enthalten.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67bea80768d5723b1a1a79404b6dad60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} \\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} = 0\\\\[2ex]P \\in \\pi   \\end{array} \\right\\}  \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black}\\ \\text{recta contenida en el plano}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"448\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Wenn andererseits der Punkt die Gleichung der Ebene nicht erf\u00fcllt, sind die Linie und die Ebene parallel.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1eccf7b373d59c89e835ae6c64e3d980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} \\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} = 0\\\\[2ex] P \\ \\cancel{\\in} \\ \\pi \\end{array} \\right\\} \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black} \\ \\text{recta y plano paralelos}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"415\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Beispiel f\u00fcr die Bestimmung der relativen Lage einer Linie und einer Ebene mithilfe von Vektoren<\/h4>\n<p> Nachdem wir die Theorie dieser Methode kennengelernt haben, sehen wir uns nun eine \u00dcbung an, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st wird:<\/p>\n<ul>\n<li> Finden Sie die relative Position zwischen der folgenden Linie und der folgenden Ebene:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7df9c39f91ee48f9c11804e81a7cb57a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}x=2-3t \\\\[1.7ex] y=-1+2t \\\\[1.7ex] z=-2t\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d98be29c4b72b8126b336e9fb89ddf78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 2x+y-2z-3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zun\u00e4chst wird die Linie als parametrische Gleichung definiert, sodass ihr Richtungsvektor und ein Punkt, durch den sie verl\u00e4uft, lauten:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c38a901be64fc1a358200bc95c6cafc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r =(-3,2,-2) \\\\[2ex] P(2,-1,0) \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"168\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und andererseits ist der Vektor normal zur Ebene:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d1147a5141ab6b378f2cc901e565685_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} =(2,1,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald wir den Richtungsvektor der Linie und den Normalenvektor zur Ebene kennen, m\u00fcssen wir das Skalarprodukt zwischen beiden berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cffc4ca748ea137ce81d1cb185c28b1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n} &amp; = (-3,2,-2) \\cdot (2,1,-2) \\\\[2ex] &amp; = -3 \\cdot 2+2 \\cdot 1 -2\\cdot (-2) \\\\[2ex] &amp;= -6 +2 +4 \\\\[2ex] &amp; = 0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"140\" width=\"240\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das Ergebnis des Skalarprodukts ist Null, die Gerade kann also nur in der Ebene enthalten oder parallel zu dieser sein. Um herauszufinden, um welchen Fall es sich handelt, setzen wir die kartesischen Koordinaten des Punktes auf der Geraden in die Gleichung der Ebene ein: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90c28414930db38453e927e36128fccd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x+y-2z-3=0 \\ \\xrightarrow{P(2,-1,0)} \\ 2\\cdot 2 -1 -2 \\cdot 0 -3 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65009666a542c5d85d27cde1024f9c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4- 1 -0 -3 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"133\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb23fb46aaefcb8f5b4dfd612098620b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Indem wir den Punkt der Linie in die Gleichung der Ebene einsetzen, erhalten wir eine Gleichheit, d. h. der Punkt respektiert die Gleichung der Ebene und folglich <strong>ist die Linie in der Ebene enthalten<\/strong> .<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie die relativen Positionen einer Linie und einer Ebene. Wir erkl\u00e4ren Ihnen, wie die relative Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnet wird (2 Methoden) und k\u00f6nnen zus\u00e4tzlich Beispiele und \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st sehen. Was sind die relativen Positionen zwischen einer Linie und einer Ebene? Bevor wir uns &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Relative positionen einer linie und einer ebene<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[15],"tags":[],"class_list":["post-274","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-punkte-linien-und-ebenen"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Relative Positionen einer Linie und einer Ebene - Mathematik<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Relative Positionen einer Linie und einer Ebene - Mathematik\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Auf dieser Seite finden Sie die relativen Positionen einer Linie und einer Ebene. Wir erkl\u00e4ren Ihnen, wie die relative Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnet wird (2 Methoden) und k\u00f6nnen zus\u00e4tzlich Beispiele und \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st sehen. Was sind die relativen Positionen zwischen einer Linie und einer Ebene? Bevor wir uns &hellip; Relative positionen einer linie und einer ebene Weiterlesen &raquo;\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2023-07-10T00:32:54+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-dune-droite-et-dun-plan.webp\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"Mathority Mannschaft\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Verfasst von\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"Mathority Mannschaft\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Gesch\u00e4tzte Lesezeit\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"6\u00a0Minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\"},\"author\":{\"name\":\"Mathority Mannschaft\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be\"},\"headline\":\"Relative positionen einer linie und einer ebene\",\"datePublished\":\"2023-07-10T00:32:54+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-10T00:32:54+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\"},\"wordCount\":1231,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\"},\"articleSection\":[\"Punkte, linien und ebenen\"],\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\",\"name\":\"Relative Positionen einer Linie und einer Ebene - Mathematik\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#website\"},\"datePublished\":\"2023-07-10T00:32:54+00:00\",\"dateModified\":\"2023-07-10T00:32:54+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"de\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Relative positionen einer linie und einer ebene\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#website\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\",\"name\":\"Mathority\",\"description\":\"Wo Neugierde auf Berechnung trifft!\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"de\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization\",\"name\":\"Mathority\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png\",\"width\":703,\"height\":151,\"caption\":\"Mathority\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/\"}},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be\",\"name\":\"Mathority Mannschaft\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"de\",\"@id\":\"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"contentUrl\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"Mathority Mannschaft\"},\"sameAs\":[\"http:\/\/mathority.org\/de\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Relative Positionen einer Linie und einer Ebene - Mathematik","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/","og_locale":"de_DE","og_type":"article","og_title":"Relative Positionen einer Linie und einer Ebene - Mathematik","og_description":"Auf dieser Seite finden Sie die relativen Positionen einer Linie und einer Ebene. Wir erkl\u00e4ren Ihnen, wie die relative Lage zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnet wird (2 Methoden) und k\u00f6nnen zus\u00e4tzlich Beispiele und \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st sehen. Was sind die relativen Positionen zwischen einer Linie und einer Ebene? Bevor wir uns &hellip; Relative positionen einer linie und einer ebene Weiterlesen &raquo;","og_url":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/","article_published_time":"2023-07-10T00:32:54+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-dune-droite-et-dun-plan.webp"}],"author":"Mathority Mannschaft","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Verfasst von":"Mathority Mannschaft","Gesch\u00e4tzte Lesezeit":"6\u00a0Minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/"},"author":{"name":"Mathority Mannschaft","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be"},"headline":"Relative positionen einer linie und einer ebene","datePublished":"2023-07-10T00:32:54+00:00","dateModified":"2023-07-10T00:32:54+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/"},"wordCount":1231,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization"},"articleSection":["Punkte, linien und ebenen"],"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/","name":"Relative Positionen einer Linie und einer Ebene - Mathematik","isPartOf":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#website"},"datePublished":"2023-07-10T00:32:54+00:00","dateModified":"2023-07-10T00:32:54+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/#breadcrumb"},"inLanguage":"de","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-positionen-einer-linie-und-einer-ebene\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/mathority.org\/de\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Relative positionen einer linie und einer ebene"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#website","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/","name":"Mathority","description":"Wo Neugierde auf Berechnung trifft!","publisher":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/mathority.org\/de\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"de"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#organization","name":"Mathority","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png","contentUrl":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-content\/uploads\/2023\/09\/mathority-log.png","width":703,"height":151,"caption":"Mathority"},"image":{"@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/logo\/image\/"}},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/c7da97cc1c90fc5e022a3dd06a76d3be","name":"Mathority Mannschaft","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"de","@id":"https:\/\/mathority.org\/de\/#\/schema\/person\/image\/","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","contentUrl":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/8a35e4c8616d1c34c03ca02862b580f4372c5650665668489db53a09579bbc4f?s=96&d=mm&r=g","caption":"Mathority Mannschaft"},"sameAs":["http:\/\/mathority.org\/de"]}]}},"yoast_meta":{"yoast_wpseo_title":"","yoast_wpseo_metadesc":"","yoast_wpseo_canonical":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/274","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=274"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/274\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=274"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=274"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathority.org\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=274"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}