{"id":259,"date":"2023-07-10T08:10:10","date_gmt":"2023-07-10T08:10:10","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/formel-fur-den-abstand-zwischen-zwei-ebenen\/"},"modified":"2023-07-10T08:10:10","modified_gmt":"2023-07-10T08:10:10","slug":"formel-fur-den-abstand-zwischen-zwei-ebenen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/formel-fur-den-abstand-zwischen-zwei-ebenen\/","title":{"rendered":"Abstand zwischen zwei ebenen (formel)"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie den Abstand zwischen zwei Ebenen ermitteln. Sie werden insbesondere sehen, welche beiden Methoden es gibt und wann es besser ist, die eine oder andere zu verwenden. Dar\u00fcber hinaus haben Sie Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen zum Abstand zwischen zwei Ebenen, damit Sie es gut verstehen k\u00f6nnen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-se-calcula-la-distancia-entre-dos-planos\"><\/span> Wie berechnet sich der Abstand zwischen zwei Ebenen?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Der Abstand zwischen zwei Ebenen im Raum h\u00e4ngt von der relativen Position zwischen diesen beiden Ebenen ab:<\/p>\n<ul>\n<li> Wenn sich die beiden Ebenen <strong>schneiden<\/strong> oder <strong>zusammenfallen<\/strong> , ist der Abstand zwischen ihnen Null, da sie sich in einem Punkt schneiden.<\/li>\n<li> Wenn die beiden Ebenen <strong>parallel<\/strong> sind, wird der Abstand zwischen den beiden Ebenen berechnet, indem man einen Punkt auf einer Ebene nimmt und den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Ebene berechnet.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Denken Sie daran, dass senkrechte Ebenen eine Art Schnittebenen sind, sodass der Abstand zwischen zwei senkrechten Ebenen ebenfalls Null ist.<\/p>\n<p> Um also den Abstand zwischen zwei Ebenen zu berechnen, m\u00fcssen Sie zun\u00e4chst die relative Position zwischen ihnen bestimmen. Daher ist es wichtig, dass Sie wissen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-lage-zweier-ebenen-im-raum-r3-beispiele-geloste-ubungen\/\">, wie Sie die relative Position zweier Ebenen ermitteln<\/a> . Wenn Sie nicht ganz sicher sind, wie es geht, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf den Link zu werfen. Dort finden Sie eine sehr ausf\u00fchrliche Erkl\u00e4rung sowie Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-la-distancia-entre-dos-planos-paralelos\"><\/span> So berechnen Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Zwei parallele Ebenen haben immer den gleichen Abstand <strong>voneinander. Um den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen zu ermitteln, k\u00f6nnen wir daher einen Punkt auf einer der beiden Ebenen nehmen und den Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnen.<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-deux-plans-paralleles.webp\" alt=\"Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen\" class=\"wp-image-2647\" width=\"401\" height=\"234\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Die Formel zur Berechnung des Abstands zwischen zwei parallelen Ebenen lautet also: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Betrachten Sie zwei parallele Ebenen mit einem Punkt auf einer der Ebenen und der allgemeinen (oder impliziten) Gleichung der anderen Ebene:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-224b2b4bb57594d3fa92e148ada43cbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(x_0,y_0,z_0) \\qquad \\qquad \\pi: \\ Ax+By+Cz+D=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"379\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Die <strong>Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen zwei parallelen Ebenen,<\/strong> die durch den Punkt einer Ebene und die allgemeine Gleichung der anderen Ebene verlaufen, lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7fa5cd77905fa8723448de603b90b705_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"300\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> Dies ist eine Formel, mit der der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen ermittelt werden kann. Manchmal k\u00f6nnen wir jedoch eine andere, noch einfachere Methode verwenden:<\/p>\n<p> Die Koeffizienten A, B und C der impliziten (oder allgemeinen) Gleichungen zweier Pl\u00e4ne m\u00fcssen proportional sein. Wenn wir in einem Problem zwei Ebenen finden, deren Koeffizienten A, B und C genau gleich sind, k\u00f6nnen wir eine andere Formel verwenden, ohne einen Punkt einer Ebene kennen zu m\u00fcssen: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Betrachten Sie die allgemeinen (oder impliziten) Gleichungen zweier paralleler Ebenen mit <strong>identischen Koeffizienten A, B und C<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a277aae741d0cfe8200b7c338f57343f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ Ax+By+Cz+D_1=0 \\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ Ax+By+Cz+D_2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"528\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Die <strong>Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen den beiden parallelen Ebenen<\/strong> aus den allgemeinen Gleichungen der beiden Ebenen lautet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f78d3a0f1fd3a6c00acfd51c160dc8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert D_2-D_1\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> Letztendlich gibt es zwei M\u00f6glichkeiten, den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen zu ermitteln. Die erste ist n\u00fctzlicher, wenn wir einen Punkt auf einer der beiden Ebenen kennen. Wenn wir jedoch die allgemeine Gleichung der beiden Ebenen kennen, ist es besser, den Abstand mit der zweiten Formel zu berechnen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-como-hallar-la-distancia-entre-dos-planos-paralelos\"><\/span> Beispiel f\u00fcr die Berechnung des Abstands zwischen zwei parallelen Ebenen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Als Beispiel berechnen wir den Abstand zwischen den folgenden zwei Ebenen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9cd1abd1a84a5a230fb855c75c59e11_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ 4x-2y-4z+7=0 \\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ 8x-4y-8z+2=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"471\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen zun\u00e4chst \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um zwei parallele Ebenen handelt. Somit sind alle Koeffizienten der Ebenengleichungen mit Ausnahme der unabh\u00e4ngigen Terme proportional, sodass es sich effektiv um zwei parallele Ebenen handelt.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e13f3d3e18910312a6604d299010da6f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{4}{8}=\\cfrac{-2}{-4}=\\cfrac{-4}{-8}\\neq \\cfrac{7}{2} \\quad \\longrightarrow \\quad \\pi_1 \\parallel \\pi_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall stimmen die Terme A, B und C der Gleichungen der beiden Ebenen nicht \u00fcberein, aber wir k\u00f6nnen dies erreichen, indem wir die gesamte Gleichung der zweiten Ebene durch zwei teilen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d159a803fe606b074b2fbafbf792829d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_2 : \\ \\cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\\cfrac{0}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0098cb52d72e1305e5cc6daee535dee1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_2 : \\ 4x-2y-4z+1=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"200\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Gleichungen der beiden Ebenen haben nun also bereits die gleichen Koeffizienten A, B und C. Daher k\u00f6nnen wir den Abstand zwischen den beiden Ebenen einfach mit der folgenden Formel f\u00fcr den Abstand zwischen 2 parallelen Ebenen berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f78d3a0f1fd3a6c00acfd51c160dc8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert D_2-D_1\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir ersetzen die Werte und l\u00f6sen die Operationen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebaa9342424e4e1c6df12cac1f2658fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert 1-7\\rvert}{\\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \\cfrac{\\lvert -6\\rvert}{\\sqrt{36}} = \\cfrac{6}{6} = \\bm{1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"369\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit ist der Abstand zwischen <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ebene-geometrie\/\">einer Ebene<\/a> und der anderen Ebene gleich Eins. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-distancia-entre-dos-planos\"><\/span> Entfernungsprobleme zwischen zwei Ebenen l\u00f6sen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Finden Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei Ebenen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b51c64f5f5d25771ee1eb45d8e37e2f3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ 2x-y+5z-3=0 \\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ 2x-y+5z-7=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"453\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir m\u00fcssen zun\u00e4chst \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um zwei parallele Ebenen handelt. Mit Ausnahme der unabh\u00e4ngigen Terme sind alle Koeffizienten der Gleichungen der beiden Ebenen proportional, es handelt sich also tats\u00e4chlich um zwei parallele Ebenen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c520445614ecabfaf8a1bda841afa65_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{2}{2}=\\cfrac{-1}{-1}=\\cfrac{5}{5} \\neq \\cfrac{-3}{-7} \\quad \\longrightarrow \\quad \\pi_1 \\parallel \\pi_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"283\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall berechnen wir den Abstand zwischen den beiden Ebenen mit der direkten Formel, da ihre Koeffizienten A, B und C gleich sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f78d3a0f1fd3a6c00acfd51c160dc8c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert D_2-D_1\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Also setzen wir die Werte in die Formel ein und f\u00fchren die Operationen aus: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c107ce392f40f085eadf58283ea31fc0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi) = \\cfrac{\\lvert -7-3\\rvert}{\\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \\cfrac{\\lvert -10\\rvert}{\\sqrt{30}} = \\cfrac{\\bm{10}}{\\bm{\\sqrt{30}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"343\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Berechnen Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei Ebenen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2bbc524fea8b844e21f44241034b21c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ 3x-2y+6z+4=0 \\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ 6x-4y+3z+1=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"471\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zun\u00e4chst m\u00fcssen wir \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um zwei parallele Ebenen handelt, um den Abstand zu bestimmen, der sie trennt. Dazu pr\u00fcfen wir die Proportionalit\u00e4t zwischen den Koeffizienten der beiden Pl\u00e4ne:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3abd37199c65d756bb9c892bf56f0f2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{3}{6}=\\cfrac{-2}{-4}\\neq\\cfrac{6}{3} \\neq \\cfrac{4}{1} \\quad \\longrightarrow \\quad \\pi_1 \\ \\cancel{\\parallel} \\ \\pi_2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Aber die Koeffizienten A, B und C der beiden Ebenen sind nicht proportional, sondern nur die Parameter A und B. Daher sind die beiden Ebenen nicht parallel, sondern schneiden sich, und daher ist der Abstand zwischen ihnen gleich 0: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2ceb0ff96abef105348fa5660ba4fa9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(\\pi_1,\\pi_2)=0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Ermitteln Sie den Abstand zwischen den folgenden zwei parallelen Ebenen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d14719b0eefd313552d5257c249c66f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi_1 : \\ \\begin{cases} x=3+4\\lambda-2 \\mu \\\\[1.7ex]y=-2+\\lambda+6 \\mu \\\\[1.7ex]z=5-\\lambda+3 \\mu \\end{cases}\\qquad \\qquad  \\pi_2 : \\ 3x+2y-2z-9=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"477\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Vordergrundebene wird in Form parametrischer Gleichungen definiert. Um die direkte Formel f\u00fcr den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen anzuwenden, m\u00fcssen wir sie zun\u00e4chst in die Form einer allgemeinen Gleichung umwandeln, was viele Berechnungen und Zeit erfordert. Deshalb geht es schneller, wenn wir einen Punkt auf dieser Ebene nehmen und den Abstand von diesem Punkt zur anderen Ebene berechnen.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Somit entsprechen die Koordinaten eines Punktes, der zur Ebene \u03c0 <sub>1<\/sub> geh\u00f6rt, den unabh\u00e4ngigen Termen jeder parametrischen Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d66243e674f3ead58ca1ff6b29a9a715_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(3,-2,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"83\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Jetzt wenden wir die Formel an, um den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Ebene zu ermitteln: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e667bbf8e826d021b1cb466a3b312ef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{\\lvert A\\cdot x_0+B\\cdot y_0+C\\cdot z_0+D\\rvert}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"307\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4c4801629feef3733a4564df35d3c46_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{\\lvert 3\\cdot 3+2\\cdot (-2)+(-2)\\cdot 5-9\\rvert}{\\sqrt{3^2+2^2+(-2)^2}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"317\" style=\"vertical-align: -20px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-617538033c94b7606ec4aff058302fd7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{\\lvert 9-4-10-9\\rvert}{\\sqrt{9+4+4}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"206\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-112e5dabc19834e9cd886f6c9296452a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{\\lvert -14\\rvert}{\\sqrt{17}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"128\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18ff6ac34eed85be881c346ecb7e41dd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"d(P,\\pi_2) = \\cfrac{14}{\\sqrt{17}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"119\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Abstand zwischen den beiden parallelen Ebenen betr\u00e4gt daher: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef887cbd7e8b9c8bbe88736ce26776d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{d(\\pi_1,\\pi_2)=d(P,\\pi_2) =} \\cfrac{\\bm{14}}{\\bm{\\sqrt{17}}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"204\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie den Abstand zwischen zwei Ebenen ermitteln. Sie werden insbesondere sehen, welche beiden Methoden es gibt und wann es besser ist, die eine oder andere zu verwenden. Dar\u00fcber hinaus haben Sie Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen zum Abstand zwischen zwei Ebenen, damit Sie es gut verstehen k\u00f6nnen. Wie berechnet sich &hellip;<\/p>\n<p class=\"read-more\"> <a class=\"\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/formel-fur-den-abstand-zwischen-zwei-ebenen\/\"> <span class=\"screen-reader-text\">Abstand zwischen zwei ebenen (formel)<\/span> Weiterlesen &raquo;<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[15],"tags":[],"class_list":["post-259","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-punkte-linien-und-ebenen"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.2 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Abstand zwischen zwei Ebenen (Formel) - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/formel-fur-den-abstand-zwischen-zwei-ebenen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Abstand zwischen zwei Ebenen (Formel) - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie den Abstand zwischen zwei Ebenen ermitteln. 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