<\/span> So berechnen Sie den Abstand zwischen zwei Linien <\/span><\/h2>\n\n<\/div>\n<\/div>\n Der Abstand zwischen zwei Geraden ist der Mindestabstand zwischen jedem Punkt auf einer Geraden und jedem Punkt auf der anderen Geraden. Dieser Abstand entspricht der L\u00e4nge des Segments, das von einer Linie zur anderen Linie geht und gleichzeitig senkrecht zu beiden Linien steht. <\/p>\n
\n![\"Abstand](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-deux-lignes-dans-lespace-2.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Das Ermitteln des Abstands zwischen zwei verschiedenen Linien im dreidimensionalen (3D) Raum h\u00e4ngt also von der relativen Position zwischen ihnen ab:<\/p>\n
\n- Wenn die beiden Geraden zusammenfallen<\/strong> oder sich schneiden<\/strong> , ist der Abstand zwischen den beiden Geraden Null, da sie sich (mindestens) in einem Punkt schneiden.<\/li>\n
- Wenn die beiden Linien parallel<\/strong> sind, m\u00fcssen wir einen beliebigen Punkt auf einer der Linien nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Linie berechnen (unten finden Sie ein Beispiel daf\u00fcr).<\/li>\n
- Wenn sich die beiden Linien im Raum schneiden<\/strong> , m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien anwenden (eine detaillierte Erkl\u00e4rung finden Sie unten).<\/li>\n<\/ul>\n
Um also den Abstand zwischen zwei Linien zu berechnen, muss man zun\u00e4chst wissen, um welche Art von Linien es sich handelt, und dann je nach Fall die eine oder andere Formel verwenden. Daher ist es wichtig, dass Sie bereits beherrschen , wie Sie die relative Position zweier Linien im Raum ermitteln,<\/a> bevor Sie fortfahren. Wenn Sie sich jedoch nicht erinnern, wie es gemacht wurde, finden Sie im Link eine sehr vollst\u00e4ndige Erkl\u00e4rung sowie Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt. <\/p>\n<\/span> So ermitteln Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien im Raum <\/span><\/h2>\n\n<\/div>\n<\/div>\n Die Berechnung des Abstands zwischen zwei parallelen Linien im Raum (in R3) erfolgt auf die gleiche Weise wie in der Ebene (in R2): Sie m\u00fcssen einen Punkt auf einer der beiden Linien nehmen und den Abstand dieses Punktes auf der anderen ermitteln Linie.<\/strong> <\/p>\n\n![\"Abstand](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-un-point-et-une-ligne-en-ligne.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n Somit lautet die Formel zur Berechnung des Abstands von einem Punkt zu einer Linie in drei Dimensionen (und zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei parallelen Linien):<\/p>\n<\/p>\n
![\"d(s,r)=d(P,r)=\\cfrac{\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c7a838a254403e912767fb131474703_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Gold:<\/p>\n
\n- \n
![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74f213a2a0ca1a22659ce06a80bc5d07_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
ist der Betrag des Richtungsvektors der Linie<\/p>\n
![\"r.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa03a29f511592c1a1ecc8b306b0cf0d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/li>\n
- \n
![\"Q\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c758bec4c272382411b95fc0e7ee250_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
ist ein Punkt auf der Geraden<\/p>\n
![\"r,\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42ca8c420951296e93092e708435813a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
![\"P\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
ein Punkt auf der Linie<\/p>\n
![\"s\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae1901659f469e6be883797bfd30f4f8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Und<\/p>\n
![\"\\vv{QP}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdca087897cc5ad573be7ce2b595dfb3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
der durch die beiden Punkte definierte Vektor<\/li>\n
- \n
![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de23c83cb189398d246990817a7e83db_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
ist die Gr\u00f6\u00dfe des Kreuzprodukts zwischen den Vektoren<\/p>\n
<\/p>\n
Und<\/p>\n
![\"\\vv{\\text{v}}_r\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50f32076ae1ee85f5b7c5a6d43a03089_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
Als Beispiel l\u00f6sen wir ein Abstandsproblem zwischen zwei parallelen Linien im Raum:<\/p>\n
\n- Wie gro\u00df ist der Abstand zwischen den folgenden zwei parallelen Geraden? <\/li>\n<\/ul>\n\n<\/div>\n<\/div>\n
![\"r:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43cb370e9b16d006262ec6893e02dc92_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"s:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-48307ac3d4d0b23d6816a7473b6b1c0f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Beide Linien werden in Form einer Vektorgleichung ausgedr\u00fcckt, daher k\u00f6nnen wir den Richtungsvektor und einen Punkt jeder von ihnen leicht herausfinden:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91c721e906a848c6c129721fe7908112_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Wenn Sie Zweifel haben, wie Sie den Richtungsvektor und einen Punkt einer Linie bestimmen, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf die Erkl\u00e4rung der Liniengleichung<\/a> zu werfen. Dort haben wir es f\u00fcr alle Geradengleichungen erkl\u00e4rt, denn das Finden des Richtungsvektors und eines Punktes, der zu einer Geraden geh\u00f6rt, h\u00e4ngt von der Art der Gleichung ab, in der die Gerade ausgedr\u00fcckt wird.<\/p>\n Um nun den Abstand zwischen den beiden parallelen Linien zu ermitteln, m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr den Abstand von einem Punkt zu einer Linie anwenden:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Der Abstand zwischen zwei Geraden ist der Mindestabstand zwischen jedem Punkt auf einer Geraden und jedem Punkt auf der anderen Geraden. Dieser Abstand entspricht der L\u00e4nge des Segments, das von einer Linie zur anderen Linie geht und gleichzeitig senkrecht zu beiden Linien steht. <\/p>\n
<\/figure>\n<\/div>\nDas Ermitteln des Abstands zwischen zwei verschiedenen Linien im dreidimensionalen (3D) Raum h\u00e4ngt also von der relativen Position zwischen ihnen ab:<\/p>\n
- \n
- Wenn die beiden Geraden zusammenfallen<\/strong> oder sich schneiden<\/strong> , ist der Abstand zwischen den beiden Geraden Null, da sie sich (mindestens) in einem Punkt schneiden.<\/li>\n
- Wenn die beiden Linien parallel<\/strong> sind, m\u00fcssen wir einen beliebigen Punkt auf einer der Linien nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Linie berechnen (unten finden Sie ein Beispiel daf\u00fcr).<\/li>\n
- Wenn sich die beiden Linien im Raum schneiden<\/strong> , m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien anwenden (eine detaillierte Erkl\u00e4rung finden Sie unten).<\/li>\n<\/ul>\n
Um also den Abstand zwischen zwei Linien zu berechnen, muss man zun\u00e4chst wissen, um welche Art von Linien es sich handelt, und dann je nach Fall die eine oder andere Formel verwenden. Daher ist es wichtig, dass Sie bereits beherrschen , wie Sie die relative Position zweier Linien im Raum ermitteln,<\/a> bevor Sie fortfahren. Wenn Sie sich jedoch nicht erinnern, wie es gemacht wurde, finden Sie im Link eine sehr vollst\u00e4ndige Erkl\u00e4rung sowie Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt. <\/p>\n
<\/span> So ermitteln Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien im Raum <\/span><\/h2>\n
\n<\/div>\n<\/div>\nDie Berechnung des Abstands zwischen zwei parallelen Linien im Raum (in R3) erfolgt auf die gleiche Weise wie in der Ebene (in R2): Sie m\u00fcssen einen Punkt auf einer der beiden Linien nehmen und den Abstand dieses Punktes auf der anderen ermitteln Linie.<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n\nSomit lautet die Formel zur Berechnung des Abstands von einem Punkt zu einer Linie in drei Dimensionen (und zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei parallelen Linien):<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\nGold:<\/p>\n
- \n
- \n<\/p>\n
ist der Betrag des Richtungsvektors der Linie<\/p>\n
<\/p>\n<\/li>\n - \n<\/p>\n
ist ein Punkt auf der Geraden<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\nein Punkt auf der Linie<\/p>\n
<\/p>\nUnd<\/p>\n
<\/p>\nder durch die beiden Punkte definierte Vektor<\/li>\n
- \n<\/p>\n
ist die Gr\u00f6\u00dfe des Kreuzprodukts zwischen den Vektoren<\/p>\n
<\/p>\nUnd<\/p>\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\nAls Beispiel l\u00f6sen wir ein Abstandsproblem zwischen zwei parallelen Linien im Raum:<\/p>\n
- \n
- Wie gro\u00df ist der Abstand zwischen den folgenden zwei parallelen Geraden? <\/li>\n<\/ul>\n\n<\/div>\n<\/div>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n
Beide Linien werden in Form einer Vektorgleichung ausgedr\u00fcckt, daher k\u00f6nnen wir den Richtungsvektor und einen Punkt jeder von ihnen leicht herausfinden:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\nWenn Sie Zweifel haben, wie Sie den Richtungsvektor und einen Punkt einer Linie bestimmen, empfehlen wir Ihnen, einen Blick auf die Erkl\u00e4rung der Liniengleichung<\/a> zu werfen. Dort haben wir es f\u00fcr alle Geradengleichungen erkl\u00e4rt, denn das Finden des Richtungsvektors und eines Punktes, der zu einer Geraden geh\u00f6rt, h\u00e4ngt von der Art der Gleichung ab, in der die Gerade ausgedr\u00fcckt wird.<\/p>\n
Um nun den Abstand zwischen den beiden parallelen Linien zu ermitteln, m\u00fcssen wir die Formel f\u00fcr den Abstand von einem Punkt zu einer Linie anwenden:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
- Wie gro\u00df ist der Abstand zwischen den folgenden zwei parallelen Geraden? <\/li>\n<\/ul>\n
- Wenn die beiden Linien parallel<\/strong> sind, m\u00fcssen wir einen beliebigen Punkt auf einer der Linien nehmen und den Abstand zwischen diesem Punkt und der anderen Linie berechnen (unten finden Sie ein Beispiel daf\u00fcr).<\/li>\n
![\"\\vv{QP}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dadf92e90a88ce334cf34bce072e5457_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{QP}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f166cb84d794adae8b8e5678790a5ad8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left|\\vv{QP}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bcf2fce752d73d75254674158d4824b4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"r:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5986f031932e6b3512dc564514c34b5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-beb8af5ebd61faa6a707fabf3a13de60_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-569f8d554a0f3704d247862d0b8ef852_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n![\"\\vv{\\text{u}},](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b6be5a59bbf478047e4f3ace338ee48_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"A\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left|](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c940dca4c85f7176555de5861b8f391_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"