{"id":271,"date":"2023-07-10T02:22:55","date_gmt":"2023-07-10T02:22:55","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/was-sind-vektoren-mathematik-physik-beispiele\/"},"modified":"2023-07-10T02:22:55","modified_gmt":"2023-07-10T02:22:55","slug":"was-sind-vektoren-mathematik-physik-beispiele","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/was-sind-vektoren-mathematik-physik-beispiele\/","title":{"rendered":"Was sind vektoren (mathematik)?"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie alles \u00fcber Vektoren: Was sie sind, ihre Eigenschaften, wie sie berechnet werden, wie man Operationen mit Vektoren durchf\u00fchrt, welche verschiedenen Typen es gibt, \u2026<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-un-vector\"><\/span> Was ist ein Vektor?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Die mathematische Definition eines Vektors lautet wie folgt:<\/p>\n<p> In der Mathematik <strong>ist ein Vektor ein gerichtetes Segment, das von einem Punkt (genannt Ursprung) zu einem anderen Punkt (genannt Ende) verl\u00e4uft.<\/strong><\/p>\n<p> In der folgenden Grafik k\u00f6nnen Sie beispielsweise sehen, dass der Vektor<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-243865b783ec40e03ec861ac2ebcb279_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"27\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Es hat Punkt A als Ursprung und Punkt B als Endpunkt. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/quest-ce-quun-vecteur.webp\" alt=\"Was ist ein mathematischer Vektor?\" class=\"wp-image-3678\" width=\"176\" height=\"176\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Vektoren werden haupts\u00e4chlich in der Mathematik, insbesondere der Geometrie und der Physik, verwendet, um Vektorkr\u00e4fte grafisch darzustellen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-un-vector\"><\/span> Eigenschaften eines Vektors<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nachdem wir die mathematische Bedeutung von Vektoren kennengelernt haben, wollen wir uns nun mit ihren Eigenschaften befassen.<\/p>\n<p> Jeder Vektor hat die folgenden geometrischen Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Richtung<\/strong> : Die Richtung eines Vektors ist die Richtung der Linie, die den Vektor enth\u00e4lt, oder einer dazu parallelen Linie. Mit anderen Worten: Die Richtung eines Vektors ist die Linie, auf der er liegt.<\/li>\n<li> <strong>Richtung<\/strong> : Die Richtung eines Vektors ist die Ausrichtung dieses Vektors, angezeigt durch seinen Pfeil.<\/li>\n<li> <strong>Modul<\/strong> (oder Betrag): Der Modul eines Vektors ist seine L\u00e4nge und entspricht dem numerischen Wert des Vektors. Je gr\u00f6\u00dfer der Vektor bedeutet, desto gr\u00f6\u00dfer ist daher die Vektormenge, die er darstellt.<\/li>\n<li> <strong>Anwendungspunkt<\/strong> : Der Anwendungspunkt eines Vektors ist der Ursprung dieses Vektors. <\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/caracteristiques-d-un-vecteur.webp\" alt=\"geometrische Eigenschaften von Vektoren\" class=\"wp-image-3682\" width=\"332\" height=\"313\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Die Begriffe \u201eRichtung\u201c und \u201eRichtung eines Vektors\u201c sind oft verwirrend, daher ist es wichtig, den Unterschied zwischen ihnen zu unterscheiden. Schauen Sie sich das folgende Beispiel mit zwei Vektoren an. Beide haben die gleiche Richtung, aber ihre Bedeutung ist unterschiedlich: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/sens-et-direction-d-un-vecteur.webp\" alt=\"Bedeutung der Bedeutung und Richtung eines Vektors\" class=\"wp-image-3686\" width=\"446\" height=\"181\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Die beiden Vektoren haben die gleiche Richtung, weil sie parallel sind. Stattdessen sind ihre Richtungen entgegengesetzt, da sie nach hinten zeigen.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"componentes-de-un-vector\"><\/span> Komponenten eines Vektors<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wir haben gerade gesehen, dass Vektoren grafisch durch Pfeile dargestellt werden, Vektoren k\u00f6nnen aber auch numerisch durch die Komponenten (oder Koordinaten) eines Vektors dargestellt werden.<\/p>\n<p> Wenn wir beispielsweise den folgenden Vektor in einem Diagramm darstellen: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/vecteur-exemples.webp\" alt=\"Beispiele f\u00fcr Vektoren\" class=\"wp-image-3692\" width=\"316\" height=\"283\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Um die Komponenten des Vektors zu berechnen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Koordinaten seines Ursprungs und Endes ermitteln, also die Punkte, an denen er beginnt und endet. In diesem Fall sind Ursprung und Ende des Vektors:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Ursprung des Vektors: A(2,1)<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Endpunkt des Vektors: B(5,6)<\/p>\n<p> Um also die Koordinaten oder Komponenten des Vektors zu finden, subtrahieren Sie einfach den Endpunkt minus den Ursprung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fba10729c8ded7f7c7051cfda5c12eab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{AB} &amp; = B- A \\\\[2ex] &amp; = (5,6)- (2,1) \\\\[2ex] &amp;= (5-2 \\ , \\ 6-1) \\\\[2ex] &amp;= (3,5) \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"144\" width=\"163\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit sind die Komponenten des im Diagramm dargestellten Vektors: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fbf31faea8cf602f9556fa80f618515_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\bm{AB}}\\bm{=(3,5)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"operaciones-con-vectores\"><\/span> Vektoroperationen <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"suma-de-vectores\"><\/span> Vektor hinzuf\u00fcgen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Um zwei Vektoren numerisch zu addieren, m\u00fcssen Sie ihre jeweiligen Komponenten addieren. Mit anderen Worten: Die X-Koordinaten der beiden Vektoren werden addiert und stimmen mit den Y-Koordinaten \u00fcberein.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d97d089a143f6e30d987b0ed74c56dfe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c} \\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x, \\text{v}_y)\\\\[4ex]\\vv{\\text{u}} + \\vv{\\text{v}} = (\\text{u}_x + \\text{v}_x \\ , \\ \\text{u}_y + \\text{v}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie das geht, f\u00fcgen wir die folgenden zwei Vektoren hinzu:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5107f1a0b5a49b0ffd79eb20211c48b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (2,3) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(4, -1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24ac65138e4d395f7773aa19ba806a49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} + \\vv{\\text{v}}&amp; =(2,3) +(4,-1) \\\\[2ex] &amp; = (2+4,3+(-1)) \\\\[2ex] &amp; = \\bm{(6,2)} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"103\" width=\"192\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Zwei Vektoren k\u00f6nnen auch aus ihren grafischen Darstellungen hinzugef\u00fcgt werden. Normalerweise wird hierf\u00fcr die Parallelogrammregel oder das Parallelogrammgesetz verwendet, es gibt jedoch viele Methoden. Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/summe-von-vektoren-grafisch-numerisch-geloste-beispiele-ubungen-hinzufugen\/\">zur grafischen Addition zweier Vektoren<\/a> finden Sie hier.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"resta-de-vectores\"><\/span> Vektorsubtraktion<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Um zwei Vektoren analytisch zu subtrahieren, m\u00fcssen Sie ihre jeweiligen Komponenten subtrahieren. Das hei\u00dft, die X-Koordinaten der beiden Vektoren werden voneinander subtrahiert und stimmen mit den Y-Koordinaten \u00fcberein.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c755aca302ff1c1b956ca3d91bac1095_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c} \\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x, \\text{v}_y)\\\\[4ex]\\vv{\\text{u}} - \\vv{\\text{v}} = (\\text{u}_x - \\text{v}_x \\ , \\ \\text{u}_y - \\text{v}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Als Beispiel subtrahieren wir die folgenden zwei Vektoren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e6976699c55e7cb1372aca76313b056_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (3,1) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(2, -4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5693a8287adebc3a4553358f8a8b0969_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} - \\vv{\\text{v}}&amp; =(3,1) -(2,-4) \\\\[2ex] &amp; = (3-2,1-(-4)) \\\\[2ex]&amp; = (3-2,1+4) \\\\[2ex] &amp; = \\bm{(1,5)} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"145\" width=\"192\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie bei der Addition k\u00f6nnen Sie auch zwei Vektoren mithilfe ihrer Darstellungen subtrahieren. Hierf\u00fcr wird \u00fcblicherweise die Dreiecksregel oder das Dreiecksgesetz verwendet, es gibt jedoch mehrere Methoden. Sie k\u00f6nnen sie alle mit Beispielen und gel\u00f6sten \u00dcbungen zur <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/vektoren-numerisch-grafisch-subtrahieren-beispiele-geloste-ubung-subtrahieren\/\">grafischen Subtraktion zweier Vektoren<\/a> sehen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"modulo-de-un-vector\"><\/span> Modul eines Vektors<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Wie wir am Anfang dieser Seite gesehen haben, entspricht die Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors der L\u00e4nge dieses Vektors. Nun, die L\u00e4nge (oder Gr\u00f6\u00dfe) eines Vektors kann aus seinen Komponenten bestimmt werden.<\/p>\n<p> Betrachten Sie einen beliebigen Vektor:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4b2f8c9cdb09377a66fbce8392c30ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um den Betrag eines Vektors in der Ebene zu ermitteln, m\u00fcssen wir die folgende Formel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95466c107aed66569925d4b89a3a939b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle \\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert = \\sqrt{ \\text{u}_x^2+\\text{u}_y^2} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir berechnen beispielsweise den Betrag des folgenden Vektors mit der Formel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6273ca0b37b024bc5684ec07237607bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (3,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d78c0f573a5d2db399d099ebc4a3cb85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert =\\sqrt{3^2+(-4)^2} = \\sqrt{9+16}=\\sqrt{25} = \\bm{5}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Obwohl es sehr einfach erscheint, kann die Bestimmung der Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors kompliziert sein. Wenn Sie weitere Beispiele sehen und mit <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/modul-einer-vektorformel-beispiele-geloster-ubungen\/\">gel\u00f6sten \u00dcbungen des Moduls eines Vektors<\/a> \u00fcben m\u00f6chten, empfehlen wir Ihnen, diese verlinkte Seite zu besuchen. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"multiplicacion-de-un-vector-por-un-escalar\"><\/span> Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Um das Produkt eines Vektors mit einer Zahl (oder einem Skalar) numerisch zu berechnen, muss jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert werden.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc2018686141332d7620fe51d93dae8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c}\\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y)\\\\[4ex]k\\cdot \\vv{\\text{u}} =(k\\cdot \\text{u}_x \\ , \\ k\\cdot \\text{u}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Im folgenden generischen Beispiel k\u00f6nnen Sie sehen, wie die Richtung des Vektors unabh\u00e4ngig vom Vorzeichen des Skalars beibehalten wird. Andererseits h\u00e4ngt die Richtung des Vektors vom Vorzeichen der Zahl ab, die er multipliziert. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/multiplication-ou-produit-dun-nombre-ou-dun-scalaire-par-un-vecteur.webp\" alt=\"Multiplikation oder Produkt einer Zahl oder eines Skalars mit einem Vektor\" class=\"wp-image-283\" width=\"298\" height=\"201\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Unten sehen Sie ein numerisches Beispiel, wie Sie das Produkt eines Vektors und einer Zahl ermitteln: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c2dd0a37f737f7c82d6da8b971ca0f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} =(3,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87282d0a06c534058bd4b64120bdf391_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{\\text{u}} =(4 \\cdot 3 \\ , \\ 4 \\cdot (-2)) = \\bm{(12,-8)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-escalar\"><\/span> Skalarprodukt<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> In der analytischen Geometrie ist das Skalarprodukt eine Vektoroperation, die zwei Vektoren multipliziert und in eine reelle Zahl umwandelt.<\/p>\n<p> Somit lautet die Formel f\u00fcr das Skalarprodukt zweier Vektoren wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f09930024fc5c410889bea53d06982e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle  \\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}} = \\text{u}_x\\cdot \\text{v}_x + \\text{u}_y\\cdot \\text{v}_y \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Unten sehen Sie ein Beispiel, in dem das Ergebnis des Skalarprodukts zwischen zwei Vektoren berechnet wird:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7437bf59c08f823d3a9ca8b5f32a3f13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (4,2) \\qquad \\vv{\\text{v}} = (-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2a8137101f391be2b197764b8b21223_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}}&amp;=(4,2)\\cdot (-1,3) \\\\[1.5ex]&amp;=4\\cdot (-1) + 2 \\cdot 3 \\\\[1.5ex] &amp; = -4+6  \\\\[1.5ex] &amp; =\\bm{10} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"129\" width=\"166\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Unter diesem Link k\u00f6nnen Sie weitere <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/berechnen-sie-das-skalarprodukt-zwischen-zwei-vektoren.-beispiele-fur-geloste-ubungen\/\">Beispiele f\u00fcr das Skalarprodukt<\/a> sehen. Dar\u00fcber hinaus finden Sie eine weitere M\u00f6glichkeit, das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren zu finden, die Eigenschaften dieser Art von Operation mit Vektoren und \u00dcbungen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-vectorial\"><\/span> Vektorprodukt<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Obwohl sie sich im Namen sehr \u00e4hneln, sind Skalarprodukt und Kreuzprodukt v\u00f6llig unterschiedlich.<\/p>\n<p> <strong>Kreuzprodukt<\/strong> , auch Kreuzprodukt genannt, ist eine Operation zwischen zwei Vektoren im Raum (im R3), das hei\u00dft, es handelt sich um Dreikoordinatenvektoren.<\/p>\n<p> Wenn wir also zwei beliebige dreidimensionale Vektoren haben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-581394386a4c68ca2bfa92fb4e2445ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}= (\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z) \\qquad \\vv{\\text{v}}= (\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"267\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das Kreuzprodukt der beiden Vektoren ist gleich dem Ergebnis der folgenden 3\u00d73-Determinante:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c85dc2dfb37842b31dea465c8887bc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle   \\vv{\\text{u}} \\times \\vv{\\text{v}}=\\begin{vmatrix} \\vv{i}&amp; \\vv{j}&amp; \\vv{k} \\\\[1.1ex] \\text{u}_x &amp; \\text{u}_y &amp; \\text{u}_z \\\\[1.1ex] \\text{v}_x &amp;\\text{v}_y&amp;\\text{v}_z \\end{vmatrix}  \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> wo die Vektoren<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-899f7cb82c85508ac2129e2393976f80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{i}, \\vv{j},\\vv{k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> sind die Einheitsvektoren in den Richtungen der X-, Y- und Z-Achse.<\/p>\n<p> Dar\u00fcber hinaus ist die Richtung des resultierenden Vektors senkrecht zu den beiden multiplizierten Vektoren.<\/p>\n<p> Wie Sie sich vorstellen k\u00f6nnen, ist die L\u00f6sung dieser Art von Operation schwieriger als die vorherigen. Aus diesem Grund haben wir eine ganze Seite mit einer detaillierten Erkl\u00e4rung, wie das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren berechnet wird. Wenn Sie Interesse haben, empfehlen wir Ihnen daher, es zu besuchen und mit den <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/kreuzprodukt-zweier-vektoren-kreuzformelbeispiele-geloste-ubungen\/\">gel\u00f6sten Vektorprodukt\u00fcbungen<\/a> zu \u00fcben.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-mixto\"><\/span> gemischtes Produkt<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Das <strong>gemischte Produkt<\/strong> dreier Vektoren, auch Dreifachskalarprodukt genannt, ist eine sukzessive Multiplikation zwischen drei Vektoren, die zwei verschiedene Arten von Operationen umfasst: das Skalarprodukt und das Vektorprodukt. Die Kombination der beiden Vektoroperationen ergibt also einen Skalar (eine reelle Zahl).<\/p>\n<p> Konkret besteht das gemischte Produkt aus der Berechnung des Vektorprodukts zweier Vektoren und der anschlie\u00dfenden vektoriellen Multiplikation des erhaltenen Ergebnisses mit einem dritten Vektor. Schauen Sie sich die Formel an:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20bc6ca73caab65fbe6dafc458258ae7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.3pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle   \\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr] = \\vv{\\text{u}} \\cdot ( \\vv{\\text{v}}\\times \\vv{\\text{w}}) \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie beim Vektorprodukt ist die L\u00f6sung des gemischten Produkts zwischen Vektoren nicht einfach. Aus diesem Grund empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf diese Erkl\u00e4rung zum <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-gemischte-produkte-aus-drei-vektoren-oder-dreifache-skalarprodukte\/\">gemischten Produkt dreier Vektoren<\/a> zu werfen, in der Sie Beispiele, gel\u00f6ste Aufgaben und die geometrische Bedeutung dieser Vektoroperation finden.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-vectores\"><\/span> Vektortypen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Es gibt viele verschiedene Arten von Vektoren, aber die wichtigsten Definitionen, die Sie kennen sollten, sind:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Einheitsvektor<\/strong> : Vektor, dessen Modul gleich 1 ist.<\/li>\n<li> <strong>Fester Vektor<\/strong> : Ein Vektor ist fest, wenn der Ursprung des Vektors auf einen festen Punkt angewendet wird.<\/li>\n<li> <strong>Freier Vektor<\/strong> : Ein Vektor ist frei, wenn sein Angriffspunkt nicht definiert ist, aber ein freier Punkt ist.<\/li>\n<li> <strong>Kollineare Vektoren<\/strong> : Zwei oder mehr Vektoren sind kollinear, wenn sie dieselbe Wirkungslinie haben (Linie, auf der sich der Vektor befindet).<\/li>\n<li> <strong>\u00c4quivalente Vektoren<\/strong> : Zwei Vektoren sind \u00e4quivalent, wenn sie die gleiche Gr\u00f6\u00dfe, den gleichen Sinn und die gleiche Richtung haben (obwohl sie unterschiedliche Angriffspunkte haben k\u00f6nnen).<\/li>\n<li> <strong>Verkn\u00fcpfte Vektoren<\/strong> : Verkn\u00fcpfte Vektoren sind \u00e4quivalente Vektoren, die ebenfalls auf derselben Linie wirken.<\/li>\n<li> <strong>Entgegengesetzte Vektoren<\/strong> : Zwei Vektoren sind entgegengesetzt, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung, aber eine unterschiedliche Richtung haben.<\/li>\n<li> <strong>Positionsvektor<\/strong> : Der Positionsvektor ist der Vektor, dessen Ursprung der Punkt (0,0) (Ursprung der Koordinaten) ist.<\/li>\n<li> <strong>Konkurrierende Vektoren<\/strong> : Zwei oder mehr Vektoren sind gleichzeitig, wenn ihre Wirkungslinien durch denselben Punkt verlaufen, sich also schneiden.<\/li>\n<li> <strong>Parallele Vektoren<\/strong> : Zwei oder mehr Vektoren sind parallel, wenn sie unabh\u00e4ngig von ihrer Richtung die gleiche Richtung haben.<\/li>\n<li> <strong>Senkrechte Vektoren<\/strong> : Zwei Vektoren sind senkrecht (oder orthogonal), wenn ihre Richtungen einen Winkel von 90\u00b0 bilden.<\/li>\n<li> <strong>Orthonormale Vektoren<\/strong> : Zwei oder mehr Vektoren sind orthonormal, wenn sie senkrecht zueinander stehen und dar\u00fcber hinaus einheitlich sind (ihr Betrag ist gleich eins).<\/li>\n<li> <strong>Koplanare Vektoren<\/strong> : Zwei oder mehr Vektoren sind koplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"angulo-entre-dos-vectores\"><\/span> Winkel zwischen zwei Vektoren<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Um den Winkel zwischen zwei gegebenen Vektoren zu ermitteln, m\u00fcssen wir die folgende Formel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67007d32353dedf96eb6b965b16c5489_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\cos(\\alpha) =\\cfrac{\\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}}}{\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{\\text{v}} \\rvert} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Gold<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4501274336c637b37c6332eae5c6c229_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a59cd4f2581db3318d38a2a77340a64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{v}} \\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> sind die Module der Vektoren<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cac24ae79c1e4cbc459f01ed5e4f824e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-391ac2e3ba0b7f327ba5a0edc1ba162d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> jeweils.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie alles \u00fcber Vektoren: Was sie sind, ihre Eigenschaften, wie sie berechnet werden, wie man Operationen mit Vektoren durchf\u00fchrt, welche verschiedenen Typen es gibt, \u2026 Was ist ein Vektor? 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