{"id":267,"date":"2023-07-10T04:25:24","date_gmt":"2023-07-10T04:25:24","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/ebenengleichungen-im-raum\/"},"modified":"2023-07-10T04:25:24","modified_gmt":"2023-07-10T04:25:24","slug":"ebenengleichungen-im-raum","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/ebenengleichungen-im-raum\/","title":{"rendered":"Ebenengleichungen im raum"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite finden Sie die Formeln f\u00fcr alle Gleichungen im Plan und wie sie berechnet werden. Au\u00dferdem erfahren Sie, wie Sie die Gleichung einer beliebigen Ebene mit ihrem Normalenvektor finden. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele sehen und mit gel\u00f6sten \u00dcbungen die Gleichungen des Plans \u00fcben. <\/p>\n

<\/span> Wie lautet die Gleichung der Ebene?<\/span><\/h2>\n

In der analytischen Geometrie ist die Gleichung einer Ebene<\/strong> eine Gleichung, die es erm\u00f6glicht, jede Ebene mathematisch auszudr\u00fccken. Um die Gleichung einer Ebene zu finden, ben\u00f6tigen Sie also nur einen Punkt und zwei linear unabh\u00e4ngige Vektoren, die zu dieser Ebene geh\u00f6ren.<\/p>\n

Bevor Sie mit der Erkl\u00e4rung von Ebenengleichungen fortfahren, m\u00fcssen Sie unbedingt verstehen, was Ebene (Geometrie)<\/a> ist, da es sonst Dinge gibt, die Sie nicht verstehen. Wenn Sie sich nicht ganz sicher sind, k\u00f6nnen Sie es unter diesem Link nachlesen. Dort haben wir alles zusammengefasst, was Sie \u00fcber den Plan wissen m\u00fcssen. <\/p>\n

<\/span> Was sind die Gleichungen des Plans?<\/span><\/h2>\n

Wie wir bei der Definition der Gleichung einer Ebene gesehen haben, kann jeder Punkt auf einer flachen Ebene als lineare Kombination aus einem Punkt und zwei Vektoren ausgedr\u00fcckt werden. <\/p>\n

\n
\"xy-Ebenengleichung<\/figure>\n<\/div>\n

Eine notwendige Bedingung daf\u00fcr, dass die Gleichung einer Ebene entspricht, ist jedoch, dass die beiden Vektoren der Ebene lineare Unabh\u00e4ngigkeit haben, das hei\u00dft, die beiden Vektoren k\u00f6nnen nicht parallel zueinander sein.<\/p>\n

Somit sind alle Arten von Gleichungen der Ebene: die Vektorgleichung<\/strong> , die parametrischen Gleichungen<\/strong> , die implizite (oder allgemeine) Gleichung<\/strong> und die kanonische (oder segmentale) Gleichung<\/strong> der Ebene.<\/p>\n

Dann werden wir die Erkl\u00e4rung und Formel aller Gleichungen des Plans im Detail sehen. <\/p>\n

<\/span> Vektorgleichung der Ebene<\/span><\/h3>\n

Betrachten Sie einen Punkt und zwei Richtungsvektoren einer Ebene:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}<\/p>\n<\/p>\n

Die Formel f\u00fcr die Vektorgleichung einer Ebene<\/strong> lautet:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Oder gleichwertig:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Gold<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

Und<\/p>\n

\"\\mu\"<\/p>\n

sind zwei Skalare, also zwei reelle Zahlen. <\/p>\n

<\/span> Parametrische Gleichungen der Ebene<\/span><\/h3>\n

Die Parametergleichung einer Ebene kann aus ihrer Vektorgleichung bestimmt werden. Unten k\u00f6nnen Sie die Demo sehen.<\/p>\n

Die Vektorgleichung einer beliebigen Ebene sei:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Wir operieren und f\u00fchren zun\u00e4chst die Produkte von Vektoren durch die Skalare aus:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+<\/p>\n<\/p>\n

Als n\u00e4chstes f\u00fcgen wir die Komponenten hinzu:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x+\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich erhalten wir die parametrischen Gleichungen des Plans, indem wir die Koordinaten, die jeder Variablen entsprechen, separat assimilieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Gold:<\/p>\n