{"id":26,"date":"2023-09-17T11:06:22","date_gmt":"2023-09-17T11:06:22","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/stetige-funktion-kontinuitat-einer-funktion\/"},"modified":"2023-09-17T11:06:22","modified_gmt":"2023-09-17T11:06:22","slug":"stetige-funktion-kontinuitat-einer-funktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/stetige-funktion-kontinuitat-einer-funktion\/","title":{"rendered":"Kontinuierliche funktion (stetigkeit einer funktion)"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was stetige Funktionen sind und wie man ermittelt, ob eine Funktion an einem Punkt stetig ist oder nicht. Dar\u00fcber hinaus finden Sie Eigenschaften stetiger Funktionen und Kontinuit\u00e4tsanalysen der h\u00e4ufigsten Funktionen. Abschlie\u00dfend k\u00f6nnen Sie mit gel\u00f6sten \u00dcbungen zur kontinuierlichen Funktion \u00fcben, um das Konzept vollst\u00e4ndig zu verstehen. <\/p>\n

<\/span> Was ist eine stetige Funktion?<\/span><\/h2>\n

Die Stetigkeit einer Funktion kann grafisch untersucht werden. Eine stetige Funktion ist eine Funktion, die in einem Diagramm dargestellt werden kann, ohne den Bleistift vom Papier zu nehmen.<\/strong><\/p>\n

Kontinuierliche Funktion<\/strong><\/u> <\/p>\n

\"kontinuierliche<\/figure>\n

Die obige Funktion ist kontinuierlich, da sie in einem Strich gezeichnet werden kann, ohne die Hand vom Papier zu nehmen.<\/p>\n

Wenn andererseits die vorherige Kontinuit\u00e4tsbedingung nicht in eine Funktion eingef\u00fcgt wird, spricht man von einer diskontinuierlichen Funktion<\/strong> .<\/p>\n

Diskontinuierliche Funktion<\/strong><\/u> <\/p>\n

\"diskontinuierliche<\/figure>\n

Die vorherige Funktion ist diskontinuierlich, da Sie zu ihrer Darstellung zwei Linien mit dem Bleistift zeichnen m\u00fcssen. In diesem Fall h\u00f6rt die Funktion bei x=3 auf, stetig zu sein, wir sagen daher, dass x=3 ein Unstetigkeitspunkt<\/strong> ist.<\/p>\n

Dar\u00fcber hinaus gibt es drei Arten von Diskontinuit\u00e4ten<\/strong> : vermeidbare Diskontinuit\u00e4t, unvermeidliche Diskontinuit\u00e4t mit endlichem Sprung und unvermeidliche Diskontinuit\u00e4t mit unendlichem Sprung. Unter dem folgenden Link k\u00f6nnen Sie sehen, wie die einzelnen Arten von Diskontinuit\u00e4ten aussehen und was sie jeweils unterscheidet:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> Arten von Diskontinuit\u00e4ten<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt<\/span><\/h2>\n

Sobald wir sehen, wie der Graph einer stetigen Funktion aussieht, schauen wir uns an, wie wir analytisch feststellen k\u00f6nnen, ob eine Funktion stetig ist oder nicht.<\/p>\n

Mathematisch gesehen ist eine Funktion an einem Punkt stetig, wenn die folgenden drei Bedingungen erf\u00fcllt sind:<\/strong><\/p>\n

    \n
  1. Die Funktion existiert an diesem Punkt, das hei\u00dft, das Bild des Punktes existiert.<\/span><\/li>\n

    \"\\exists<\/p>\n<\/p>\n

  2. An diesem Punkt liegt die Grenze der Funktion. Daher sind die linken und rechten seitlichen Grenzen der Funktion an diesem Punkt gleich.<\/span><\/li>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

  3. Das Bild des Punktes stimmt mit dem Grenzwert der Funktion an diesem Punkt \u00fcberein.<\/span><\/li>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n<\/ol>\n

    Wenn also die drei Kontinuit\u00e4tsbedingungen an allen Punkten einer Funktion erf\u00fcllt sind, ist die Funktion stetig.<\/p>\n

    Als Beispiel analysieren wir die Stetigkeit der folgenden st\u00fcckweisen Funktion: <\/p>\n

    \"Stetigkeit<\/figure>\n

    Auch wenn Sie Abschnitte wechseln, an der Stelle<\/p>\n<\/p>\n

    \"x=-2\"<\/p>\n

    Die Funktion ist stetig, da die seitlichen Grenzen der Funktion an diesem Punkt gleich sind und eher mit dem Wert der Funktion an diesem Punkt \u00fcbereinstimmen.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\lim\\limits_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Andererseits ist die Funktion im Punkt nicht stetig<\/p>\n<\/p>\n

    \"x=4\"<\/p>\n

    weil die beiden seitlichen Grenzen unterschiedlich sind und daher der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle nicht existiert:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\lim\\limits_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Kurz gesagt, die durch die St\u00fccke definierte Funktion ist in allen reellen Zahlen au\u00dfer in stetig<\/p>\n<\/p>\n

    \"x=4,\"<\/p>\n

    wo es eine Diskontinuit\u00e4t gibt.<\/p>\n

    Wir k\u00f6nnen auch \u00fcberpr\u00fcfen, dass die Funktion in unstetig ist<\/p>\n<\/p>\n

    \"x=4\"<\/p>\n

    denn um es grafisch darzustellen, ist es an dieser Stelle notwendig, den Bleistift vom Papier zu entfernen. <\/p>\n

    <\/span> Kontinuit\u00e4t elementarer Funktionen<\/span><\/h2>\n

    Bestimmte Arten von Funktionen sind aufgrund ihrer Eigenschaften kontinuierlich:<\/p>\n