{"id":273,"date":"2023-07-10T01:20:15","date_gmt":"2023-07-10T01:20:15","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/winkel-zwischen-einer-geraden-und-einer-ebene-formelbeispiele-und-geloste-ubungen\/"},"modified":"2023-07-10T01:20:15","modified_gmt":"2023-07-10T01:20:15","slug":"winkel-zwischen-einer-geraden-und-einer-ebene-formelbeispiele-und-geloste-ubungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/winkel-zwischen-einer-geraden-und-einer-ebene-formelbeispiele-und-geloste-ubungen\/","title":{"rendered":"Winkel zwischen einer linie und einer ebene"},"content":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene berechnet wird. Sie k\u00f6nnen sich auch Beispiele ansehen und zus\u00e4tzlich mit Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten \u00dcbungen zu Winkeln zwischen Linien und Ebenen \u00fcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcual-es-el-angulo-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Wie gro\u00df ist der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Linie und ihrer orthogonalen Projektion auf die Ebene. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angle-entre-une-ligne-et-un-plan.webp\" alt=\"Wie gro\u00df ist der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene?\" class=\"wp-image-3943\" width=\"500\" height=\"283\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene ist das Komplement des Winkels zwischen dieser Linie und dem Vektor normal zur Ebene. Daher wird der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene aus dem Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Linie und dem Normalenvektor der Ebene berechnet. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-angulo-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Winkelformel zwischen einer Linie und einer Ebene<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um die Formel f\u00fcr den Winkel zwischen einer Ebene und einer Linie abzuleiten, m\u00fcssen Sie wissen, wie <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/wie-man-den-winkel-zwischen-zwei-vektoren-berechnet.-beispiele-fur-geloste-ubungen\/\">man den Winkel zwischen zwei Vektoren ermittelt<\/a> . Auf der verlinkten Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung sowie Beispiele und Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen. Wenn Sie also nicht mehr wissen, wie es geht, empfehlen wir Ihnen, einen Blick darauf zu werfen.<\/p>\n<p> Da also der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene komplement\u00e4r zum Winkel zwischen dem Richtungsvektor dieser Linie ist<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e01bc8353ce87c4e409251c9a78dae8d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\vv{\\text{v}}_r)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"29\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> und der Normalenvektor zu dieser Ebene<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45cf5bc44c73892962f2e851f74daacc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(\\vv{n})\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"23\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Aus der Formel f\u00fcr den Winkel zwischen zwei Vektoren schlie\u00dfen wir, dass der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene dem folgenden Ausdruck entspricht:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-432b11c5cc73074467112392e29b46ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha)=\\cos(90-\\alpha) =\\cfrac{\\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n} \\rvert}{\\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n} \\rvert}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"247\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher <strong>lautet die Formel f\u00fcr den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene<\/strong> : <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angle-entre-une-droite-et-un-plan-formule.webp\" alt=\"Winkel zwischen einer Linie und einer Formelebene\" class=\"wp-image-3975\" width=\"282\" height=\"132\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Gold:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50f32076ae1ee85f5b7c5a6d43a03089_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"11\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<p> ist der direkte Vektor der Geraden.<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10affe1faee06a5faa4ef6d9c0473b1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist der Vektor normal zur Ebene. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-como-calcular-el-angulo-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Beispiel f\u00fcr die Berechnung des Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie Sie ein solches Problem l\u00f6sen k\u00f6nnen, finden Sie hier ein Beispiel f\u00fcr die Berechnung des Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene:<\/p>\n<ul>\n<li> Berechnen Sie den Winkel, den die Linie bildet\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> mit dem Flugzeug<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26622dd58bf71cd1b543c3d83233c561_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Ihre Gleichungen seien:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb8b61cb99a7af826a63ee098efc3a3c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} x= 3-t \\\\[1.7ex] y = 2+4t \\\\[1.7ex] z=-3t \\end{cases}\\qquad\\qquad \\pi : \\ x-y+4z+5=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"392\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Linie wird in Form parametrischer Gleichungen ausgedr\u00fcckt, daher ist ihr Richtungsvektor:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f5c132cae76c4e7d2eef34b80dda60e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r = (-1,4,-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Andererseits ist die Ebene in Form einer impliziten (oder allgemeinen) Gleichung definiert, sodass ihr Normalenvektor lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c8001623f05fee4f3266c426e184482_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} = (1,-1,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sobald wir also den Richtungsvektor der Linie und den Normalenvektor der Ebene kennen, wenden wir die Formel f\u00fcr den Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene an:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cb21d7d0053f3ffb4a8d0b19e824495_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) =\\cfrac{\\lvert\\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n}\\rvert}{\\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n} \\rvert}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir ersetzen die Vektoren in der Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60faf9957c871b9c9e62fe4ffc9b6973_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{sen}(\\alpha) =\\cfrac{\\lvert(-1,4,-3) \\cdot (1,-1,4)\\rvert}{\\sqrt{(-1)^2+4^2+(-3)^2} \\cdot \\sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"393\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und wir machen die Berechnungen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecf6e128745b2cea94a0651a086d9708_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha)  =\\cfrac{\\lvert -1\\cdot 1 +4 \\cdot (-1) + (-3) \\cdot 4\\rvert}{\\sqrt{26}\\cdot \\sqrt{18}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"289\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9ddce2ff5d93699f7583e541c33126d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) = \\cfrac{|-17|}{\\sqrt{468}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"125\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df350eb37802b9a0fd712299478ece35_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) = \\cfrac{17}{\\sqrt{468}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"117\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-77b7a2aaf4989013b48a34274af4b246_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha)= 0,79\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zum Schluss invertieren wir den Sinus mit dem Taschenrechner und ermitteln den Wert des Winkels:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4222f5a3e1dc32c123215c725dffadcf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha = \\text{sen}^{-1} (0,79) = \\bm{51,80\u00ba}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene betr\u00e4gt also etwa 51,80\u00b0.<\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen ber\u00fccksichtigen, dass, wenn wir jemals ein Ergebnis von 0\u00b0 erhalten, dies bedeutet, dass die Linie und die Ebene parallel sind oder dass die Linie in der Ebene enthalten ist. Und wenn der Winkel 90\u00b0 betr\u00e4gt, bedeutet dies, dass die Linie und die Ebene senkrecht zueinander stehen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-del-angulo-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span>Probleme des Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Finden Sie den Winkel, den die Linie bildet<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> mit dem Flugzeug<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26622dd58bf71cd1b543c3d83233c561_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Ihre Gleichungen seien: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-187a958fc02bef31b18b2c2f95379015_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\cfrac{x-1}{2} = \\cfrac{y+1}{-1} = \\cfrac{z+3}{-3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"203\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97968f3ad3bc2327d83f308575a4607d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\pi : \\ 3x+y+2z-1=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Linie wird als kontinuierliche Gleichung ausgedr\u00fcckt, daher ist ihr Richtungsvektor:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce8d892f9706e946ee38bea5601f420c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r = (2,-1,-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Andererseits hat die Ebene die Form einer impliziten (oder allgemeinen) Gleichung, sodass ihr Normalenvektor lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9b2fb6c5a45dd5cff0e5c949ab7ee22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} = (3,1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir also den Richtungsvektor der Linie und den Normalenvektor der Ebene kennen, verwenden wir die Formel f\u00fcr den Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cb21d7d0053f3ffb4a8d0b19e824495_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) =\\cfrac{\\lvert\\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n}\\rvert}{\\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n} \\rvert}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f79b0514974ecd648d402afe09fce215_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{sen}(\\alpha) =\\cfrac{\\lvert(2,-1,-3) \\cdot (3,1,2)\\rvert}{\\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2} \\cdot \\sqrt{3^2+1^2+2^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"362\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43b3452fc0559594f81d5793eb69bd50_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha)  =\\cfrac{\\lvert 2\\cdot 3 +(-1) \\cdot 1 + (-3) \\cdot 2\\rvert}{\\sqrt{14}\\cdot \\sqrt{14}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"275\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fae771d5c74fc70f8c235e7d977b97b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) = \\cfrac{|-1|}{14}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"116\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4af96594105dfe56eb0b48a782596cf5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) = \\cfrac{1}{14}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c26a8cbca5ca49005ddf750822a16359_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha)= 0,07\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Schlie\u00dflich invertieren wir den Sinus und ermitteln den Wert des Winkels:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6280b70e3e9db10239c8ed41338921b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha = \\text{sen}^{-1} (0,07) = \\bm{4,10\u00ba}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"185\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher betr\u00e4gt der Winkel zwischen der Linie und der Ebene 4,10\u00b0.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Bestimmen Sie den Winkel, den die Linie bildet<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> mit dem Flugzeug<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26622dd58bf71cd1b543c3d83233c561_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"15\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Ihre Gleichungen seien: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a8165b8e50fbc7764c77d1a984de353_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} 3x-y+4z+1=0 \\\\[2ex] x+2y-2z+6=0 \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"198\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ef4dec995f97607a7e037e37eeb0b7a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\pi : \\ -4x+2y-5=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"167\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Linie wird durch ihre impliziten (oder allgemeinen) Gleichungen ausgedr\u00fcckt. Daher muss der Richtungsvektor der Linie ermittelt werden, indem das Vektorprodukt der Vektoren normal zu den beiden Ebenen berechnet wird, die die Linie bestimmen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54cc86087728e7e163034c95afc55286_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{vmatrix} \\vv{i}&amp; \\vv{j}&amp; \\vv{k} \\\\[1.1ex] 3&amp; -1 &amp; 4 \\\\[1.1ex] 1 &amp;2&amp;-2 \\end{vmatrix}  = -6\\vv{i}+10\\vv{j}+7\\vv{k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"236\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d96017e2fa07a08307c10dc57ee61c8f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r = (-6,10,7)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Andererseits ist der Vektor normal zur Ebene:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-029b4c2fd253e26ab1b4c273507b5527_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} = (-4,2,0)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Sobald wir also den Richtungsvektor der Linie und den Normalenvektor der Ebene kennen, verwenden wir die Formel f\u00fcr den Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cb21d7d0053f3ffb4a8d0b19e824495_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) =\\cfrac{\\lvert\\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n}\\rvert}{\\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n} \\rvert}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc066db1739212edabe5d565f906830b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\text{sen}(\\alpha) =\\cfrac{\\lvert(-6,10,7) \\cdot (-4,2,0)\\rvert}{\\sqrt{(-6)^2+10^2+7^2} \\cdot \\sqrt{(-4)^2+2^2+0^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d143bdbebf8285d4543063a31d886c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha)  =\\cfrac{\\lvert -6\\cdot (-4) +10 \\cdot 2 + 7 \\cdot 0\\rvert}{\\sqrt{185}\\cdot \\sqrt{20}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35ceee51406f9d5bcc316b74690eb299_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) = \\cfrac{44}{\\sqrt{3700}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84549d70edc1d856e90c75ec50421389_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha)= 0,72\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Schlie\u00dflich invertieren wir den Sinus und ermitteln den Wert des Winkels:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e843d4cbca4933f7ba383adcd6566028_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\alpha = \\text{sen}^{-1} (0,72) = \\bm{46,33\u00ba}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher betr\u00e4gt der Winkel zwischen der Linie und der Ebene 46,33\u00b0.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Ermitteln Sie mithilfe der Formel f\u00fcr den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene den Wert von<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> notwendig f\u00fcr das Recht<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"r\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> und das Flugzeug<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26d6788550ffd50fe94542bb3e8ee615_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"11\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> parallel sein. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ce940060c57c2eae41e79fb31db1afe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ (x,y,z) = (2,0-1)+t(4,-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2f733e6dda28d7a2ab79930a2e311d76_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\pi : \\ 4x+3y+kz+7=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Erstens wird die Linie als Vektorgleichung ausgedr\u00fcckt, sodass ihr Richtungsvektor lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d80ac01e619cde85001850e17e3f2bf2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r = (4,-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Andererseits hat die Ebene die Form einer allgemeinen Gleichung, sodass ihr Normalenvektor lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b4a7ab8f96745e213fbc290625f5b463_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} = (4,3,k)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"90\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Damit die beiden geometrischen Elemente parallel sind, muss der Winkel zwischen ihnen Null sein. Daher lautet die Formel f\u00fcr den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cb21d7d0053f3ffb4a8d0b19e824495_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(\\alpha) =\\cfrac{\\lvert\\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n}\\rvert}{\\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n} \\rvert}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"135\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-efc7281925b7c514913e4aaf9102d342_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{sen}(0\u00ba) =\\cfrac{\\lvert\\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n}\\rvert}{\\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n} \\rvert}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"133\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-240cba5c3a27806488b1e8172b55b8a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 0 =\\cfrac{\\lvert\\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n}\\rvert}{\\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n} \\rvert}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"45\" width=\"94\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61e18ce576fafff8b4db05f6bca9cedb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 0 \\cdot \\lvert \\vv{\\text{v}}_r \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{n} \\rvert =\\lvert\\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n}\\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"154\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4639b105473c348e32b6d87593e0ab31_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 0 =\\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -3px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher muss das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor Null sein. Und aus dieser Gleichung k\u00f6nnen wir den Wert der Unbekannten bestimmen <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cf6d2c84f82625cb8a795ee1394251f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dd4a6abbc2ab11fe54f43b6aeea5ee6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 0 =(4,-1,3) \\cdot (4,3,k)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ecedbfc73f2ae09aa2f20d886b76217a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 0 =4\\cdot 4 -1\\cdot 3 +3 \\cdot k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"168\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6b2fc367d696e22656777d9c8394f7d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 0 =16 -3 +3 k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"120\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14bd0daaa168493c0978bdec5f548829_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -3k =13\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"73\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27a35752a178021d706238eff36fe7d3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle k =\\cfrac{13}{-3}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"58\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0aef8d9f84e0eeb1eceb52873846ca57_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\bm{k =-}\\mathbf{\\cfrac{13}{3}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<p> Wenn Sie diesen Artikel schlie\u00dflich hilfreich fanden, sind Sie wahrscheinlich auch daran interessiert, wie man den <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/winkel-zwischen-zwei-ebenen-im-raum,-formel-r3\/\">Winkel zwischen zwei Ebenen<\/a> ermittelt. Auf der Linkseite finden Sie eine sehr ausf\u00fchrliche Erkl\u00e4rung sowie die notwendige Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei verschiedenen Ebenen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele und \u00dcbungen sehen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden, um sie \u00fcben und verstehen zu k\u00f6nnen wie es perfekt gemacht wird.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier erfahren Sie, wie der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene berechnet wird. Sie k\u00f6nnen sich auch Beispiele ansehen und zus\u00e4tzlich mit Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten \u00dcbungen zu Winkeln zwischen Linien und Ebenen \u00fcben. Wie gro\u00df ist der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene? Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene ist &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/winkel-zwischen-einer-geraden-und-einer-ebene-formelbeispiele-und-geloste-ubungen\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Winkel zwischen einer linie und einer ebene<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[15],"tags":[],"class_list":["post-273","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-punkte-linien-und-ebenen"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/winkel-zwischen-einer-geraden-und-einer-ebene-formelbeispiele-und-geloste-ubungen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hier erfahren Sie, wie der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene berechnet wird. 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