{"id":250,"date":"2023-07-10T12:56:19","date_gmt":"2023-07-10T12:56:19","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-position-zweier-linien-im-raum-r3-beispiele-geloste-ubungen\/"},"modified":"2023-07-10T12:56:19","modified_gmt":"2023-07-10T12:56:19","slug":"relative-position-zweier-linien-im-raum-r3-beispiele-geloste-ubungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/relative-position-zweier-linien-im-raum-r3-beispiele-geloste-ubungen\/","title":{"rendered":"Relative position zweier linien im raum"},"content":{"rendered":"
Hier finden Sie alle relativen Positionen zweier Linien im Raum (in R3). Dar\u00fcber hinaus wird erkl\u00e4rt, wie man die relative Position zwischen zwei Linien mithilfe der beiden m\u00f6glichen Methoden ermittelt: anhand von Bereichen oder anhand eines Punktes und eines Vektors jeder Linie. Sie k\u00f6nnen sogar Beispiele und \u00dcbungen sehen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Was sind die relativen Positionen zweier Linien im Raum? <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
In der analytischen Geometrie gibt es beim Arbeiten in einem dreidimensionalen Raum (in R3) 4 m\u00f6gliche relative Positionen zwischen zwei Linien: Zwei Linien k\u00f6nnen Verschmelzungslinien<\/strong> , parallele Linien<\/strong> , Sekantenlinien<\/strong> oder Sekantenlinien<\/strong> sein. <\/p>\n
\n
\n
Parallele Linien<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Richtung haben, aber keinen gemeinsamen Punkt haben. Au\u00dferdem haben parallele Linien immer den gleichen Abstand voneinander. <\/p>\n<\/div>\n
\n
zusammenfallende Linien<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Zwei Geraden fallen zusammen, wenn sie die gleiche Richtung haben und dar\u00fcber hinaus alle ihre Punkte gemeinsam sind. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Schnittlinien<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Zwei sich schneidende Linien haben unterschiedliche Richtungen, ber\u00fchren sich aber an einem Punkt. <\/p>\n<\/div>\n
\n
Schnittlinien<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Zwei sich schneidende Linien haben unterschiedliche Richtungen und schneiden sich an keinem Punkt. Daher liegen zwei gekreuzte Linien nicht in derselben Ebene. Beispielsweise in der grafischen Darstellung oberhalb der Linie<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
ist immer einen Schritt voraus<\/p>\n
<\/p>\n
, sodass sie sich niemals ber\u00fchren werden.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Es gibt zwei M\u00f6glichkeiten, die relative Position zwischen zwei Linien zu ermitteln, da diese davon abh\u00e4ngen, wie die Gleichungen der beiden Linien ausgedr\u00fcckt werden:<\/p>\n
\n
Wenn die Linien in Vektor-, parametrischer oder kontinuierlicher Gleichungsform vorliegen, ist es am besten , die relative Position aus einem Punkt und einem Vektor jeder Linie zu berechnen<\/strong> (die Erkl\u00e4rung dieser Methode finden Sie weiter unten).<\/li>\n
Wenn die Linien andererseits in Form impliziter (oder allgemeiner) Gleichungen definiert sind, ist es einfacher , die relative Position zwischen den beiden Linien zu ermitteln, indem der Rang zweier Matrizen berechnet wird<\/strong> (siehe Erkl\u00e4rung unten). <\/li>\n<\/ul>\n
<\/span> Bestimmen der relativen Position zweier Linien aus einem Punkt und einem Vektor <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Sie k\u00f6nnen die relative Position zwischen zwei Linien ermitteln, indem Sie f\u00fcr jede Linie einen Punkt und einen Vektor angeben. Diese Methode eignet sich, wenn die Linien in Form einer Vektorgleichung, parametrischer Gleichungen oder einer kontinuierlichen Gleichung definiert sind.<\/p>\n
Der Richtungsvektor und jeder Punkt auf jeder der beiden Geraden seien also:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Um also die relative Position zweier Linien zu ermitteln, m\u00fcssen wir das folgende Verfahren befolgen:<\/p>\n
\u2023<\/span><\/strong> Als Erstes m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob die Vektoren der beiden Geraden proportional sind oder nicht, und je nach Fall gehen wir wie folgt vor:<\/p>\n
\n
Wenn die beiden Vektoren proportional sind, k\u00f6nnen die Geraden parallel sein oder zusammenfallen. Wir m\u00fcssen daher pr\u00fcfen, ob der Punkt einer Geraden die Gleichung der anderen Geraden erf\u00fcllt:<\/span>\n
\n
Wenn der Punkt einer Geraden die Gleichung der anderen Geraden erf\u00fcllt, bedeutet das, dass die beiden Geraden zusammenfallen.<\/span><\/li>\n
Andernfalls bedeutet dies, dass die beiden Geraden parallel sind.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
Wenn die beiden Vektoren nicht proportional sind, k\u00f6nnen sich die Linien schneiden oder schneiden. In diesem Fall m\u00fcssen wir die folgende 3\u00d73-Determinante l\u00f6sen:<\/span>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Wenn die vorherige Determinante gleich Null ist, schneiden sich die beiden Geraden in einem Punkt (sie schneiden sich).<\/span><\/li>\n
Wenn die vorherige Determinante von Null verschieden ist, schneiden sich die beiden Geraden.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
Die folgende Grafik fasst den gesamten Ablauf zusammen: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/span> Beispiel f\u00fcr die Bestimmung der relativen Position zwischen zwei Linien<\/span><\/h3>\n
Die vorherige Vorgehensweise mag etwas kompliziert erscheinen, aber damit Sie sehen, dass es das Gegenteil ist, l\u00f6sen wir beispielhaft ein Problem:<\/p>\n
\n
Bestimmen Sie die relative Position zwischen den folgenden beiden Zeilen:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die beiden Linien werden als Vektorgleichung ausgedr\u00fcckt, wobei der Richtungsvektor jeder Linie ist:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und ein Punkt, durch den jede Gerade verl\u00e4uft, ist:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir einen Punkt und den Richtungsvektor jeder Linie kennen, wenden wir die oben beschriebene Methode an. Zun\u00e4chst m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob die Koordinaten der Vektoren proportional sind:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Da die beiden Vektoren nicht proportional zueinander sind, k\u00f6nnen sich die Linien nur ber\u00fchren oder kreuzen. Daher m\u00fcssen wir nun nach der folgenden Determinante suchen, die aus dem Richtungsvektor und einem Punkt auf jeder Linie besteht:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir setzen die Werte in die Formel ein:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und wir berechnen die Determinante, hierf\u00fcr k\u00f6nnen Sie jede Methode verwenden (Sarrus-Regel, Methode der Komplemente oder Cofaktoren usw.):<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
W\u00e4re das Ergebnis der Bestimmung Null gewesen, w\u00fcrde dies bedeuten, dass sich die Linien kreuzen (sie ber\u00fchren sich). Da die Determinante jedoch von 0 verschieden ist, schneiden sich die Geraden<\/strong> . <\/p>\n
<\/span> Finden Sie die relative Position zweier Zeilen f\u00fcr Zeilen<\/span><\/h2>\n
Eine andere M\u00f6glichkeit, die relative Position zweier Zeilen zu ermitteln, besteht darin, die R\u00e4nge zweier konkreter Matrizen zu berechnen, wie wir als N\u00e4chstes sehen werden. Diese Methode ist sehr n\u00fctzlich, wenn die beiden Linien in impliziter (oder allgemeiner) Gleichungsform vorliegen.<\/p>\n
Wenn wir also zwei Linien haben, die mit ihren impliziten (oder allgemeinen) Gleichungen in einem dreidimensionalen Raum (in R3) ausgedr\u00fcckt werden:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sei A die Matrix, die sich aus den Koeffizienten der beiden Geraden zusammensetzt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und angesichts der erweiterten Matrix A‘, die aus allen Parametern der beiden Linien besteht:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Dann kann die relative Position der beiden Zeilen anhand des Bereichs der beiden vorherigen Matrizen gem\u00e4\u00df der folgenden Tabelle bestimmt werden: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Um die relative Position zwischen zwei Zeilen zu ermitteln, m\u00fcssen wir daher die R\u00e4nge der beiden Matrizen berechnen. Abh\u00e4ngig vom Rang jeder Matrix wird es den einen oder anderen Fall geben.<\/strong><\/p>\n
Dieser Satz kann mit dem Satz von Rouch\u00e9-Frobenius (einer Methode zur L\u00f6sung linearer Gleichungssysteme) bewiesen werden. Auf dieser Seite werden wir den Beweis jedoch nicht durchf\u00fchren, da er recht umst\u00e4ndlich ist und nicht viel hinzuf\u00fcgt. <\/p>\n
<\/span> Beispiel daf\u00fcr, wie man die relative Position zweier Linien anhand von Bereichen ermittelt<\/span><\/h3>\n
Nachdem wir die Theorie \u00fcber die relativen Positionen zwischen zwei Zeilen f\u00fcr Zeilen kennengelernt haben, sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie sie in die Praxis umgesetzt wird:<\/p>\n
\n
Finden Sie die relative Position der folgenden zwei Zeilen:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Da die beiden Geraden die Form allgemeiner (oder impliziter) Gleichungen haben, verwenden wir die Rangfolgemethode, um die relative Position zwischen den beiden Geraden zu ermitteln. Wir konstruieren daher die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ mit den Koeffizienten der Geraden:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir beide Matrizen haben, m\u00fcssen wir den Rang jeder Matrize berechnen. Wir berechnen zun\u00e4chst den Rang der Matrix A anhand der Determinanten: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Matrix A enth\u00e4lt die Determinante einer 3\u00d73-Submatrix ungleich Null, sodass Matrix A den Rang 3 hat<\/strong> .<\/p>\n
Und nun berechnen wir den Umfang der erweiterten Matrix A‘. Die Matrix A‘ wird immer mindestens den Rang der Matrix A haben, die in diesem Fall den Wert 3 hat, es gen\u00fcgt also zu pr\u00fcfen, ob sie Rang 4 oder Rang 3 hat. Dazu l\u00f6sen wir die Determinante der 4\u00d7-Matrix 4 durch Additionen (oder Cofaktoren): <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die Determinante der gesamten erweiterten Matrix ist Null, daher hat die Matrix A\u2018 ebenfalls den Rang 3<\/strong> .<\/p>\n
Die Matrix A und die Matrix A‘ haben also den Rang 3, sodass sich die beiden Geraden folglich schneiden<\/strong> . Das hei\u00dft, es gibt nur einen Schnittpunkt zwischen ihnen.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Denken Sie daran, dass Sie oben eine Tabelle haben, die alle m\u00f6glichen F\u00e4lle relativer Positionen zwischen zwei Linien entsprechend den Bereichen der Matrizen A und A‘ zusammenfasst. <\/p>\n
<\/span> Probleme der relativen Position zwischen zwei Linien im Raum gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
Finden Sie die relative Position zwischen den folgenden beiden Zeilen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Da beide Geraden als Vektorgleichung ausgedr\u00fcckt werden, ermitteln wir die relative Position zwischen den beiden Geraden anhand der Ein-Punkt- und Ein-Vektor-Methode f\u00fcr jede Gerade.<\/p>\n
Der Richtungsvektor jeder Linie ist:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und zu jeder Geraden geh\u00f6rt ein Punkt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Um das Verfahren anwenden zu k\u00f6nnen, muss daher zun\u00e4chst gepr\u00fcft werden, ob die Komponenten der Richtungsvektoren proportional sind:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Da die beiden Vektoren nicht proportional zueinander sind, k\u00f6nnen sich Geraden nur schneiden oder schneiden. Daher m\u00fcssen wir nun die folgende Determinante ermitteln, die aus dem Richtungsvektor und einem Punkt auf jeder Geraden besteht:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir setzen die Werte in die Formel ein:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und wir berechnen die Determinante:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Das Ergebnis des Bestimmers ist \u00e4quivalent zu 0, die Geraden schneiden sich<\/strong> also.<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 2<\/h3>\n
Berechnen Sie die relative Position der folgenden zwei Linien: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Die erste Linie hat die Form parametrischer Gleichungen und die zweite Linie hat die Form einer kontinuierlichen Gleichung, mit der wir die relative Position zwischen den beiden Linien anhand der Ein-Punkt-Vektor-Methode jeder Linie bestimmen.<\/p>\n
Die Koordinaten des Richtungsvektors rechts<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
sind die Koeffizienten vor dem Parameter<\/p>\n
<\/p>\n
und die Koordinaten des Richtungsvektors der Linie<\/p>\n
<\/p>\n
sind die Zahlen der Nenner:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und zu jeder Geraden geh\u00f6rt ein Punkt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Um das Verfahren anwenden zu k\u00f6nnen, muss daher zun\u00e4chst gepr\u00fcft werden, ob die Komponenten der Richtungsvektoren proportional sind:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die beiden Vektoren sind proportional zueinander, sodass die Geraden nur parallel oder zusammenfallend sein k\u00f6nnen. Um diesen Zweifel auszur\u00e4umen, ist es notwendig, den Punkt auf der Linie zu ersetzen<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
in der Geradengleichung<\/p>\n
<\/p>\n
(oder umgekehrt), um zu sehen, ob es die Gleichung erf\u00fcllt: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Durch Einsetzen des Punktes in der Geraden erhalten wir eine Gleichheit, sodass der Punkt einer Geraden die Gleichung der anderen Geraden erf\u00fcllt und au\u00dferdem ihre Richtungsvektoren proportional sind. Daher fallen die beiden Linien zusammen.<\/strong><\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 3<\/h3>\n
Finden Sie die relative Position der folgenden zwei Zeilen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Die beiden Linien haben die Form einer allgemeinen (oder impliziten) Gleichung, daher verwenden wir die Rangmethode, um die relative Position zwischen den beiden Linien zu ermitteln. Wir erstellen daher die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ mit den Koeffizienten der Linien:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir beide Matrizen haben, m\u00fcssen wir den Rang jeder Matrize berechnen. Wir berechnen zun\u00e4chst den Rang der Matrix A anhand der Determinanten: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Alle 3×3-Determinanten der Matrix A sind Null, aber es gibt eine 2×2-Determinante ungleich Null innerhalb der Matrix, sodass Matrix A den Rang 2 hat<\/strong> .<\/p>\n
Und nun berechnen wir den Umfang der erweiterten Matrix A‘. Die Matrix A‘ wird immer mindestens den Bereich der Matrix A haben, der in diesem Fall 2 betr\u00e4gt. Daher muss \u00fcberpr\u00fcft werden, ob sie eine 3\u00d73-Determinante hat, die sich nicht aufhebt, und auch, wie gro\u00df die Determinante von ist gesamte Matrix: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die erweiterte Matrix A‘ enth\u00e4lt tats\u00e4chlich 3\u00d73 Nicht-Null-Unterdeterminanten und dar\u00fcber hinaus ist die Determinante der gesamten erweiterten Matrix gleich 0, sodass die Matrix A‘ den Rang 3 hat<\/strong> .<\/p>\n
Die Matrix A hat also den Rang 2 und die Matrix A‘ den Rang 3, sodass die beiden Geraden parallel sind<\/strong> . Das hei\u00dft, sie haben nichts gemeinsam.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Denken Sie daran, dass Sie in der Erl\u00e4uterung der Methode (oben) eine Tabelle haben, die alle m\u00f6glichen F\u00e4lle relativer Positionen zwischen zwei Linien entsprechend den R\u00e4ngen der Matrizen A und A‘ zusammenfasst.<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 4<\/h3>\n
Finden Sie die relative Position der folgenden zwei Zeilen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
In diesem Fall liegen die beiden Linien in kartesischer (oder impliziter) Gleichungsform vor, daher verwenden wir die Ordnungsmethode, um die relative Position zwischen den beiden Linien zu ermitteln. Wir konstruieren daher die Matrix A und die erweiterte Matrix A‘ mit den Koeffizienten der Geraden:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir die beiden Matrizen kennen, m\u00fcssen wir deren Rang berechnen. Wir berechnen zun\u00e4chst den Rang der Matrix A anhand der Determinanten: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Matrix A enth\u00e4lt eine 3\u00d73-Submatrix, deren Determinante ungleich Null ist, sodass Matrix A den Rang 3 hat<\/strong> .<\/p>\n
Und nun berechnen wir den Umfang der erweiterten Matrix A‘. Die Matrix A‘ wird immer mindestens den Rang der Matrix A haben, die in diesem Fall den Wert 3 hat. Es gen\u00fcgt also zu pr\u00fcfen, ob sie Rang 4 oder Rang 3 hat. Dazu l\u00f6sen wir die Determinante von die Menge der 4\u00d74-Matrix durch Additionen (oder Cofaktoren): <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die Determinante der gesamten erweiterten Matrix ist ungleich Null, daher hat die Matrix A‘ den Rang 4<\/strong> .<\/p>\n
Damit die Matrix A den Rang 3 hat und die Matrix A‘ dagegen den Rang 4 hat, schneiden sich die beiden Geraden<\/strong> in einem Punkt.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Denken Sie daran, dass Sie in der Erl\u00e4uterung des Verfahrens (oben) eine Tabelle haben, in der alle m\u00f6glichen F\u00e4lle relativer Positionen zwischen zwei Linien entsprechend den R\u00e4ngen der Matrizen A und A‘ aufgef\u00fchrt sind.<\/p>\n
Hier finden Sie alle relativen Positionen zweier Linien im Raum (in R3). Dar\u00fcber hinaus wird erkl\u00e4rt, wie man die relative Position zwischen zwei Linien mithilfe der beiden m\u00f6glichen Methoden ermittelt: anhand von Bereichen oder anhand eines Punktes und eines Vektors jeder Linie. Sie k\u00f6nnen sogar Beispiele und \u00dcbungen sehen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. …<\/p>\n
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