{"id":251,"date":"2023-07-10T12:11:22","date_gmt":"2023-07-10T12:11:22","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-lage-zweier-ebenen-im-raum-r3-beispiele-geloste-ubungen\/"},"modified":"2023-07-10T12:11:22","modified_gmt":"2023-07-10T12:11:22","slug":"relative-lage-zweier-ebenen-im-raum-r3-beispiele-geloste-ubungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-lage-zweier-ebenen-im-raum-r3-beispiele-geloste-ubungen\/","title":{"rendered":"Relative lage zweier ebenen im raum"},"content":{"rendered":"
Auf dieser Seite finden Sie alle m\u00f6glichen relativen Positionen zweier Ebenen (trockene, parallele oder zusammenfallende Ebenen). Au\u00dferdem erfahren Sie, wie die relative Position zwischen zwei Ebenen berechnet wird, und k\u00f6nnen sich dar\u00fcber hinaus Beispiele ansehen und anhand gel\u00f6ster Aufgaben \u00fcben. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Wie sind die relativen Positionen zweier Ebenen? <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
In der analytischen Geometrie gibt es nur drei m\u00f6gliche relative Positionen zwischen zwei Ebenen: Schnittebenen, parallele Ebenen und zusammenfallende Ebenen.<\/p>\n
\n
Sich schneidende Ebenen<\/strong> : Zwei Ebenen schneiden sich, wenn sie sich nur auf einer Linie schneiden.<\/li>\n
Parallele Ebenen<\/strong> : Zwei Ebenen sind parallel, wenn sie sich in keinem Punkt schneiden.<\/li>\n
Zusammenfallende Ebenen<\/strong> : Zwei Ebenen sind zusammenfallend, wenn sie alle gemeinsame Punkte haben. <\/li>\n<\/ul>\n
\n
\n
sich schneidende Ebenen<\/strong> <\/p>\n<\/figure>\n<\/div>\n
Es gibt zwei Methoden, um die relative Position zwischen zwei Ebenen zu ermitteln: eine anhand der Koeffizienten der allgemeinen Gleichungen der beiden Ebenen und die andere durch Berechnung der R\u00e4nge zweier Matrizen. Nachfolgend finden Sie eine Erl\u00e4uterung der einzelnen Verfahren. <\/p>\n
<\/span> So bestimmen Sie die relative Position zweier Ebenen anhand von Koeffizienten<\/span><\/h2>\n
Eine M\u00f6glichkeit, die relative Position zwischen zwei Ebenen zu ermitteln, besteht darin, die Koeffizienten ihrer allgemeinen (oder impliziten) Gleichungen zu verwenden.<\/p>\n
Betrachten Sie dann die allgemeine (oder implizite) Gleichung zweier verschiedener Ebenen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die relative Position zwischen den beiden Ebenen im dreidimensionalen Raum (in R3) h\u00e4ngt von der Proportionalit\u00e4t ihrer Koeffizienten oder Parameter ab: <\/p>\n<\/figure>\n
Daher schneiden sich die beiden Ebenen, wenn einer der Koeffizienten A, B oder C nicht proportional zu den anderen ist. Andererseits sind die beiden Ebenen parallel, wenn nur die unabh\u00e4ngigen Terme nicht proportional sind. Und schlie\u00dflich stimmen die Pl\u00e4ne \u00fcberein, wenn alle Koeffizienten der beiden Gleichungen proportional sind.<\/p>\n
Berechnen wir zum Beispiel die relative Position der folgenden zwei Ebenen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Um zu wissen, um welchen Flugzeugtyp es sich handelt, m\u00fcssen Sie pr\u00fcfen, welche Koeffizienten proportional sind:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die Koeffizienten A, B und C sind zueinander proportional, nicht jedoch zum Koeffizienten D, sodass die beiden Ebenen parallel sind<\/strong> . <\/p>\n
<\/span> So berechnen Sie die relative Position zweier Ebenen anhand von Bereichen <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Eine andere M\u00f6glichkeit, die relative Position zweier bestimmter Ebenen zu ermitteln, besteht darin, den Bereich zweier Matrizen zu berechnen, die durch die Koeffizienten dieser Ebenen gebildet werden.<\/p>\n
Lassen Sie uns also die allgemeine (oder implizite) Gleichung zweier verschiedener Ebenen sein:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir nennen A die Matrix, die sich aus den Koeffizienten A, B und C der beiden Gleichungen zusammensetzt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und sei die Matrix A‘ die erweiterte Matrix mit allen Koeffizienten der beiden Gleichungen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die relative Position der beiden Ebenen kann anhand der Bereiche der beiden vorherigen Matrizen ermittelt werden:<\/p>\n<\/figure>\n
Dass die relativen Positionen von den R\u00e4ngen dieser beiden Matrizen abh\u00e4ngen, l\u00e4sst sich anhand des Rouche-Frobenius-Toerems (ein Satz zur L\u00f6sung linearer Gleichungssysteme) zeigen. Auf dieser Seite werden wir die Demonstration jedoch nicht durchf\u00fchren, da es nicht erforderlich ist, sie zu kennen, und sie auch nicht viel bringt.<\/p>\n
Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie das geht, berechnen wir die relative Position zwischen den folgenden beiden Ebenen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Das erste, was zu tun ist, besteht darin, die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ mit den Koeffizienten der Gleichungen der beiden Ebenen zu konstruieren:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und jetzt m\u00fcssen wir den Rang jeder Matrix berechnen. Wir ermitteln zun\u00e4chst den Umfang der Matrix A anhand von Determinanten: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Matrix A enth\u00e4lt eine 2\u00d72-Submatrix, deren Determinante von Null verschieden ist, es handelt sich also um eine Matrix vom Rang 2.<\/p>\n
Andererseits ist es auch notwendig, den Rang der Matrix A‘ zu berechnen. Und der Rang der erweiterten Matrix A‘ wird immer mindestens derselbe sein wie der der Matrix A, daher ist in diesem speziellen Fall der Rang der Matrix A‘ auch gleich 2.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Damit die Ausma\u00dfe der beiden Matrizen \u00e4quivalent sind und den Wert 2 haben, schneiden sich die beiden Ebenen<\/strong> . <\/p>\n
<\/span>Probleme der relativen Position zweier Ebenen gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
Untersuchen Sie die relative Position der folgenden zwei Ebenen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Um die relative Position zwischen den beiden Ebenen zu berechnen, pr\u00fcfen wir, ob die Koeffizienten der Gleichungen der beiden Ebenen proportional sind:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Alle Koeffizienten der impliziten Gleichungen der beiden Pl\u00e4ne sind proportional zueinander, es handelt sich also um zwei zusammenfallende Pl\u00e4ne<\/strong> .<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 2<\/h3>\n
Bestimmen Sie die relative Position der folgenden zwei Ebenen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Um die relative Position zwischen den beiden Ebenen zu bestimmen, analysieren wir die Proportionalit\u00e4t der Koeffizienten ihrer Gleichungen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die Koeffizienten A und C der impliziten Gleichungen der beiden Ebenen sind zueinander proportional, nicht jedoch zum Koeffizienten B. Es handelt sich also um zwei Sekantenebenen<\/strong> .<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 3<\/h3>\n
Finden Sie die relative Position der folgenden 2 Ebenen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Um die relative Lage zwischen den beiden Ebenen zu bestimmen, muss \u00fcberpr\u00fcft werden, ob die Koeffizienten der Gleichungen der beiden Ebenen proportional sind:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die ersten drei Parameter (A, B und C) der Gleichungen der beiden Ebenen sind zueinander proportional, nicht jedoch zum Parameter D, daher sind die beiden Ebenen parallel<\/strong> .<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 4<\/h3>\n
Parameterwert berechnen<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
so dass die folgenden zwei Ebenen parallel sind: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Damit die beiden Ebenen parallel sind, m\u00fcssen die Koeffizienten A, B und C in ihren Gleichungen proportional sein. Mit anderen Worten muss folgende Gleichheit \u00fcberpr\u00fcft werden:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
In diesem speziellen Fall betragen die Koeffizienten A und B des ersten Plans die H\u00e4lfte derjenigen des zweiten Plans:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Daher m\u00fcssen wir die obige Gleichung l\u00f6sen. Und dazu kreuzen wir die beiden Br\u00fcche: <\/p>\n<\/p>\n
Auf dieser Seite finden Sie alle m\u00f6glichen relativen Positionen zweier Ebenen (trockene, parallele oder zusammenfallende Ebenen). Au\u00dferdem erfahren Sie, wie die relative Position zwischen zwei Ebenen berechnet wird, und k\u00f6nnen sich dar\u00fcber hinaus Beispiele ansehen und anhand gel\u00f6ster Aufgaben \u00fcben. Wie sind die relativen Positionen zweier Ebenen? In der analytischen Geometrie gibt es nur drei …<\/p>\n
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